Sistemas Lineares

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Sistemas Lineares
Sistema com duas equacões e duas
incógnitas: 
CASOS PARTICULARES
O sistema não possui solução:
Note que o gráfico das equações são retas
no plano xy. Cada solução (x, y) desse
sistema corresponde a um ponto de
interseção das retas. Dessa forma, há três
possibilidades:
As retas podem ser paralelas e distintas,
caso em que não há interseção e, portanto,
não existe solução:
As retas podem se intersectar em um único
ponto, caso em que o sistema tem
exatamente uma solução.
As retas coincidem e tem uma infinidade
de pontos de interseção, caso em que o
sistema tem infinitas soluções.
Sistema com três equacões e três
incógnitas: 
Note que o gráfico das equações são
planos. As soluções do sistema, se
existirem, serão representadas pelos
pontos em comum dos três planos.
Novamente, há três possibilidades:
O sistema possui uma única solução:
O sistema possui infinitas soluções:
De modo geral, para um sistema com m
equações e n incógnitas sempre temos 3
situações possíveis: Sistema Possível e
Determinado (SPD), Sistema Possível e
Indeterminado (SPI) e Sistema Impossível
(SI).
RESOLUÇÃO
Quando pensamos na resolução de
sistemas lineares, o que fazemos para
encontrar a solução do sistema é operar
com as equações de modo que com estas
operações seja possível encontrar um
sistema equivalente (que possui as
mesmas soluções do sistema inicial) que
seja mais simples de ser resolvido. Estas
operações elementares que realizamos
com as equações do sistema linear são:
Trocar duas equações entre si;
Para matrizes, definimos as transformações
elementares nas linhas como se segue:
Multiplicar uma equação por
um número diferente de zero;
Somar um número vezes uma
equação a uma outra equação.
Trocar duas linhas entre si (Li
←→ Lj )
Multiplicar uma linha inteira por
um número diferente de zero 
 (Li → kLi) 
Substituir a i-ésima linha pela i-
ésima linha mais k vezes a j-
ésima linha. (Li → Li + kLj ) 
Dizemos então que duas matrizes são
equivalentes quando uma pode ser obtida
da outra pela aplicação sucessiva de um
número finito de transformações
elementares sobre as linhas.
MATRIZ ESCALONADA
Uma matriz A = [aij]m×n está na forma
escalonada reduzida por linhas (ou na
forma escada reduzida por linhas) se:
O primeiro elemento não nulo
de uma linha não nula é 1 (esse
elemento é chamado pivô). 
Cada coluna que contém o
primeiro elemento não nulo de
alguma linha tem todos os seus
outros elementos iguais a zero.
Toda linha nula ocorre abaixo
de todas as linhas não nulas.
Se L1, ... , Lp são linhas não
nulas, e se o primeiro elemento
não nulo da linha Li ocorre na
coluna ki , então k1 < k2 < ··· < kp
(essa condição impõe a forma
escada à matriz).
Toda matriz A = [aij]m×n é linha equivalente
a uma única matriz na forma escalonada
reduzida por linhas.
Agora, temos uma ferramenta para
determinar as soluções de um sistema de
equações lineares que consiste em:
Associar o sistema linear a sua
matriz ampliada;
Determinar uma matriz
equivalente na forma
escalonada por linhas;
Associar a matriz obtida a um
sistema linear (que será
equivalente ao sistema dado e
mais simples); 
Determinar as soluções.
Este processo é conhecido como
eliminação de Gauss-Jordan.
TEOREMA DO POSTO
Dada uma matriz A = [aij] m×n, seja B = [bij]
m×n a matriz na forma escalonada reduzida
por linhas equivalente a A. O posto de A,
denotado por p, é o número de linhas não
nulas de B. A nulidade de A é o número n −
p (n é o número de colunas de A). 
Sejam pA o posto da matriz dos
coeficientes e pAB o posto da matriz
ampliada do sistema. Então:
O sistema é possível (SP) se, e
somente se, pAB = pA. 
O sistema é possível e
determinado (SPD) se pAB = pA
= n.
O sistema é possível e
indeterminado se pAB = pA < n. 
O sistema é impossível (SI) se
pA < pAB. 
OBS: O número de variáveis
livres sempre será igual à
nulidade da matriz dos
coeficientes e é chamado de
grau de liberdade. Ou seja, se
p = pA = pAB e n é o número de
incógnitas do sistema, então o
grau de liberdade é n − p. 
REGRA DE CRAMER
Este método só se aplica a sistemas
lineares em que o número de equações é
igual ao número de incógnitas.
Observe que no denominador temos o
determinante da matriz dos coeficientes
(det A 0), e no numerador aparece o
determinante da matriz obtida de A,
substituindo a i-ésima coluna pela coluna
dos termos independentes. 
Este método de resolução de um sistema
linear de n equações e n incógnitas, que só
pode ser aplicado quando o determinante
da matriz dos coeficientes for não nulo, é
chamado de Regra de Cramer.