TCC_TamaraVERSAOFINAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS 
 
 
 
TAMARA GARCIA PINHEIRO DOTTI 
 
 
 
 
 
 
UM ESTUDO DO MODELO DE BARRAS NOS LIVROS DIDÁTICOS DA 
MATEMÁTICA DE SINGAPURA: FUNDAMENTAÇÃO DA ÁLGEBRA NO ENSINO 
FUNDAMENTAL I CICLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO CARLOS 
2016 
TAMARA GARCIA PINHEIRO DOTTI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UM ESTUDO DO MODELO DE BARRAS NOS LIVROS DIDÁTICOS DA 
MATEMÁTICA DE SINGAPURA: FUNDAMENTAÇÃO DA ÁLGEBRA NO ENSINO 
FUNDAMENTAL I CICLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a 
Universidade Federal de São Carlos – UFSCAR 
como requisito para obtenção do título de 
graduação em Matemática, sob orientação da Profª 
Dra. Yuriko Yamamoto Baldin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO CARLOS 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho ao meu esposo Fábio 
Henrique Dotti, meus pais Maria Arlete Garcia 
Pinheiro e Adelino Carlos Pinheiro, minha 
irmã Karen Garcia Pinheiro, minha avó 
Mathilde da Silva Garcia e minha orientadora 
Profª Dra. Yuriko Yamamoto Baldin por todo 
incentivo, paciência e ajuda para que este 
trabalho fosse realizado e concluído. 
AGRADECIMENTOS 
 
 Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado saúde e força para superar todas as 
dificuldades e concluir esta graduação. 
 Ao meu esposo, meus pais e minha irmã pelo amor, incentivo e apoio incondicional 
em todos os momentos, e por entender que nos momentos de minha ausência dedicados ao 
estudo sempre entenderam que o futuro é feito a partir da constante dedicação no presente. 
 A todos os professores que tive a oportunidade de conhecer, por me proporcionarem 
tantos conhecimentos. 
 Em especial a minha orientadora Yuriko Yamamoto Baldin pela paciência e todo 
conhecimento que me passou e a editora Marshall Caveendish Education pela permissão 
concedida para utilizar a Coleção My Pals Are Here! (2012) no trabalho de pesquisa que 
resultou nesta dissertação. 
 A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o meu muito 
obrigado! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Ensinar é um exercício de imortalidade. De 
alguma forma continuamos a viver naqueles 
cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela 
magia da nossa palavra. O professor, assim, não 
morre jamais...” 
(Rubem Alves) 
RESUMO 
 
A pesquisa realizada consiste na análise de uma sequência de atividades/problemas 
selecionadas da coleção “My Pals Are Here!” utilizada em diversas escolas de Singapura, por 
estar de acordo com a proposta curricular de matemática do país. Os exercícios selecionados 
são os que utilizam o Modelo de Barras como método de representação pictórica de situações 
problema, ou que preparam o aluno para utilização do Modelo de Barras. O objetivo da 
análise é observar como essas atividades contribuem para o desenvolvimento do raciocínio 
algébrico nos alunos dos primeiros anos do Ensino Fundamental, de modo que estes alunos 
passem para o segundo ciclo do Ensino Fundamental sem traumas, principalmente ao iniciar a 
aprendizagem da álgebra. A pesquisa espera contribuir na formação de professores do 
primeiro ciclo do Ensino Fundamental para que consigam proporcionar um ensino de 
qualidade para os alunos, dando uma base sólida para a aprendizagem da álgebra no segundo 
ciclo do Ensino Fundamental. 
 
Palavras-chave: Modelo de Barras. Matemática de Singapura. Algebrização. Raciocínio 
algébrico. Educação Matemática. Primeiro ciclo. 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 7 
CAPÍTULO 1: A CONCEPÇÃO CURRICULAR DA MATEMÁTICA DE 
SINGAPURA ................................................................................................................. 9 
CAPÍTULO 2: ANÁLISE DA SEQÜÊNCIA DE PROBLEMAS COM MODELO DE 
BARRAS DA COLEÇÃO “MY PALS ARE HERE!” ..................................................... 14 
2.1 O livro 1A ................................................................................................................... 16 
2.2 O livro 1B ................................................................................................................... 26 
2.3 O livro 2A ................................................................................................................... 32 
2.4 O livro 2B ................................................................................................................... 39 
2.5 O livro 3A ................................................................................................................... 42 
2.6 O livro 3B ................................................................................................................... 50 
2.7 O livro 4A ................................................................................................................... 58 
2.8 O livro 4B ................................................................................................................... 63 
2.9 O livro 5A ................................................................................................................... 66 
2.10 O livro 5B.................................................................................................................. 71 
2.11 O livro 6A ................................................................................................................. 77 
CONCLUSÃO .................................................................................................................. 85 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 88 
 
7 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Antes de licencianda em matemática, sou pedagoga, e durante a minha formação em 
pedagogia sempre me incomodei ao observar a grande dificuldade que muitas colegas tinham 
em matemática, então eu sempre me perguntava “como é possível ensinar matemática para as 
crianças tendo tantas dificuldades?”. Então, ao concluir meu curso de pedagogia resolvi 
também cursar graduação em matemática, para aumentar meu conhecimento na área e talvez 
conseguir ajudar minhas colegas professoras dos anos iniciais no ensino desta disciplina. 
Durante os estágios realizados na graduação de matemática, observei a grande 
dificuldade que os alunos têm nesta disciplina, principalmente nos conteúdos relacionados à 
álgebra. Com a experiência que tenho nos anos iniciais do Ensino Fundamental, percebi que 
no 1º ciclo os alunos gostam da matemática, mas na transição do 1º para o 2º ciclo a disciplina 
que era preferida passa a ser a preterida dos alunos. Mas por que será que isso acontece? 
Após assistir uma palestra da professora Yuriko na Jornada da Matemática, sobre o 
ensino de matemática de Singapura fiquei curiosa e resolvi pesquisar sobre o tema, já que em 
Singapura os alunos têm um aproveitamento bem melhor em matemática e parecem não sentir 
tanta dificuldade nesta transição do 1º para o 2º ciclo do Ensino Fundamental. Conversando 
com a professora, resolvemos estudar como o pensamento algébrico é desenvolvido nos 
alunos desde o primeiro ano do Ensino Fundamental até o 6º ano, através da análise de 
exercícios dos livros didáticos de matemática usados em Singapura do 1º ao 6º ano do Ensino 
Fundamental. Então, selecionamos e analisamos uma seqüência de problemas dos livros do 
aluno, desde o 1º até o 6º anos da coleção “My Pals are Here!” (Fong & al., 2012) para 
entendermos o processo de desenvolvimento do pensamento algébrico que facilita a transição 
para a álgebra no 6º ano, e como se processa a progressão da aritmética para a linguagem 
algébrica. 
Particularmente, vejo um grande abismo entre o 1º e o 2º ciclo do Ensino 
Fundamental, nas salas de aula do Brasil. Os professores do 1º ciclo têm conhecimento de 
metodologias, didática e psicologia do desenvolvimento, porém os conhecimentosespecíficos 
dos conteúdos não são aprofundados na graduação em Pedagogia. Enquanto isso, na 
graduação em Matemática, os conteúdos matemáticos mais avançados são trabalhados 
intensamente, mas nem sempre é feita a relação dos conteúdos com o ensino dos mesmos em 
sala de aula da Educação Básica. 
8 
 
No primeiro capítulo iremos falar sobre as características da Matemática de Singapura, 
que não é apenas uma metodologia, que possa ser copiada e resolver os problemas do ensino 
de matemática, mas sim uma ampla concepção curricular para um ensino eficaz. 
No segundo capítulo analisaremos uma sequência de exercícios dos livros do aluno de 
uma coleção de livros didáticos de matemática, utilizados em Singapura, focando no 
desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. 
Esperamos com esta pesquisa compreender como o raciocínio algébrico da criança 
pode ser desenvolvido de forma sutil, sem dificuldades e traumas posteriores, de forma que o 
aluno tenha êxito em matemática durante toda sua vida escolar. 
A partir da minha formação em licenciatura em Matemática conheci o currículo que 
deve ser trabalhado nesta disciplina no segundo ciclo do Ensino Fundamental e Ensino Médio 
e aprofundei meus conhecimentos em matemática o que me torna apta a lecionar esta 
disciplina. A partir deste trabalho, com base em tudo o que aprendi nas minhas graduações, 
em Pedagogia e Matemática, eu espero ser uma profissional melhor na minha área de atuação 
(atualmente Educação Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental), dando conhecimentos 
básicos necessários aos meus alunos para que tenham uma base sólida na aprendizagem 
matemática e sucesso na vida escolar. 
 
9 
 
CAPÍTULO 1: A CONCEPÇÃO CURRICULAR DA MATEMÁTICA DE 
SINGAPURA 
 
 Neste capítulo falamos sobre a Matemática de Singapura e suas características. Para 
tal, foi realizada a leitura de alguns textos a respeito do assunto, como: “Singapure Math: 
Simple or Complex?” (tradução: Matemática de Singapura: Simples ou Complexa?), 
publicado na revista Educational Leadership; trechos da tese de mestrado de Jonas Queiroz, 
que fala sobre a resolução de problemas da pré-álgebra e álgebra para fundamental II com o 
auxílio do Modelo de Barras; e uma comunicação pessoal da professora Yuriko Baldin 
intitulado “Texto explicativo sobre a Matemática da Singapura”. 
De acordo com nossas leituras, o excelente desempenho em matemática que os alunos 
de Singapura vêm obtendo nos exames internacionais levou pesquisadores matemáticos a 
investigar o material didático de Singapura e descobrirem assim a riqueza deste material, que 
possui uma abordagem simples e eficaz. Perceberam a filosofia que há por trás da Matemática 
de Singapura, que possui uma estrutura lógica, um currículo coerente e foca nas habilidades 
necessárias para uma aprendizagem efetiva dos estudantes nos anos do Ensino Fundamental. 
Em particular o sucesso na aprendizagem da álgebra chama a atenção para a metodologia da 
Matemática de Singapura. Um exemplo é a tese de Mestrado do Jonas Queiroz (2014) que 
pesquisou a utilização do Modelo de Barras para ensino da pré-álgebra e álgebra para alunos 
dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental. 
 A imagem abaixo, fornecida pelo Ministério da Educação de Singapura, resume a 
concepção filosófica da organização da Matemática de Singapura: 
(http://lysigrey.wikispaces.com/Mathematics+Framework) 
10 
 
 
Figura 1.1: Pentágono ilustrativo da base da Matemática de Singapura 
Original em: http://lysigrey.wikispaces.com/Mathematics+Framework 
A explicação deste quadro segue abaixo: 
Uma interpretação dos elementos deste quadro permite concluir que a Matemática de 
Singapura não se trata apenas de uma metodologia, e sim uma proposta coesa de currículo 
escolar baseada numa filosofia de ensino que tem como eixo central a Resolução de 
Problemas. A proposta curricular é constituída de cinco frentes: atitudes, meta-cognição, 
processos, conceitos e habilidades. Na base do diagrama se encontram os conceitos que são os 
conteúdos específicos dos campos da disciplina Matemática na Educação Básica, que são 
conceitos numéricos, geométricos, algébricos e estatísticos (que no Brasil seria parte do 
Tratamento da Informação). As habilidades desejadas abrangem: estimativa e aproximação, 
cálculo mental, comunicação, uso de ferramentas matemáticas, manipulação aritmética, 
manipulação algébrica e tratamento de dados. Os processos envolvem a habilidade de 
pensamento e heurística (encontrar/descobrir fatos). A meta-cognição se trata do 
monitoramento do próprio pensamento e as atitudes requeridas são apreciação, interesse, 
confiança e perseverança. 
Não entraremos em detalhe sobre cada frente da Matemática de Singapura, pois o foco 
da nossa pesquisa é a análise de uma seqüência de atividades de uma coleção didática 
utilizada em Singapura, aprovada pelos órgãos competentes do país, como sendo um material 
que está de acordo com a concepção da Matemática de Singapura. 
11 
 
 No Capítulo 2, faremos uma análise do material didático “My Pals Are Here!”, tendo 
em mente as frentes dessa concepção para embasar nossas percepções sobre o valor 
educacional da sequência didática dos problemas ao longo dos livros da coleção. 
 As principais características da Matemática de Singapura, de acordo com Baldin 
(2014) são: 
 Abordagem de aprendizagem: Concreto → Pictórico → Abstrato; 
 Estímulo ao processo de pensamento ativo, comunicação de ideias matemáticas 
e resolução de problemas. 
 Desenvolvimento de fundamentos que os alunos necessitarão para a 
matemática mais avançada; 
 Ênfase no exercício mental dos conceitos de matemática por meio da 
abordagem pelo modelo pictórico. 
Uma característica marcante da Matemática de Singapura é que ela promove a 
aprendizagem dos conceitos matemáticos a partir da técnica da representação pictórica dos 
dados de situações problema utilizando um método chamado Modelo de Barras. O Modelo de 
Barras é encontrado constantemente nos materiais didáticos de Singapura, e por isso muitas 
vezes o Modelo de Barras é confundido com a própria Matemática de Singapura. Porém, 
como vimos na figura acima, a Matemática de Singapura é mais que uma metodologia. 
O Modelo de Barras é uma representação geométrica com desenho de barras para 
quantidades numéricas, utilizado na modelagem algébrica de estratégias na resolução de 
situações problema nos anos do primeiro ciclo do ensino fundamental. Através do uso 
contínuo do Modelo de Barras, os alunos de Singapura aprendem conceitos e adquirem 
habilidades de identificar os dados e os solicitados de um problema, de forma que a 
representação pictórica auxilia na elaboração da estratégia para solução do problema, com a 
escolha de operações corretas para a situação. 
O Modelo de Barras é introduzido no 2º ano como extensão de representação pictórica 
de objetos e quantidades usada no 1º ano, e passa a ser aplicado sistematicamente a partir do 
3º ano em problemas contextualizados de adição e subtração, multiplicação e divisão, até em 
problemas mais complexos envolvendo frações e porcentagens, como os trabalhados no 6º 
ano. Através do Modelo de Barras o aluno visualiza graficamente as informações contidas nos 
enunciados dos problemas e interpreta as relações existentes entre elas. 
Como diz Hoven e Garelick (2007): 
12 
 
Bar modeling is a specific variant of the common Draw a Picture 
mathematics problem-solving strategy. Because Singapure Math uses this 
one variant consistently, students know what kind of Picture to draw. That’s 
an advantage If the bar model is versatile enough to apply to many complex 
problems – and it is. It is especially useful for problems that involve 
comparisons, part-whole calculations, ratios, proportions, and rates of 
change. It communicates graphically and instantly the information that the 
learner already knows, and it shows the student how to use that informationto solve the problem. 
 Tradução: 
 A modelagem por barras é uma variante específica do “desenhar 
uma figura” que é uma estratégia comum de resolução de problemas de 
matemática. Porque a Matemática de Singapura usa esta variante 
consistentemente, os alunos sabem que tipo de representação desenhar. Isso 
é uma vantagem se o modelo de barras for versátil o suficiente para se 
aplicar a muitos problemas complexos - e é. Ele é especialmente útil para 
problemas que envolvem comparações, cálculos de parte-todo, relações, 
proporções e taxas de variação. Ele comunica graficamente e 
instantaneamente as informações que o aluno já conhece, e mostra ao 
estudante como usar essa informação para resolver o problema. 
 
O Modelo de Barras auxilia para que o aluno tenha uma visão integral do problema, 
pois representa de forma pictórica toda situação envolvida no problema, ou seja, vai além da 
representação simples dos dados. Além de ser uma ferramenta importante para solução de 
situações problema, o modelo também é muito importante para reforçar conceitos básicos da 
matemática, por meio dos significados das operações. 
Como veremos no capítulo 2, o Modelo de Barras se mostra muito útil na 
compreensão das propriedades aritméticas, que auxilia na transição do concreto para o 
abstrato, ou seja, através da representação pictórica pelo Modelo de Barras o aluno consegue 
progredir da utilização de materiais concretos para expressar-se na linguagem matemática 
abstrata, e isso permitirá obter êxito na transição da aritmética para a álgebra nos anos 
seguintes. 
13 
 
A Matemática de Singapura desenvolve nos alunos a capacidade de manipular as 
informações, de visualizar as situações problema através da modelagem, de reconhecer 
padrões e fazer generalizações, e de desenvolver habilidades de manipulação numérica 
através do cálculo mental. Além de focar nas relações de parte-todo e comparação, a 
visualização pictórica favorece a transição do concreto para o abstrato através da Resolução 
de Problemas, particularmente dos algébricos. 
O material didático de Singapura que nos foi autorizado a estudar e analisar (Fong& 
al. 2012) é estruturado de forma clara e eficaz, organizando os conteúdos curriculares de 
forma equilibrada em livros ao longo dos anos escolares, de 1º a 6º anos. A coleção traz 
personagens para acompanhar a evolução das atividades dentro dos textos, para apoiar os 
alunos em momentos que exigem atenção, sendo visualmente atrativo para as crianças. Os 
textos têm linguagem simples e direta. Junto com essas características que favorecem 
aceitação dos alunos em acompanhar as lições, os desafios que estimulam o pensamento do 
aluno permeiam as páginas. Os conceitos são ensinados lentamente, porém com profundidade, 
permitindo que os alunos progridam rapidamente nas habilidades essenciais para a 
aprendizagem da matemática. 
 
14 
 
CAPÍTULO 2: ANÁLISE DA SEQUÊNCIA DE PROBLEMAS COM MODELO DE 
BARRASDA COLEÇÃO “MY PALS ARE HERE” 
 
Neste capítulo analisamos páginas selecionadas da coleção My Pals Are Here! (2ª 
Edição) (FONG et al, 2012), uma coleção representativa de livros didáticos da Matemática de 
Singapura. Todas as imagens das páginas analisadas neste trabalho são desta coleção, e foram 
devidamente autorizadas pela editora. 
Selecionamos para cada ano escolar, do 1º ao 6º ano desta coleção, atividades em que 
reconhecemos as ideias principais que constroem uma sequência que desenvolve o raciocínio 
algébrico desde o 1º ano do Ensino Fundamental. 
Uma análise completa dos livros na perspectiva da concepção da Matemática da 
Singapura, como estudado no Capitulo 1, foge do alcance de um TCC, sendo o objetivo do 
nosso trabalho focar a análise dos problemas selecionados no significado do Modelo de 
Barras como ferramenta para fundamentação e desenvolvimento do pensamento algébrico 
ao longo dos anos do Ensino Fundamental 1º ciclo. 
Todos os livros possuem conteúdos de aritmética, geometria, tratamento de 
informação, e grandezas e medidas, distribuídos equilibradamente em cada ano escolar, mas o 
nosso estudo destaca os problemas em que o Modelo de Barras se mostra na introdução de 
conceitos novos e de técnicas aritméticas que se generalizam para o pensamento algébrico. 
Para cada ano, os livros textos da coleção apresentam dois volumes, a parte A e a parte 
B, utilizadas respectivamente no primeiro e segundo semestre. Em cada semestre, são 
utilizados três livros: um livro do aluno (livro texto para utilização em sala de aula), um livro 
de tarefa de casa e um manual do professor que acompanha o livro do aluno. 
Neste trabalho, iremos indicar por 1A o livro do aluno do 1º ano – 1º semestre, 1B o 
livro do 1º ano – 2º semestre e assim por diante, e referir ao manual do professor como Guia 
do Professor do livro 1A, e assim por diante, uma tradução do original em inglês, Teacher´s 
Guide. Não analisaremos o livro de tarefas por limitação do nosso trabalho, porém 
observamos que os exercícios do livro de tarefa de casa expandem as competências e 
habilidades trabalhadas nas lições de sala de aula, e fazem parte importante da aprendizagem 
dos alunos para fixação de conteúdo e treinamento de habilidades técnicas. 
O Guia do professor chama atenção por sua estrutura. Este livro apresenta cada página 
do livro do aluno, em que são dadas as respostas dos exercícios, instruções para o professor 
sobre como encaminhar a realização dos exercícios/atividades pelos alunos, sugestões de 
15 
 
exercícios extras e os exercícios do livro de tarefa referentes ao conteúdo da página. Além 
disso, a página aponta, quando pertinentes, aspectos importantes da concepção curricular 
daquela página e seu conteúdo, associando-os a conceitos, habilidades, atitudes, metacognição 
e processo, que constituem a fundamentação da matemática de Singapura, como explicado no 
capítulo 1. 
Na seguinte Figura 2.1, ilustramos uma página do livro 1A, orientada no Guia do 
professor. 
 
 
Figura 2.2 Página 37 do Guia do Professor referente ao livro 1A.1 
 
 
1 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
16 
 
No topo da página é explicitado o objetivo da atividade: “os alunos terão que fazer 
deduções e aplicar as partes dos números para resolver problemas”. Em seguida indica as 
atividades individuais que estão no livro de tarefa e as habilidades desenvolvidas: parte-todo, 
comparação e dedução. Sugere também uma atividade opcional que o professor pode 
desenvolver com os alunos. Ao lado da imagem da página do livro do aluno aparecem as 
instruções para realização das atividades. O conteúdo desta página será analisado ainda dentro 
deste capítulo, quando iremos compará-lo com a página correspondente do livro 1A do aluno. 
No nosso trabalho, concentramos nas atividades e nos exercícios/problemas do livro 
do aluno, e em alguns casos, faremos uma comparação delas com as instruções da página 
correspondente no Guia do professor, para embasar a nossa análise. 
 
2.1 O livro 1A 
 
No livro 1A, os estudos se iniciam com a contagem do 1 ao 10, primeiro com a 
contagem de objetos e a representação de cada número. 
São realizadas atividades de contagens de objetos em figuras e a escrita/leitura do 
número que representa tal quantidade, inclusive do número 0, representando a ausência de 
quantidade, quando os alunos trabalham com figuras de conjuntos com quantidades diversas 
de objetos, inclusive um conjunto sem objetos, isto é, está vazio, e o aluno é conduzido a 
representar a ausência de quantidades com o número 0. 
Além da quantificação de conjunto de objetos, pela contagem, o aluno é apresentado 
neste estágio a um objeto especial, uma pecinha cúbica parecida com “Lego” que tem 
extremidades que se encaixam, para representar a quantidade de uma “unidade”. Esse objeto 
é material concreto que faz parte do material didático dos livros,e é utilizado na contagem de 
objetos, além de objetos do cotidiano e objetos visualizados nas figuras. 
Após aprender os números de 1 a 10, relacionando-os com as quantidades na 
contagem de diversos objetos ou nas figuras, é trabalhada a ideia de comparação entre 
quantidades de agrupamentos diversos: mais que, menos que, igual, para consolidar o 
conceito de um número ser maior que, menor que ou igual, na comparação entre dois 
números. Isso segue naturalmente para trabalhar o conceito de ordem e a percepção de 
padrões associados aos números, por meio de atividades propostas a alunos. Por exemplo: 
sequência de números ímpares em ordem crescente (1, 3, 5, 7, 9), sequência de números pares 
17 
 
em ordem decrescente (10, 8, 6, 4, 2), e outros padrões que podem ser formados utilizando os 
números de 1 a 10. 
Após trabalhar intensamente a contagem e comparação de quantidades até 10, nos 
primeiros capítulos do livro, é introduzido o conceito de “partes” de um número, por meio de 
decomposição de um número em outros números menores, como suas partes. Notamos então 
que as ideias de “parte-todo” e “comparação” que permeiam a matemática de Singapura são 
iniciadas desde a introdução dos primeiros conceitos. 
Para desenvolver a ideia de decomposição, propõe-se inicialmente atividade com as 
pecinhas que representam unidades e podem ser encaixadas formando barras que representam 
números maiores pelas quantidades maiores de unidades. Esta atividade manipulativa de 
junção de peças, para representar quantidades maiores forma barras que representam números 
de acordo com a quantidade, e sua visualização e manipulação facilitam nos anos seguintes a 
representação pictórica de quantidades através do Modelo de Barras. 
Como exemplo, nas páginas 22 e 23 do Livro 1A encontramos uma proposta para que 
os alunos decomponham os números 4 e 5 em partes. Solicita-se que o aluno junte 4 pecinhas 
e depois separe-as em partes, identificando assim as partes do número 4, de várias maneiras 
diferentes, e em seguida repetir a atividade com o número 5. Nestas páginas, identificamos o 
princípio curricular da Matemática de Singapura, que prioriza a compreensão do conceito de 
parte-todo, e na página seguinte, a da ideia de comparação dentro do conceito de parte-todo, 
como mostra a Figura 2.2, a seguir. 
 
18 
 
 
Figura 2.3: Página 24, Livro 1A. 2 
 
No exercício da página 24, o aluno é solicitado a trabalhar as partes que compõem o 
número 7, auxiliado por recurso visual de uma balança imaginária para compreender a 
comparação neste experimento virtual e aplicar o conceito de igualdade. 
Este exercício não trabalha explicitamente a operação de adição, mas percebemos que 
a compreensão do significado de decompor um número em partes prepara o pensamento sobre 
o princípio da adição. 
Logo, o livro de Singapura prepara cuidadosamente as atividades que embasam o 
desenvolvimento do pensamento abstrato das crianças, desde os primeiros contatos com o 
 
2 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
19 
 
conteúdo matemático por meio de material concreto e recursos visuais para experimentos 
virtuais. 
Conseguimos identificar como processo de aprendizagem nesta proposta de atividade 
o seguinte: 
O aluno irá primeiro identificar a representação de um número num modelo de 
balança, atribuindo significado à contagem de unidades marcadas no braço da balança, pela 
ordem expressa pelo sequenciamento da contagem ao longo do braço da balança. 
Representando um número, por exemplo, o 7 da atividade 2, no braço direito da balança com 
uma peça colocada na posição do furo número, (no caso o sétimo), o jogo seria colocar fichas 
no lado esquerdo que sejam partes do número no lado esquerdo, para “balancear” (igualar em 
quantidade de unidades). A equivalência é interpretada como igualdade dos valores das partes 
que juntas compõe um todo inicial, pela ideia intuitiva de equilíbrio da balança. 
Percebemos que isso prepara o pensamento algébrico pela interpretação da igualdade 
matemática, não por meio de simbologias que seriam trabalhadas nos anos posteriores, mas 
sim conceitualmente. Percebemos a sutileza da atividade que introduz, desde os primeiros 
passos no estudo de números do 1º ano do EF (Ensino Fundamental), o conceito de igualdade 
que será requerido no estudo de equações no 2º ciclo do EF. O item b consolida o 
entendimento por instigar a exploração de outras possibilidades de decomposição, 
promovendo uma aprendizagem do conteúdo explorando a variabilidade das partes que 
compõem um número. 
 Ao final do exercício propõe-se uma situação desafio, comentando-se que na balança 
também é possível colocar o 7 em ambos os lados, estimulando assim o aluno a considerar 
que o 7 (todo) pode ser comparado com o próprio 7 (parte), e logo na decomposição do 
número 7 podemos comparar 7 com as partes 7 e 0, em que 0 representa o “nada” para a 
criança. 
A nossa escolha para analisar este exercício no início do livro do 1º ano é motivada 
por nossa observação de que esta atividade consegue trabalhar por meio de material concreto 
a ideia básica de comparação entre números, usando a ideia do equilíbrio da balança como 
igualdade. No nosso entendimento, as atividades que promovem o pensamento de comparação 
e de parte-todo, em situações problema desde o 1º ano, facilitam posteriormente a 
compreender as ideias fundamentais, e também de técnicas, das operações aritméticas, 
iniciando com as de adição e subtração, indo além, como preparatórias do pensamento 
algébrico requerido na resolução de equações no 2o ciclo do EF. 
20 
 
Na página 25 é proposto um exercício que resume os conceitos trabalhados no 
exercício anterior para consolidar a aprendizagem, ilustrado na Figura 2.3. 
 
Figura 2.4 Página 25 do livro 1A3 
 
 Neste exercício, o número representado no lado direito (o todo) é dividido em três 
partes, para generalizar a ideia de parte-todo e comparação. Neste exercício, observamos que, 
além da balança, volta-se a utilizar o material concreto para conectar a compreensão anterior 
da representação de um número, isto é, as pecinhas que representam unidades na contagem de 
quantidades. Em nossa análise, as peças dispostas como na Figura 2.3, isto é, o todo e suas 
partes, em cada lado da balança, preparam a ideia de modelagem por barras que será 
introduzido posteriormente, no 2º ano. De fato, ao juntar as pecinhas como partes para formar 
 
3 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
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um todo que representa um número, o aluno realiza um procedimento que será repetido 
posteriormente na modelagem por barras para resolver problemas com operações aritméticas. 
Além disso, é importante observar a coesão entre as diferentes ferramentas, para 
compreender diversas maneiras de representar um número que se conectam para construir um 
conceito. Infelizmente, esta leitura não é feita em nossos cursos de Pedagogia para formação 
de pensamento matemático dos futuros professores do ensino fundamental 1º ciclo. 
Na página 27, o conceito de “decomposição de um número em partes” retorna, 
trabalhado de forma lúdica. É dado ao aluno um número que seria correspondente ao todo e 
dois baldinhos. O aluno conta a quantidade de bolinhas sob um dos baldinhos e precisa 
identificar a quantidade de bolinhas que deve ter sob o outro baldinho para compor o número 
que seja o “todo”. A atividade ilustra de forma lúdica o pensamento que irá ser necessário 
para abstrair o conceito de incógnita nas equações, nos anos do 2o ciclo. Notamos que este 
exercício mais uma vez trabalha o conceito do número 0 no item três, em que não há nenhuma 
bolinha sob o baldinho do meio. A Figura 2.4 mostra esta atividade. 
 
Figura 2.5 Página 27do livro 1A44 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
22 
 
 No Guia do Professor referente a esta página (Figura 2.1), além das respostas do 
exercício aparece registrado o objetivo desta atividade como “os alunos serão capazes de fazer 
deduções e aplicar as partes dos números para resolver problemas”; as habilidades de 
pensamentos como “análise parte-todo, comparação e dedução”; indicação dos exercícios do 
livro de tarefas referente a este conteúdo; sugestão de atividades opcionais como “reunir os 
alunos em duplas para fazer uma atividade prática em que um aluno tem um conjunto de 
peças e diz ao seu parceiro a quantidade que possui, em seguida esconde uma parte das peças 
e mostra o restante para o amigo, que deve acertar a quantidade de peças escondidas”. São 
dadas também instruções para a realização da atividade, por exemplo, questionamentos que o 
professor pode fazer aos alunos durante a atividade. 
Assim também, quando o professor aplicar esta atividade com seus alunos, terá 
orientação clara do que deve avaliar no desenvolvimento dos alunos, qual o objetivo da 
atividade e as habilidades desenvolvidas. 
Como já dissemos, notamos que já no segundo capítulo do livro 1A, o estímulo ao 
desenvolvimento do pensamento algébrico se inicia fazendo uso de materiais distintos, como 
material concreto e brincadeiras, sendo eles meios para atingir o objetivo de aprendizagem de 
conteúdo, com foco em sistematização da representação simbólica com entendimento de seus 
significados. 
 No capítulo 3 do livro 1A é iniciada a operação de adição, primeiro com resultados até 
10. Entendemos que isso é uma evolução natural do que foi aprendido até então, trazendo 
novas linguagens e significados para a atividade de decomposição de um número em partes. 
É apresentado o símbolo de + e o seu significado, e o conceito de adição é introduzido 
usando material concreto (bolinhas de gude), contagem e pecinhas. Assim, o aluno trabalha as 
ferramentas que conheceu nos capítulos anteriores para aprender novo conteúdo, baseado em 
conhecimento prévio, o que para nós indica a conexão entre os tópicos curriculares.Um 
exemplo está na página 35, onde há uma atividade em que os alunos precisam observar as 
imagens e efetuar a adição. No item a aparecem dois grupos, um com 2 ursos de pelúcia 
grandes e outro com 5 ursos de pelúcia pequenos. Abaixo da foto dos ursos aparece a 
representação da situação no diagrama de parte-todo (como da atividade ilustrada na Figura 
2.4) e a representação pela expressão matemática da adição 2 + 5 = 7, seguida da resposta 
completa do exercício “Existem 7 ursos de pelúcia ao todo”. 
 No capítulo 4 introduz-se a operação de subtração, trabalhando com atividades 
semelhantes às do capítulo 3, onde se estudou a adição. A subtração é ensinada como uma 
23 
 
extensão das ideias trabalhadas anteriormente. Não selecionamos atividades deste capítulo, 
pois os exercícios que desenvolvem o raciocínio algébrico preparatório para o algoritmo da 
subtração, foram desenvolvidos nos primeiros capítulos do livro e já analisados acima. 
 Neste capítulo, o foco maior está no treino da técnica algorítmica para realização da 
subtração, que está fora do foco da nossa pesquisa. Porém, deixamos observado que os 
primeiros algoritmos para cálculo das operações nesta coleção usam como um dos recursos o 
material dourado, que é manipulado junto com os registros das técnicas. Também, os 
capítulos 5 e 6 que trabalham a geometria e os números ordinais, respectivamente, não serão 
analisados por estarem fora do objetivo da nossa pesquisa. 
 A aritmética é retomada no capítulo 7, trabalhando os números até 20. Inicialmente é 
proposto aos alunos exercícios de contagem de objetos, a partir do número 10, formando os 
números de 11 a 20. A partir deste momento, retoma-se a técnica já aprendida de 
decomposição de um número em partes. É interessante que na primeira atividade nesta 
direção, a decomposição parte-todo de um número é desenvolvida propondo-se dividir o 
número em duas partes fixando sempre uma das partes como 10, mostrando a importância da 
compreensão e domínio da representação decimal. A nossa análise é de que a orientação deste 
capítulo se propõe a consolidar a ideia de dezena como ingrediente essencial no sistema de 
representação decimal dos números, e o Modelo de Barras antecede mesmo a introdução de 
material padronizado como o material dourado. 
No capítulo seguinte é trabalhada a adição e a subtração com resultado até 20. 
Identificamos uma atividade que evidencia o objetivo de desenvolver o pensamento algébrico 
neste estágio do estudo dos números, na página 100. Nela, é proposto ao aluno utilizar os 
conceitos trabalhados nas páginas 24 e 25 para decompor uma das parcelas e facilitar a 
realização de somas. A Figura 2.5 abaixo ilustra a página do Guia do professor da atividade. 
 
24 
 
 
Figura 2.6: Página 296 do Guia do professor referente ao livro 1A5 
 
A Figura 2.5 mostra a página do Guia do Professor referente à página 100 do livro 1A 
do aluno. No topo desta página tem a informação dos materiais necessários para a realização 
da atividade pelos alunos: 20 pecinhas, sendo 10 de cada cor. Abaixo, aparecem as atividades 
com orientações na coluna ao lado, e as páginas do livro de tarefas que complementam a 
atividade. Os professores são orientados a mostrar aos alunos como usar as pecinhas da 
unidade, reagrupá-las usando a estratégia de “fazer o 10”, organizar os alunos em grupos de 4 
a 6 para realização dos exercícios com as pecinhas, e registrar as respostas no livro do aluno. 
A primeira operação proposta na página 100 é calcular o resultado de 8 + 4. O uso do 
material concreto com barra de 8 peças e outra de 4 peças, com cores distintas inicia a 
 
5 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
25 
 
atividade em que a estratégia consiste em decompor 4 em partes de modo que um 
reagrupamento de uma das partes com a peça de 8 produz 10, facilitando tanto a resolução do 
exercício como a preparação para a técnica de algoritmo que é conteúdo curricular. Além 
disso, a atividade, como indicado, permite ao aluno praticar a propriedade associativa da 
adição. No caso, isso significa que o aluno perceberá que somar dois números pode ser feito 
somando primeiro as partes dos números e depois a parte que restou, e que resulta no mesmo 
valor se o aluno somasse partes distintas das decomposições. Na nossa análise, esta técnica 
favorece cálculos mentais e pensamentos algébricos. 
Observamos ainda na Figura 2.5, que no livro do aluno aparecem personagens para 
ajudar os alunos na realização das atividades. São os “companheiros” (pals) dos alunos, que 
aparecem para auxiliar os alunos em diversos momentos, com dúvidas, perguntas ou 
sugestões que os próprios alunos poderiam ter, até mesmo pequenos lembretes. São recursos 
pedagógicos do livro que assim convida o aluno a participar, junto com os companheiros que 
lhe dão dicas. Neste caso, a dica dada pelo companheiro é decompor em partes a menor 
parcela, para poder compor mais facilmente o 10 junto com a parcela de valor maior. São 
dicas que facilitam a aquisição de técnicas de operação e estimulam o cálculo mental, que são 
habilidades requeridas na aprendizagem. No rodapé da página há orientação para ensinar as 
crianças a praticar a estratégia de fazer 10, usando contagem de objetos do dia-a-dia da 
criança. E, usando o exemplo 8 + 4 em que se decompõe primeiro a maior parcela que é 8, 
mostra para a criança que decompor o maior número não está errado, porém pode ser mais 
trabalhoso. 
Esta ideia de “completar o dez” é extremamente importante no momento que se 
trabalha o algoritmo da adição, para evitar a aprendizagem focada na regra que o aluno apenas 
memoriza, sem muito entender o porquê da regra “vai um”. Este é um exercício preparatório 
para oalgoritmo posicional, ou seja, “montar a continha”, com objetivo de preparar o aluno 
para aprender o algoritmo da adição de números em que a soma dos valores na casa das 
unidades resulta um valor maior que 10. 
Com esta atividade, percebemos que se consolida o conhecimento adquirido 
anteriormente agregando mais significados a este, pois o aluno tem a oportunidade de utilizar 
a decomposição em partes, já aprendida, e passar para o estágio seguinte no pensamento. Ao 
decompor os números e reagrupar suas partes para efetuar operações o aluno está realizando 
manipulações algébricas, que é uma habilidade contemplada no pentágono que caracteriza a 
filosofia da Matemática de Singapura, e que fará com que o aluno tenha mais facilidade para 
26 
 
realizar cálculo mental, outra habilidade contemplada no pentágono. Ao praticar a 
manipulação das partes dos números e seus registros, são resgatadas outras habilidades 
adquiridas anteriormente, como a contagem, o sinal de igual da operação de adição (que é 
representada pela balança em equilíbrio, da página 24). No momento do registro não se faz 
necessário o uso da balança, pois é o momento de avaliar que o aluno conseguiu consolidar o 
conceito de igualdade do número como a soma de suas partes. A estratégia de escolher o 
número de menor valor absoluto para fazer a decomposição também facilita a execução da 
manipulação algébrica e cálculo mental, pois o número maior está mais próximo de 10. 
 
2.2 O livro 1B 
 
No livro 1B selecionamos exercícios a partir do terceiro capítulo deste volume, em que 
são trabalhados os números até o 40. Os alunos seguem usando as pecinhas de lego e o 
material dourado para representar as quantidades, e são orientados a formar 10 (dezenas). 
Também é exercitada a decomposição, comparação e ordenação dos números. 
Gradativamente, os valores dos números utilizados nos exercícios aumentam. Os números 
inteiros são utilizados para representar quantidades discretas, e se trabalham propriedades do 
conjunto numérico dos inteiros por meio de sequências e ordenação dos números. O 
conhecimento das características de conjuntos numéricos é necessário, portanto, para os 
professores saberem a ensinar, e é isso que estudamos na Teoria dos Números. 
O livro1B trabalha intensamente as propriedades dos números por meio de sequências. 
Ainda no início do capitulo três, a ideia de ordem dos números é trabalhada sistematicamente, 
com atividades de “maior que”, “menor que”. Na página 34, os alunos utilizam um 
conhecimento prévio de representação de quantidades com o material dourado para comparar 
quantidades, usando os conceitos de “maior que” e “menor que”, analisando variados casos e 
consolidando o valor posicional dos dígitos na representação decimal. Nesta página o 
“companheiro” questiona o aluno “porque tal número é menor que o outro?” para ajudar o 
aluno a perceber que pode utilizar a representação do material dourado para comparar a 
quantidade de dezenas e unidades dos números, e então justificar a ordenação dos números 
dados. Após comparar quantidades e justificar com material dourado, é proposto um exercício 
em que o aluno observa três números, sem representação pictórica, e deve ordená-los. No 
primeiro item, todos os números têm a mesma dezena e as unidades variam; no segundo item 
há variações tanto nas dezenas como nas unidades; e no terceiro item aparecem números com 
27 
 
um dígito e números com dois dígitos, sendo estes com variações tanto nas dezenas como nas 
unidades. Em outras palavras, este exercício abrange diversos tipos de comparação, o que 
facilita a verificação da aprendizagem do aluno da noção de ordenação dos números, e assim 
estar preparado para a atividade da página 35 que será analisada em seguida. 
A imagem abaixo ilustra a página 57 do Guia do Professor que se refere à página 35 
do livro do aluno, que dá continuidade aos exercícios citados no parágrafo anterior. 
 
 
Figura 2.7: Página 57 do Guia do Professor referente ao livro 1B6 
 
A página 35 do livro do aluno trabalha uma sequência numérica, em uma atividade em 
que o aluno deve preencher os números ausentes na lista. Como na página 34 anterior 
trabalhou-se a comparação de números numa lista, propõe-se agora expandir o aprendizado, 
 
6 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
28 
 
para além de ordenação pela quantidade dos números, descobrindo algum padrão na lista de 
números para conseguir completar a lista com os números que faltam. Percebemos que essas 
etapas estimulam o aluno a abstrair para desenvolver um raciocínio algébrico. 
No Guia do Professor há orientação para a realização da atividade, os exercícios do 
livro de tarefa referentes ao conteúdo desta página, e a sugestão de uma atividade em duplas. 
Nesta atividade, cada aluno deve criar uma sequência numérica com algumas lacunas e trocar 
com seu par para que cada um complete a sequência do amigo. De acordo com as instruções, 
o professor deve enfatizar o uso das expressões “maior que” e “menor que” nas atividades 
desta página. Percebemos na proposta desta página a importância do aluno compreender a 
ideia de um número ser “2 maior que” ou “2 menor que” outro número, e notamos que essa 
ideia é útil quando o aluno trabalhar o significado das operações na interpretação de dados de 
uma situação problema. 
Após trabalhar o conceito de ordem e a ideia da comparação entre os números, o livro 
inicia um trabalho sistemático com as operações de adição e subtração. 
A Figura 2.7 se refere à página 48 do livro 1B. 
29 
 
 
Figura 2.8: Página 48 do livro 1B7 
 
Nela é proposto ao aluno que resolva a subtração “36 – 3”. O “companheirinho” 
aparece com um resgate da notação de sequência como uma dica para conectar o 
conhecimento prévio ao solicitado no item a da tarefa. O item a solicita ao aluno que faça 
uma contagem de trás para frente a partir do número 36 para construir uma sequência 
numérica. Prosseguindo, o item b solicita ao aluno que trabalhe uma representação decimal do 
número 36 com cartela de valor posicional, e o material dourado é retomado para consolidar 
este conceito. O algoritmo da subtração é então montado com base no conceito de valor 
posicional facilitado pela visualização do material dourado. Achamos importante a utilização 
 
7 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
30 
 
do material dourado neste momento em que o aluno está aprendendo a linguagem de 
algoritmo das operações, e registrar a operação e o resultado na linguagem matemática. 
Para consolidar a aprendizagem, ainda na mesma página aparece outra 
“companheirinha” que pensa a mesma operação, utilizando a decomposição do número, uma 
estratégia que o aluno já aprendeu no contexto de adição/subtração desde o livro 1A. Esta 
estratégia traz para o aluno a oportunidade de propor a decomposição adequada, isto é, o 
momento de reforçar a compreensão da representação decimal, o que conecta os significados 
desta atividade à do item b. O comentário de um “companheiro” para lembrar a retirada de 
unidades na casa das unidades, e depois as dezenas da casa das dezenas, faz a conexão. A 
tarefa reserva espaço para o registro de cada uma das abordagens estudadas incluindo espaço 
para a resposta completa. Percebemos que a estratégia didática de trabalhar diferentes técnicas 
para uma mesma tarefa num mesmo momento é um processo que deve trazer sucesso para um 
ensino eficaz e aprendizagem significativa. Considerando todos os processos desenvolvidos 
nesta página acreditamos que o aluno tenha mais facilidade em compreender o significado da 
operação, e compreenda o funcionamento do algoritmo, sem deixar de lado a importância do 
registro de cada processo e a resposta no final. O procedimento desenvolvido anteriormente 
com a operação de adição tambémé consolidado nesta página com a operação de subtração. 
Notamos que na página 52, um jogo é proposto para que, através do lúdico, ocorra a 
fixação dos conceitos recém-aprendidos, o que é muito importante nesta faixa etária. Não 
faremos análise deste jogo. 
Ainda neste livro, selecionamos a página 60 para ilustrar o que identificamos como 
relacionado ao desenvolvimento do raciocínio algébrico, na resolução de uma situação 
problema, após várias atividades de prática de algoritmos da adição e subtração. 
 Segue abaixo a página 82 do Guia do Professor, referente à página 60 do livro 1B do 
aluno. 
 
31 
 
 
Figura 2.9: Página 82 do Guia do Professor referente ao livro 1B8 
 
Na página aparecem duas situações problema. 
O “companheirinho” aparece para trabalhar junto com o aluno, sugerindo que ele pode 
usar as pecinhas para ilustrar o problema, e então facilitar a compreensão e a interpretação das 
condições do problema e do que é solicitado. Entendemos que o objetivo da utilização das 
pecinhas é ajudar o aluno a retomar seus conhecimentos prévios que foram adquiridos por 
meio da manipulação desses materiais concretos. No entanto, percebemos a estratégia de usar 
as peças com o número correspondente de unidades já unidas pelas extremidades, trabalhando 
as peças como barras. 
 
8 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
32 
 
O primeiro problema diz: “Mahan mora no 14º andar de um prédio. Ele mora 11 
andares acima de Neesha. Em qual andar Neesha mora?”. 
O segundo problema diz: “Googol fez 20 tortas de frango para uma festa. Ele fez 6 
tortas de frango a mais que Hulling. Quantas tortas de frango Hulling fez?”. 
Percebemos que ambos são problemas de comparação, embora o primeiro problema 
tenha componente de ordem que aparece nos andares de um prédio. Nos dois problemas o 
aluno deve decidir o “todo” referência para poder comparar as partes, num contexto de 
contagem das quantidades de andares de um prédio ou de tortas. 
Utilizar as pecinhas na resolução dos problemas facilita a identificação de que ação 
realizar para encontrar a resposta solicitada. Quando compreende o contexto do problema, 
modelando com as barras que representam os dados do problema, o aluno mobiliza seu 
raciocínio para descobrir e propor as operações adequadas para a resolução. 
O potencial da modelagem por barras para a resolução de problemas de aritmética fica 
evidenciado com exemplos como desta página. 
No capítulo 4, intitulado “Cálculos mentais” o aluno aprende a utilizar como estratégia 
para o cálculo mental a decomposição dos números para fazer reagrupamentos e efetuar 
cálculos com mais facilidade e rapidez. Os personagens do livro auxiliam os alunos no 
raciocínio e são propostos jogos para que os alunos efetuem cálculos mentalmente. 
Consideramos em nossa análise que este processo de decompor e reagrupar os números 
mentalmente é muito importante, promovendo desde o primeiro ano o desenvolvimento do 
raciocínio abstrato sobre as propriedades algébricas do conjunto numérico. 
 
2.3 O livro 2A 
 
Consideramos que no livro 2A ocorre um passo decisivo no processo de abstração 
para o raciocínio algébrico, que conecta a parte elementar de visualização de objetos 
concretos do cotidiano com a linguagem de representação. 
Identificamos esse processo numa atividade proposta no capítulo 3, intitulado “Using 
Models: Addition And Subtraction”, traduzindo “Usando Modelos: Adição e Subtração”. 
Nos dois primeiros capítulos do livro 2A os alunos trabalham as operações, ordenação e 
comparação de números, agora com números maiores, até 1.000. No 2º ano os alunos 
trabalham números grandes, e logo, seriam necessárias muitas pecinhas para representar as 
quantidades. Então, a atividade propõe aos alunos uma situação problema para motivar uma 
33 
 
nova forma de representação. A representação pictórica de uma quantidade grande das 
pecinhas exigiria um espaço maior, tanto no concreto como no caderno. Então, no capítulo 3, 
a representação do número das pecinhas por meio de um desenho de barra, é introduzida, 
correspondendo a uma transição do concreto para uma forma abstrata de representação, 
conhecida como Modelo de Barras, que é o foco da nossa pesquisa. 
O exemplo introdutório desta representação aparece na página 60 do livro 2A, num 
trabalho colaborativo entre o “companheirinho” e o “aluno”. 
 
 
Figura 2.10: Página 60 do livro 2A9 
 
O exemplo começa com a reprodução pelo “companheirinho” da representação 
pictórica das pecinhas no quadro, sendo um número reduzido de pecinhas, que é de domínio 
 
9 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
34 
 
do aluno. No segundo quadro aumenta um pouco a quantidade representada. E no terceiro 
quadro surge o problema, a quantidade é muito grande e o desenho dos quadradinhos 
correspondentes não cabe no quadro, e o companheirinho se vê diante de uma situação que 
não sabe como resolver. Então, como uma solução que generaliza o conceito de representação 
pictórica aparece o Modelo de Barras, em que a ideia que se abstrai é a quantidade e não a 
peça de fato. A barra representa o número que corresponde à quantidade de peças. Assim 
ocorre a passagem do concreto para a representação pictórica. 
Ao trocar a representação das pecinhas pela barra particionada, o aluno está fazendo 
uma representação pictórica de uma quantidade representada no material concreto. E ao usar a 
barra (sem partições) para representar uma quantidade, é feita a generalização, ou seja, o 
aluno deve compreender que dentro do espaço disponível para desenhar, ele pode usar uma 
barra (de qualquer tamanho e que não precisa ser dividida em unidades) para representar 
qualquer quantidade. Todo este processo de representação pictórica e generalização é um 
processo de abstração que o aluno vivencia. Além disso, o aluno associa o tamanho da barra à 
quantidade que ela representa, como mostra na imagem do último quadro da imagem acima, 
com o 20 e o 4. Consequentemente, ao fazer associações, representações, generalizações e 
abstrações, o aluno está desenvolvendo o pensamento algébrico. 
 Nas duas páginas seguintes são propostas situações problemas que utilizam o Modelo 
de Barras, para acompanhar a aprendizagem de modelagem pictórica de problemas, como um 
dos recursos didáticos na resolução de problemas. Lembramos que a proposta da Matemática 
de Singapura está constituída em torno da Resolução de problemas, e o foco do nosso trabalho 
é acompanhar como o Modelo de Barras na Resolução de problemas auxilia a aprendizagem 
dos alunos. 
Para resolver uma situação problema o aluno precisa escolher a estratégia mais 
adequada para se chegar ao resultado, e para identificar a melhor estratégia é necessário 
interpretar os dados do problema. O Modelo de Barras é um recurso didático que facilita esta 
escolha, pois através do modelo o aluno faz a representação pictórica dos dados, e a 
interpretação dos mesmos permite a modelagem do problema, especialmente a modelagem 
algébrica, por meio da descoberta das operações aritméticas que resolvem o problema. Além 
disso, o registro desses dados e suas interpretações é base para argumentar e justificar as 
escolhas das operações assim como conferir a resposta final. 
 Segue a atividade proposta na página 61 do livro 2A do aluno. 
 
35 
 
 
 
Figura 2.11: Página 61 do livro 2A10 
 
O problema 1 é um exemplo de como utilizar o Modelo de Barras na resolução de 
problemas, mostra os passos da modelagem por barras como uma estratégia de resolução de 
problemas. No processo de compreensão e interpretação dos dados do problema para 
identificar as operações aritméticas que precisam ser realizadas, o Modelo de Barras é 
utilizado para facilitar a escolha da ordem das operações (quando for problema de etapas 
múltiplas)que devem ser realizadas para chegar à resposta do problema. E isto é fazer a 
modelagem do problema, por isso o nome, Modelo de Barras. 
O enunciado do problema 1: Googol assou 10 biscoitos de gengibre. Aida assou 12 
biscoitos de gengibre. Quantos biscoitos de gengibre eles assaram no total? 
 
10 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
36 
 
O professor deve trabalhar detalhadamente este modelo junto com o aluno, pois é a 
representação pictórica correta “pelo aluno” é que fará com que o aluno compreenda como 
representar os dados do problema, e descobrir a escolha das operações com os números, 
representados nas barras. O reconhecimento mental do aluno da semelhança entre a 
representação pelo material concreto e pela barra deve ocorrer na etapa da representação 
pictórica. Na página, vemos duas barras que correspondem respectivamente à quantidade de 
biscoitos assados por Googol e Aida, e o desenho de unir as duas barras representa a 
compreensão da condição contida na pergunta do problema: “juntos”. Logo abaixo do 
primeiro desenho das barras com os dados, temos novo desenho de barras que representa a 
interpretação do que é solicitado, com os dados como parte do todo, donde a identificação de 
que este “todo” é que está sendo solicitado. Assim, a sentença matemática que corresponde à 
estratégia aritmética para a resolução do problema segue como consequência natural da 
compreensão do problema embasada na modelagem por barras. Observamos que a situação 
matemática deste problema não constitui desafio para o aluno que utiliza todos os 
conhecimentos já adquiridos previamente. O objetivo da atividade é praticar a modelagem por 
Modelo de Barras na resolução de problemas. A resposta completa ao problema também é 
importante nas atividades de resolução de problemas. 
Na metodologia de ensino por resolução de problemas é importante que o professor 
saiba fazer questionamentos apropriados ao aluno sobre o que está ocorrendo em cada 
momento da resolução. O professor deve conduzir a aula de modo que o próprio aluno seja 
capaz de explicar como a sentença matemática é deduzida a partir da interpretação dos dados 
no modelo de barras e justificar a resposta final. A resolução de problemas como estratégia de 
aprendizagem permite que, posteriormente, o aluno tenha competência para modelar outros 
problemas. O desenvolvimento adequado de raciocínio algébrico permite que gradativamente 
o aluno não necessite mais de modelos pictóricos em problemas algébricos. 
O problema 2 diz: Hubdon tem 14 palitos de pão. Sua amiga tem 17 palitos de pão. 
Quantos palitos de pão elas têm juntas? 
Vemos que a proposta deste segundo problema tem o objetivo de levar o aluno a 
praticar o Modelo de Barras para resolver uma situação problema, exatamente igual ao 
trabalhado no problema 1, porém com diferenciais. Agora é ele/ela que deverá reafirmar a 
compreensão do Modelo de Barras, fazendo a leitura correta do modelo, e montar a sentença 
matemática para resolver, e fornecer a resposta completa ao problema. Além disso, a 
37 
 
recordação de uma adição em que é necessária o “mais um” na casa das dezenas exige do 
aluno habilidade que já deve ser de seu domínio. 
Ao realizar esta atividade, o professor consegue avaliar se o aluno compreendeu a 
representação das quantidades pelas barras, se soube montar e resolver a sentença matemática 
do problema, fez conexão com a interpretação dos dados e o solicitado do problema no 
Modelo de Barras dado no exercício. 
Na página seguinte, aparecem outras situações problema para dar continuidade para a 
prática do Modelo de Barras para resolver problemas, como mostra a Figura 2.11. 
 
 
Figura 2.12: Página 62 do livro 2A11 
 
 
11 © Marshall Cavendish Education. Adapted with permission. 
38 
 
O procedimento realizado no problema 1 da página 61 é feito novamente no problema 
3. Neste, a situação problema se relaciona à operação de subtração, o que mostra uma 
modelagem por barras em situação dual de parte-todo com problemas de adição, como o livro 
do 1º ano trabalhou. A situação problema não oferece desafios numéricos que exijam a 
linguagem de algoritmos, pois o objetivo é a interpretação do significado das operações no 
modelo de barras que se traduz em sentença matemática para resolver. 
O problema 3 diz: Ahmad comprou 20 ovos de galinha e de pata, e 7 ovos eram de 
pata. Quantos ovos eram de galinha? 
O mesmo tipo de Modelo de Barras serve para representar as situações dos problemas 
1 da página 61, para adição, e de subtração para este problema 3. São ambos, problemas que 
retoma os conceitos de parte-todo e comparação entre as quantidades. A atenção do professor 
deve ser dirigida para que os alunos interpretem corretamente na modelagem pictórica a 
quantidade que é o “todo” em cada situação problema. A condução da resolução do problema 
deve estar centrada no raciocínio expresso pelo aluno para que ocorra a compreensão efetiva 
das diferenças nas duas representações. A aprendizagem dos significados das operações desde 
os anos iniciais do ensino fundamental é que promove a aprendizagem significativa e o 
desenvolvimento gradativo do raciocínio algébrico. 
O problema 4 diz: Uma escola construiu um novo aquário. O aquário tem 21 peixes. 
Os pais dos alunos doaram 15 peixes e a escola comprou o resto. Quantos peixes a escola 
comprou? 
Este problema também propõe uma situação dual à atividade trabalhada no problema 2 
da página anterior. Isto é, o foco é ainda consolidar a procedimento de modelagem por barras 
numa situação de adição/subtração, em que a interpretação do “todo” na situação parte-todo é 
a parte mais importante, e a operação de subtração que surge da comparação entre os valores 
numéricos dados envolve a técnica do “empresta um” da casa das dezenas da representação 
decimal. Ainda a montagem do algoritmo não é a parte essencial da resolução, mas sim o 
procedimento da resolução de problemas com a interpretação dos dados no modelo de barras 
e a resposta completa, além da técnica operatória. Notamos que o modelo de barras já aparece 
sem o seu equivalente com desenho das peças, e logo não usa uma escala para representar as 
quantidades, dando ênfase à relação entre os valores das partes, e não ao tamanho das barras 
que os representam. Este passo é fundamental para a abstração algébrica pelo modelo de 
barras. 
39 
 
O Modelo de Barras é uma ferramenta muito vantajosa na resolução de problemas, 
porém percebemos na análise do material didático que este método não é uma ferramenta a 
ser copiada como uma fórmula mágica que fará qualquer criança resolver situações problema. 
Verificou-se nesta análise que, para que o método alcance o resultado desejado, ou seja, para 
que a aprendizagem através do Modelo de Barras seja significativa, os alunos de Singapura 
que utilizam este material didático passaram por todo o processo citado acima para 
compreender a utilização do Modelo de Barras. Sem este processo, o método se torna apenas 
uma técnica, uma ferramenta mecânica, que o aluno utiliza sem compreender o que está 
fazendo, não alcançando resultados positivos na resolução de situações problema. 
Não basta falar ao aluno que uma barra representa 10 unidades a outra 12 e então se 
deve juntar tudo para obter 22. O aluno precisa entender o processo e o significado de uma 
adição neste contexto para chegar ao resultado final. 
Nos capítulos seguintes são introduzidos os conceitos de multiplicação pelo método da 
contagem e agrupamento, e comparação de pesos e medidas, que não faremos a análise 
devido ao escopo da nossa pesquisa. Porém observamos que também nesses conteúdos grande 
parte dos exercícios são situações problema que são resolvidas com o Modelo de Barras. 
 
2.4 O livro 2B 
 
O livro 2B dá seqüência ao conteúdodo 2º ano, trabalha o cálculo mental, sistema 
monetário, frações, hora, volume, gráficos, linhas e superfícies, formas geométricas, e sólidos 
geométricos. Consideramos importante para o desenvolvimento do raciocínio algébrico a 
análise da sequência de atividades desenvolvida na página 6, ilustrada na Figura 2.12. 
40 
 
 
Figura 2.13: Página 6 do livro 2B12 
 
Nesta página os alunos trabalham o cálculo mental, resgatando e ampliando as 
atividades anteriores de decomposição de números em suas partes. Para facilitar a 
aprendizagem da técnica de cálculo mental, as operações resolvidas inicialmente são de 
adição, em que uma das parcelas tem valor menor que 10. 
 Observamos que a coleção que estudamos se preocupa em introduzir um novo 
conceito sempre através de um exemplo, e com a presença do “companheirinho”, para que o 
ambiente de aprendizagem seja mais amigável e confortável para o aluno, que poderá se 
identificar com os personagens e suas dúvidas/dicas. O papel do professor é ajudar o aluno a 
sentir-se capaz de prosseguir por ele mesmo as atividades de cada página, sendo o professor 
 
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41 
 
aquele que estimula a participação do aluno. Para que o professor seja capaz desse tipo de 
ensino participativo é extremamente importante que ele próprio saiba o significado e o 
objetivo de cada passo das atividades propostas, para que ele consiga avaliar a aprendizagem 
dos alunos. O planejamento de aulas deve estar baseado na compreensão do professor 
referente às atividades, e logo o Guia do professor deve ser consultado para elaborar cada 
plano de aula. 
O exercício 1 solicita que calcule 58 +8. Um cálculo mental sugere retomar a técnica 
de dividir um número em partes, aprendida no 1º ano. O conhecimento anterior de 
decomposição em partes, bem lembrado por um “companheirinho”, indica que, como 8 é mais 
próximo de 10 pela simples adição de 2, e a adição de um número com 10 é imediata, o 
exercício mobiliza a técnica e o conhecimento da representação decimal para facilmente 
chegar a 58 + 10 = 68. E então, a técnica de subtrair o excesso auxiliar de 2 unidades implica 
na sua retirada do total, chegando à resposta 66. O raciocínio é validado pelo diagrama 
familiar de decomposição em partes. 
No exercício 2, a operação proposta é 76 + 9, e o aluno é solicitado que a realize agora 
com mais autonomia, sem sugestão do “companheirinho”, mas há o processo indicado de 
resgatar o conhecimento prévio de partes do número 10, o que permite ao aluno identificar 9, 
a segunda parcela da operação, como uma parte de 10, o que o leva a reconhecer a outra parte 
por meio de operação de subtração. Então, seguindo o exemplo do exercício 1, se ele somar 
10 ao 76, terá imediatamente 76 + 10 = 86 e em seguida irá subtrair o excesso de 1 unidade, 
obtendo a resposta 86 – 1 = 85. Vemos então que a técnica elementar de decompor um 
número em partes associada à compreensão conceitual da representação decimal fornece um 
procedimento eficaz para desenvolver o cálculo mental. 
Portanto, concluímos que o processo de decompor o número em partes para realizar o 
cálculo mental é importante para o aluno estabelecer diversas relações, abstrações e 
generalizações, que são habilidades essenciais para o desenvolvimento do raciocínio 
algébrico. 
No decorrer do capítulo o aluno continua aprendendo técnicas de cálculo mental 
através da soma das partes do número, porém nem sempre são utilizadas as partes de 10, 
dependendo dos valores das parcelas. Um exemplo disso é um exercício da página 8, em que 
a sentença é 472 + 5. Neste caso o aluno deve encontrar as partes de 472. Então o livro dá a 
seguinte partição para o aluno: 472 = 470 + ?, e mostra que primeiro o aluno deve somar as 
unidades: 2+ 5 = 7. Assim, o aluno identifica o somar 2 unidades (que é parte do 472) a 5 
42 
 
unidades, que é a segunda parcela da sentença. Em seguida deve somar o resultado à outra 
parte do número: 470 + 7 = 477. Ou seja, 470 + 7 = 477. Então, 472 + 5 = 477 e o aluno deve 
preencher com o resultado final. A aparente facilidade deste exercício é para o aluno não cair 
no mecanicismo de um procedimento, mas chama a atenção para o significado do valor 
posicional numa representação decimal. 
O cálculo mental é muito importante para que o aluno resolva problemas com mais 
agilidade, porém para que o aluno o realize com facilidade, é necessário dominar os conceitos 
por trás da representação decimal para poder fazer escolha das diferentes estratégias de 
decomposição 
Este capítulo propõe ao aluno resolver 19 sentenças matemáticas de adição, 
mentalmente, e apesar de usar as partes do número para resolver as sentenças, a estratégia 
nem sempre é a mesma, o que leva o aluno a interpretar a sentença, estabelecer relações e 
escolher a estratégia adequada para resolver cada conta. Posteriormente são propostas mais 18 
sentenças, desta vez de subtração, para que aluno também calcule mentalmente, utilizando a 
mesma metodologia, mas outras estratégias. Além das contas, neste capítulo também é 
proposto um jogo para que o aluno realize cálculo mental. Ao realizar todas estas atividades, 
mais uma vez, o aluno está dando um grande salto no desenvolvimento do raciocínio 
algébrico. Isto mostra que a proposta da coleção não deixa de lado o domínio das técnicas e 
cálculos mentais que são ferramentas essenciais na resolução de diversos problemas. 
 
2.5 O livro 3A 
 
Observamos uma característica do material didático que estamos analisando de que os 
conteúdos são ensinados inicialmente com números pequenos e gradativamente seus valores 
são aumentados. Isso mostra o foco inicial em conceitos novos introduzidos por meio de 
conteúdos já estudados que são constantemente retomados e aprimorados. Conforme a 
evolução dos conceitos acontece, o método anteriormente usado para a modelagem dos dados 
em uma situação problema é alterado de acordo e seu significado aprofundado. 
Vimos que no 2º ano os alunos aprendem a utilizar as barras para modelar situações 
problema, e este método passa a ser utilizado sistematicamente nos livros dos anos 
subsequentes, como iremos analisar. Este método de representação passa a ser utilizado com 
qualquer quantidade, além da contagem de quantidades discretas, podendo representar 
43 
 
números associados a medidas de natureza contínua, por exemplo, comprimento, área, 
volume, tempo, etc. 
Outra observação que fazemos é o fato de que no ensino de matemática de Singapura, 
o foco não é apenas a aritmética com o cálculo das operações. No pentágono que representa a 
concepção do currículo de Singapura (Figura 1.1), vemos outras dimensões para 
competências, como a escrita nas aulas de matemática, que é importante na formulação de 
situações problema e escrita das respostas completas. 
Na página 58 do livro 3A temos um exemplo de situação problema ilustrado para o 
aluno poder trabalhar os exercícios em seguida. O exemplo se inicia apresentando ao aluno 
uma lista de palavras, e em seguida um problema formulado utilizando as palavras desta lista. 
A lista de palavras é: school, 1082, pupils, Howmany, 2954, fewer, boys e girls. Tradução: 
escola, 1082, alunos, Quantos, 2954, a menos, meninos e meninas. O exemplo mostra um 
problema formulado com estas palavras: Numa escola há 2954 alunos. 1082 alunos são 
meninos. Quantas estudantes são meninas? Quantos meninos há a menos que meninas? 
No início da página 59, como mostra a imagem abaixo, há a modelagem do problema 
através do Modelo de Barras e a escrita do raciocínio feito para resolução do exercício. 
 
44 
 
 
Figura 2.14: Página 59 do livro 3A13 
Nesta página temos uma modelagem com barras, onde uma barra indica a quantidade 
de meninos, com o valor numérico acima, e a outra indica a quantidade de meninas, sem o 
valor numérico, mas comuma interrogação. Ao lado é mostrada a quantidade total de alunos. 
Ao deparar com a questão “Quantos meninos há a menos que meninas?” surge a ideia de 
comparação entre a quantidade de meninos e a quantidade de meninas, por isso, na 
modelagem aparecem as barras uma abaixo da outra com mesma posição inicial, para que 
visualmente o aluno possa fazer a comparação e notar que o que está observando é a diferença 
entre uma barra e outra, e cabe ao professor questionar os alunos, levá-los a reconhecer por 
eles mesmos a operação utilizada na situação, instigando-os a retomar conhecimentos já 
aprendidos, e aplicar corretamente no problema. Abaixo da modelagem por barras aparece, 
portanto, a interpretação matemática do problema, por meio de sentenças matemáticas e 
respostas completas do problema. 
 
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O trabalho simultâneo da modelagem, operação e escrita do problema, é muito 
importante para que o aluno possa relacionar o modelo pictórico com o método matemático 
necessário para resolução do problema, e a escrita das etapas faz com que a compreensão 
desta relação seja facilitada. Como este tipo de exercício é uma situação nova para o aluno, a 
presença do “companheirinho” se faz importante para convidar o aluno a perceber que deve 
resgatar os conhecimentos já adquiridos. Com a presença dele, o aluno percebe que não está 
só, que tem o companheiro resolvendo o exercício junto com ele. Após fazer o exercício de 
entender o problema através do modelo trabalhado, o livro propõe ao aluno que trabalhe 
sozinho, isto é, utilizar a lista de palavras proposta para formular uma situação problema, 
resolvê-la utilizando o Modelo de Barras, e escrever a resposta completa. Ao fazer isto, o 
aluno desenvolve raciocínio lógico, pois o problema escrito precisa ter um sentido e um 
significado, não pode ser um amontoado de palavras sem sentido e sem pergunta para 
responder. Precisa também estabelecer na situação relações entre as quantidades fornecidas 
pelo exercício, para que o problema realmente faça sentido. 
Ao desenvolver o processo de escrever, modelar, analisar, e resolver o problema, o 
aluno amplia seu pensamento algébrico. Trabalhar com números grandes também pode 
resgatar a ideia de cálculo mental, pois o aluno pode tentar resolver as operações 
mentalmente, então terá que utilizar conceitos aprendidos anteriormente, como parte-todo e 
decomposição. Logo, vemos os conteúdos trabalhados anteriormente sendo retomados mais 
uma vez, fazendo com que os alunos evoluam, e estabeleçam relações entre os conteúdos 
novos com os já aprendidos. 
 Nas páginas seguintes são trabalhadas as tabuadas do 6 ao 9, multiplicação e divisão, 
que não focaremos no nosso trabalho. Chamamos a atenção para a página 111, onde são 
trabalhadas situações problema, com multiplicação e divisão. Os primeiros problemas são de 
um estágio, isto é, trabalham a noção de uma única operação para a resolução. A compreensão 
dos significados das operações dentro de situações problema é essencial para avançar 
posteriormente para situações que envolvem mais de uma etapa e/ou operações para resolver. 
46 
 
 
 
Figura 2.15: Página 111 do livro 3A14 
 
Na página 111 os alunos começam a trabalhar somas de parcelas iguais de uma 
quantidade fixada, interpretando expressões como: dobro, três vezes. 
O problema 1 diz: “Zhihong tinha 542 selos. Rani tinha o dobro do que tinha 
Zhihong. Quantos selos tinha Rani?” 
O problema 2 diz: “Mathew vendeu 750 flores. Peter vendeu três vezes o número de 
flores que Mathew vendeu. Quantas flores Peter vendeu?” 
No manual do professor, há a instrução para o professor explicar aos alunos o que 
significa os termos “dobro” e “três vezes”. Além disso, mostrar aos alunos que nesses casos, 
as barras representam uma quantidade de itens, ou seja, um grupo, e não um item. Fazer com 
 
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que o aluno perceba que é necessário somar sucessivamente a quantidade de itens 
pertencentes a um grupo com mesma quantidade, ou seja, multiplicar a quantidade de um 
grupo pela quantidade de grupos. A modelagem pelo Modelo de Barras, nestes exemplos da 
página 111, dá esta ideia para o aluno, pois as barras são formadas por partes de mesmo 
tamanho, e é dado o quanto vale cada parte da barra. Como em outras atividades, o primeiro 
problema é resolvido cuidadosamente como um modelo para que o aluno domine 
completamente o conceito trabalhado, o que deverá aplicar autonomamente no problema 
proposto em seguida. 
Dando continuidade, na página 114 são propostas duas situações que também 
julgamos pertinentes de serem analisadas, pois reforça o conceito de grupos e itens e 
relacionam com os conhecimentos já adquiridos, como descobrir diferenças através de 
comparação, fazer modelagens, analisar e resolver situações problema. 
48 
 
 
Figura 2.16: Página 114 do livro 3A15 
 
O problema 2 da página 114, diz: “A sra. Lim tem 8 pacotes de amendoins, com 156 
amendoins em cada pacote. Ela deu 382 amendoins para seus alunos. Com quantos 
amendoins ela ficou?” 
Neste exercício o aluno tem a colaboração do seu “companheirinho” para resolver, e 
este lhe dá a dica de primeiro descobrir quantos amendoins a sra. Lim tinha inicialmente. A 
leitura atenta do problema faz com que o aluno perceba no Modelo de Barras dado no 
exercício, a interpretação do dado do problema de que há 8 barrinhas iguais, logo grupos, com 
156 itens em cada grupo. Com o que aprendeu na página 111, o aluno irá trabalhar a noção de 
que para calcular a quantidade total inicial de amendoins da sra. Lim, é necessário multiplicar 
 
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a quantidade de amendoins pela quantidade de pacotes que estão representados por barras. Ao 
traduzir a barra para a linguagem matemática, ou seja, em linguagem simbólica de cálculos, o 
aluno desenvolve um raciocínio abstrato algébrico. Na leitura do Modelo de Barras que o 
aluno realiza, ele reconhece que, a partir da quantidade total de amendoins da sra. Lim, ele 
precisa identificar a quantidade de amendoins depois de dar 382 amendoins para seus alunos. 
Isto é, a partir do todo inicial, a parte restante após dar uma parte é visualizada como parte 
desse todo no Modelo de Barras, identificando assim a operação de subtração (diferença), em 
que fica claro o conceito de parte-todo. Esta é uma boa oportunidade para o professor 
identificar a evidência de que os alunos dominam os conceitos e operações já estudados. A 
fase da execução do algoritmo é realizada por meio de formulação de expressões aritméticas e 
obtenção de resultado, que é expresso com uma sentença completa para o problema, não se 
limitando a apenas resposta seca com números. É com a passagem por todas essas etapas que 
o aluno dá passos no desenvolvimento do pensamento algébrico por meio das etapas de 
Resolução de problemas. 
 A segunda situação desta página diz que Raju tem algumas laranjas e maçãs em uma 
cesta. Ele colocou 3 laranjas e 4 maçãs em cada caixa. Ele tem um total de 5 caixas de frutas. 
Quantas frutas ele tem no total? 
Esta situação trabalha o conceito de grupos e itens no caso em que um grupo é 
composto por itens diferentes. Neste problema cada grupo é composto de laranjas e maçãs, 
mas o foco do problema é levar o aluno a perceber que o dado essencial é a quantidade de 
frutas em cada grupo. Além de trabalhar o conceito grupo-item por meio de quantidades, 
trabalha-se o conceito parte-todo com a modelagem aritmética de quantidades em números. 
Na representação pictórica deste problema, aparece a representação de uma caixa, com as 
frutas diferentes, ilustrando o grupo com