OSCILAÇÕES E SISTEMAS RESSONANTES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS - UFSCAR 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - CCET 
FÍSICA EXPERIMENTAL D - TURMA A 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO PRÁTICA 1: OSCILAÇÕES E SISTEMAS RESSONANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: 
Prof. Dr. Adenilson José Chiquito 
 
Autores (Grupo 08): 
André Berretta da Costa 744631 
Eder Aparecido Brambilla 359467 
Gabriel Marques Jacobsen 744643 
 
 
Data: 22 de Outubro de 2018 
 
1. Resumo 
A Prática 1 - Oscilações e Sistemas Ressonantes - teve dois objetivos: o estudo dos 
diferentes tipos de oscilações dentro de um sistema mecânico e a determinação da 
densidade linear de um barbante através dos seus modos normais de vibração. 
No primeiro, um sistema com um “carrinho” acoplado a duas molas foi posto a oscilar 
num trilho de ar, que tinha como função diminuir ao máximo o atrito do sistema. Em 
seguida, um eletroímã foi ligado, fazendo o sistema se comportar como um oscilador 
forçado e, por último, uma “vela” foi adicionada para introduzir o elemento de atrito no 
oscilador. Em todos os casos, analisou-se grandezas físicas como a amplitude de 
deslocamento e a frequência do sistema através dos sinais fornecidos a um osciloscópio 
digital e foi possível determinar a frequência natural do oscilador e obter os dados 
necessários para plotar gráficos de frequência em função da amplitude de deslocamento. 
No segundo, um barbante foi posto a vibrar no primeiro, segundo e terceiro modos 
normais de vibração nas respectivas frequências de oscilação, sendo que a massa que 
gerava a tração na corda foi variada. Assim, foi possível plotar um gráfico de frequência em 
função da massa e determinar a densidade linear da corda. Além disso, realizou-se uma 
medida mais direta, com o comprimento do barbante e sua massa, a fim de comparar os 
resultados. 
 
2. Introdução Teórica 
Osciladores harmônicos são muito comuns no dia a dia. Desde uma simples 
vibração na corda de um contrabaixo até às oscilações dos átomos. Na vida real, essas 
oscilações são normalmente amortecidas. Se nenhum estímulo externo for aplicado no 
sistema, as oscilações desaparecem gradualmente com o tempo. Para manter o sistema 
devidamente em oscilação, denomina-se o sistema de oscilador harmônico amortecido 
forçado (OHF). 
Com sistemas simples de massa-mola ou circuitos RLC, é possível realizar estudos 
das características básicas de um OHF, como por exemplo, amplitude de oscilação, 
frequência natural de oscilação ou de ressonância e constante de amortecimento. 
A equação do OHF é dada por: = . Sua solução ẍ γẋ + + x ω20 m
F 0 os(ωt) c 
estacionária é dada por: .(t) e z(t) x = R A(ω) cos[ωt (ω)] = + φ 
Para um amortecimento fraco , deve-se esperar que a amplitude na < γ < ω0 
vizinhança de seja máxima e a fase varia rapidamente. A expressão da amplitude é ω = ω0 
dada por: e .²(ω) ) [(ω )² ] A ≃ ( F 02mω0
2
− ω0 + 4
γ2 −1 (ω) ( )φ = − tg−1 γ2(ω −ω)0 
A amplitude máxima é dada por , e pode-se ter a amplitude (ω ) )Amax = A 0 = (
F 0
mω γ0
2
 
relativa como sendo​ .(ω)A2rel = {[(2 ) ]}γ
ω−ω0 2 + 1
−1
 
Comparando com no limite de baixas frequências , tem-se a Amax (ω) A < ω < ω0 
seguinte relação​: , que mostra o fator de amplificação produzido pela A(0)
A(ω )0
 
= γ
ω0 = Q 
ressonância em relação à amplitude para ,que é precisamente igual ao fator do < ω < ω0 Q 
oscilador. Quanto mais estreita a ressonância, mais forte ela se torna, sendo mais alto o 
pico. 
Para o caso de uma corda com densidade linear e submetida a uma tensão , a μ T 
velocidade de propagação da onda transversal é dada por .v v = √ μT 
As ondas produzidas por vibrações de uma corda são rapidamente amortecidas. 
Para evitar que isso ocorra, é necessário que seja fornecida energia continuamente para 
manter as amplitudes constantes. Se a corda for submetida a uma força externa periódica, 
com frequência igual a frequência de um dos seus modos normais, mesmo uma pequena 
força poderá produzir ondas de grande amplitude. Tal efeito é denominado de ressonância. 
Quando têm-se ondas de mesmo comprimento se propagando em direções opostas, 
são originadas ondas estacionárias (produzidas quando tem-se as duas pontas da corda 
fixadas). Para este caso, a frequência de oscilação é dada por , com f = n 
V
2L , , ... n = 1 2 3 
os modos normais da corda, que resulta em: . f = n 2L√ μT 
 
3. Materiais e Métodos 
Um barbante. 
Uma balança eletrônica modelo BG 4001 da marca GEHAKA. 
Uma trena milimetrada da marca BRASFORT. 
Um trilho milimetrado com garras acopladas. 
Um vibrador mecânico. 
Um gerador de frequências da marca PHYWE. 
Um conjunto de massas. 
Um osciloscópio digital modelo TDS 1001B da marca Tektronix. 
Um amplificador de voltagem da marca PHYWE. 
Um gerador de funções de onda modelo DG1022 da marca RIGOL. 
Um detector foto-sensível da marca PHYWE. 
Um laser. 
Um sistema mecânico de oscilação. 
 
4. Procedimento Experimental 
a. Determinação da densidade linear de uma corda 
i. Método das medidas diretas 
● Mediu-se o comprimento total do barbante oscilante com o auxílio de uma 
trena milimetrada; 
● Mediu-se a massa do barbante com o auxílio de uma balança eletrônica; 
● Calculou-se a densidade linear do barbante através das medidas feitas. 
 
ii. Método dos modos normais de vibração 
● Mediu-se o comprimento da parte do barbante que oscila no sistema de 
acordo com a Figura 4a; 
● Definiu-se cinco valores de massas para gerar a tensão no barbante, que 
foram medidas com o auxílio da balança eletrônica; 
● Fixou-se uma massa e, em seguida, ligou-se o sistema oscilante a fim de 
encontrar as frequências para o primeiro, segundo e terceiro modos de 
vibração, que foram anotadas; 
● Repetiu-se o passo anterior para os cinco valores diferentes de massa; 
● Plotou-se um gráfico de frequência em função da massa e determinou-se, 
através do software de edição de gráficos ​OriginPro8.5​, a densidade linear da 
corda; 
● Comparou-se os valores obtidos através dos dois métodos aqui descritos. 
 
 
 Figura 4a: ​​Sistema experimental oscilante utilizado na prática. 
 
b. Oscilador harmônico simples, forçado não-amortecido e 
amortecido 
● Ligou-se o sistema mecânico de vibração da Figura 4b; 
● Definiu-se um conjunto de amplitudes de deslocamento iniciais de vibração 
para o sistema, observou-se o sinal de saída através do osciloscópio digital, 
anotou-se as frequências naturais de oscilação para cada uma das 
amplitudes iniciais através do osciloscópio digital e foi realizada uma média 
desses valores para determinar a frequência natural do sistema, que se 
comportava como um oscilador harmônico simples; 
● Em seguida, ligou-se o eletroímã, que fez o sistema oscilar forçadamente e, 
para um conjunto de frequências em torno da região da frequência natural do 
sistema, realizou-se medidas de amplitude de deslocamento em função da 
frequência através do osciloscópio digital e plotou-se um gráfico com o 
software de edição de gráficos ​OriginPro8.5 versando sobre essas duas 
grandezas. Dessa vez, o sistema se comportava como um oscilador 
harmônico forçado; 
● Posteriormente, acoplou-se a “vela” no sistema mecânico de vibração, que 
funcionava como um fator de amortecimento através do atrito com o ar, e 
realizou-se medidasde frequência em função da amplitude de deslocamento 
de forma similar à descrita anteriormente e plotou-se um gráfico no software 
OriginPro8.5 versando sobre essas duas grandezas. O sistema se 
comportava como um oscilador harmônico forçado amortecido. Foi observada 
a variação da curva do gráfico em relação à curva do sistema de oscilação 
harmônica forçada e determinou-se a constante de amortecimento através do 
fator de qualidade do sistema, calculado por meio das medições feitas e o 
ajuste do gráfico. 
 
 Figura 4b: ​​Sistema mecânico oscilante utilizado no experimento. 
 
5. Resultados e Discussões 
Para análise de sistemas oscilantes, uma corda tracionada pelo peso de uma massa 
variável foi submetida a oscilação por uma fonte de frequências mecânicas. A densidade 
linear da corda utilizada foi calculada, primeiramente, através da medição direta da massa e 
do comprimento total da corda: 
 
Massa total da corda (5,0 ± 0,2) ​g 
Comprimento total da corda (222,00 ± 0,05) ​cm 
Densidade linear da corda (2,25 ± 0,09) ​g/m 
 
Sabendo que a frequência dos modos normais de vibração de uma corda é 
diretamente proporcional à velocidade da onda na corda (e que o quadrado da velocidade 
das ondas mecânicas em cordas é dado pela razão entre a tração da corda e sua 
densidade linear), submeteu-se a corda à oscilação e identificou-se visualmente os três 
primeiros modos harmônicos e suas frequências para seis diferentes conjuntos de massas. 
Os dados obtidos foram plotados no seguinte gráfico: 
 
 
 
 
Como pode ser observado, os pontos foram ajustados a uma curva baseada nas 
equações de cada um dos harmônicos observados. O ajuste destas curvas fornece o valor 
do parâmetro de densidade linear da corda. A média desses valores é de (2,0 ± 0,1) ​g/m ​e 
concorda em 88,89% com o valor calculado anteriormente por outro método. As principais 
fontes de incerteza desses métodos estão relacionadas a balança, visto que o peso total da 
corda era muito próximo ao valor mínimo mensurável por ela, mas também a dificuldade em 
determinar visualmente a frequência exata que gerava os harmônicos na corda, visto que 
havia um pequeno intervalo de frequências no qual o harmônico oscilava de forma 
satisfatória. Para o último caso, optou-se por anotar uma frequência intermediária do 
intervalo. 
O segundo sistema oscilante analisado foi o de massa-mola sobre um trilho de ar. 
Uma pequena lente convergente foi posicionada no sistema oscilatório. Dessa forma, a luz 
proveniente de um laser passava pela lente e atingia um fotossensor que mensurava a 
oscilação do sistema através da variação da tensão indicada em um osciloscópio. Para 
forçar a oscilação do sistema, foi posicionado um imã que oscilava próximo a uma bobina 
fixada no trilho de ar que tinha sua corrente modulada por um gerador de tensão. O sistema 
possuía baixa resistência ao movimento devido ao trilho de ar e, então, foi utilizado uma 
espécie de vela para que ocorresse maior atrito com o ar e consequentemente a resistência 
do sistema se elevasse. 
Em um primeiro momento, o sistema foi perturbado para que começasse a oscilar e 
fosse possível medir a frequência natural de oscilação através do osciloscópio. Sem a vela 
de resistência, mediu-se uma frequência angular de oscilação de (18,1 ± 0,1) ​rad/s e com a 
vela mediu-se (17,9 ± 0,1) ​rad/s​. A redução nesse valor é esperada, pois essa grandeza é 
inversamente proporcional a massa do sistema, que aumenta devido à vela. 
Submetendo a bobina a uma tensão senoidal de frequência regulada pelo gerador 
de tensão, o sistema tornou-se um oscilador forçado com resistência. Quando a frequência 
da força é próxima da frequência natural de oscilação do sistema, observa-se o fenômeno 
da ressonância. Escolhendo frequências próximas da frequência de ressonância e anotando 
o valor da amplitude de oscilação para cada frequência, foi possível normalizar e plotar 
curvas de amplitude relativa ao quadrado em função da frequência angular da força tanto 
para o sistema sem a vela (baixa resistência) quanto para com a vela (resistência elevada): 
 
 
 
Como pode ser observado, foram ajustadas curvas que relacionam essas grandezas 
e que tinham como parâmetros a frequência natural de oscilação e a constante de 
amortecimento do sistema. Sem a vela, a frequência natural foi calculada em (18,346 ± ω0 
0,002) ​rad/s​, que possui concordância de 98,64% com o valor medido anteriormente. Além 
disso, a constante de amortecimento foi calculada em (0,072 ± 0,003) s​-1​, o que resultou γ 
em um fator de qualidade ​Q ​de ​(250 ± 10). Tal valor é maior que o valor de (87 ± 2) 
encontrado para o fator de qualidade do sistema com vela de amortecimento, obtido a partir 
dos valores calculados em (0,209 ± 0,005) ​s​-1 para a constante de amortecimento e (18,152 
± 0,003) ​rad/s para a frequência natural, tendo essa última grandeza uma concordância de 
98,59% com o valor medido anteriormente. Esses resultados estão de acordo com os 
esperados, visto que a vela de amortecimento foi colocada no sistema para que fosse 
observado o aumento da constante de amortecimento devido a resistência do ar e a 
consequente redução do fator de qualidade, que é um indicador do tamanho da eficiência 
do sistema, ou seja, quanto maior o valor dessa grandeza, menos energia é dissipada pelo 
sistema oscilante para o meio. 
Entre as possíveis fontes de incertezas relacionadas a essa parte final do 
experimento, encontra-se a dificuldade em determinar uma amplitude exata de oscilação 
para determinada frequência da força, visto que, ao alterar a frequência, o sistema 
aumentava e diminuía sua amplitude em regime de batimento amortecido e os 
experimentadores precisavam esperar de um a três minutos até que o sistema 
apresentasse um amplitude de oscilação relativamente constante. 
 
6. Conclusões 
O experimento dividiu-se em análises de dois sistemas oscilantes: modos 
harmônicos em uma corda tracionada por massas variáveis e oscilação forçada de um 
sistema massa-mola sobre um trilho de ar. 
Na primeira parte, a densidade linear da corda foi calculada utilizando uma balança e 
uma trena e esse valor foi comparado com o valor médio da densidade linear obtida através 
do ajuste de curvas da frequência dos três primeiros modos normais de oscilação em 
função da massa que tracionava a corda. Os dois métodos de medição apresentaram boa 
concordância de 88,89%, apesar das incertezas relacionadas ao valor medido pela balança 
e à exatidão da determinação visual da frequência que gerava os respectivos harmônicos. 
Na segunda parte, procurou-se analisar o fenômeno da ressonância em osciladores 
amortecidos forçados; no caso, foi utilizado um sistema massa-mola sem e com uma vela 
de amortecimento oscilando em um trilho de ar. Os resultados obtidos foram condizentes 
com o objetivo do experimento, pois foi visualizado o aumento da constante de 
amortecimento e a diminuição do fator de qualidade com a adição da vela de amortecimento 
ao sistema. 
 
7.Respostas das Questões Propostas 
1. Compare as curvas de amplitude de deslocamento em função da frequência obtidas 
para os casos do oscilador harmônico forçado e do oscilador harmônico forçado 
amortecido. O fator de qualidade do sistema se altera? Qual é a relação entre o fator 
de qualidade e a constante de amortecimento? 
Resposta: Observando as curvas de amplitude de deslocamento em função da 
frequência plotadas para os casos de um oscilador harmônico forçado e de um 
oscilador harmônico forçado amortecido, percebe-se que o pico se alarga quando há 
amortecimento. Isso se deve ao fato de que o fator de qualidade se altera com a 
constante de amortecimento através da seguinte fórmula: . Dessa forma, Q = γ
ω0 
como a frequência natural do sistema não se altera, a única dependência existente é 
a relação inversamente proporcional entre o fator de qualidade e a constante de 
amortecimento. Assim, como a constante de amortecimento aumenta 
consideravelmente no caso do oscilador amortecido, há uma diminuição do fator de 
qualidade, o que faz a curva adquirir o pico mais alargado. 
2. Descreva as relações entre as frequências dos modos normais de vibração e as 
seguintes grandezas: comprimento oscilante, tração e densidade linear da corda. 
Resposta: Para ondas estacionárias, tem-se que a amplitude da ondulação é 
equacionada por meio de senos e cossenos e, através das condições de contorno, é 
possível chegar a uma expressão para o número de onda e, consequentemente, 
para o comprimento e frequência da onda em função do comprimento do barbante 
ou corda e outras grandezas físicas. Dessa forma, como foi apresentado na seção 
“Introdução Teórica” deste relatório, chega-se a seguinte expressão para a 
frequência: . Ou seja, a frequência é inversamente proporcional ao f = n 2L√μT 
comprimento e à densidade linear da corda e diretamente proporcional à tração 
presente na cord​a.