PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA I
PRÉ-VESTIBULAR 23PROENEM.COM.BR
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS03
INTRODUÇÃO
Na sequência (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26,...) podemos notar que, 
somando 4 a cada termo obtemos o termo seguinte:
2 + 4 = 6
6 + 4 = 10
10 + 4 = 14
14 + 4 = 18
18 + 4 = 22
22 + 4 = 26
Sequências com essa característica em que, sempre somando 
o mesmo valor obtemos os próximos termos, receberão a partir 
de agora um tratamento especial. Elas serão chamadas de 
progressões aritméticas, como definiremos a seguir.
DEFINIÇÃO
Chamamos progressão aritmética (P.A.) a toda sequência em 
que, somando uma constante a cada termo, obtemos o termo 
seguinte. Esta constante é denominada razão da P.A., e será 
representada pela letra r.
Dessa forma, a sequência  (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26) é uma P.A. 
de razão r = 4.
Temos, por definição, que uma P.A. é uma sequência , com o 
primeiro termo igual à a(a1 = a), dada por uma lei de recorrência 
da forma:
an = an – 1 + r, n > 1
Ou seja, é uma sequência da forma:
(a, a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r, ...)
Ou ainda, é possível escrever uma PA da seguinte forma:
Com 3 termos → (a - r, a, a + r)
Com 4 termos → (a - 2r, a - r, a + r, a + 2r) e assim por diante
CLASSIFICAÇÃO
Uma sequência de números reais cujos termos vão 
aumentando, isto é, onde cada termo é maior do que o anterior, é 
denominada sequência crescente. Se os termos vão diminuindo, 
isto é, cada termo é menor do que o anterior, a sequência é 
denominada decrescente. Quando todos os termos são iguais a 
sequência é denominada constante ou estacionária.
No caso das progressões aritméticas, verifica-se que uma P.A. 
de razão r é:
• Crescente, se r > 0.
• Decrescente, se r < 0.
• Constante, se r = 0.
Exemplo:
(0, 2, 4, 6, 8, 10, ...) é uma P.A., com a1 = 0 e r = 2.
(20, 15, 10, 5, 0, –5, ...) é uma P.A. com a1 = 20 e r = –5.
(10, 10, 10, 10, 10, ...) é uma P.A. com a1 = 10 e r = 0.
FÓRMULA DO TERMO GERAL
Escrevendo o valor de cada termo de uma P.A. em função do 
primeiro termo a1 e da razão r:
(a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, a1 + 4r, ..., a1 + (n – 1)r, ...)
Vamos analisar o comportamento dos termos da sequência
a2 = a1 + 1·r,
a3 = a1 + 2·r,
a4 = a1 + 3·r,
a5 = a1 + 4·r 
Note que, o coeficiente de r é sempre uma unidade menor do 
que o índice do termo geral à esquerda.
Dessa forma, temos
an = a1 + (n – 1)·r
Exemplo:
Em uma P.A. de primeiro termo a1 = 10  e r = 2, o termo geral 
pode ser dado por:
an = 10 + (n – 1)·2 = 10 + 2n – 2 = 2n + 8
Caso desejássemos encontrar o vigésimo termo, teríamos:
a20 = 2·20 + 8 = 48
Classifica-se a P.A. acima como crescente (r > 0).
PROPRIEDADES DOS TERMOS
1a PROPRIEDADE:
Uma sequência de três termos é uma P.A. se, e somente se, o 
termo central é igual a média aritmética entre os outros dois.
Isso é equivalente a escrever:
(a, b, c)  é  PA ↔ b = (a c)
2
+
Demonstração:
(a, b, c)  é  P.A. ↔ b – a = r  e  c – b = r, em que  r é um número real. 
b – a = c – b ↔  2b = a + c ↔ b = (a c)
2
+
Como queríamos demonstrar.
Exemplo:
Considere a sequência  (10, 15, 20) que é uma P.A. de razão  r = 5.
Note que (10 20) 15
2
+
= 
Essa é uma importante propriedade que pode ser estendida. 
Em geral, uma sequência qualquer será uma P.A. se, e 
somente se, todo termo que possui antecessor e sucessor, 
for média aritmética entre seu antecessor e o seu sucessor.
Exemplo:
Considere a P.A.  (4, 6, 8, 10, 12), de razão 2.
(4 8) 6
2
+
= , (6 10) 8
2
+
= , (8 12) 10
2
+
=
PROEXPLICA
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR24
MATEMÁTICA I 03 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
2a PROPRIEDADE:
Sejam am, an, aj e ak  quatro termos quaisquer de uma P.A. não 
estacionária. Dessa forma:
am + an = aj + ak se, e somente se, m + n = j + k.
Demonstração: 
De fato, seja  r  a razão da P.A.
am + an = aj + ak 
a1 + (m – 1)·r + a1 + (n – 1)·r = a1 + (j – 1)·r + a1 + (k – 1)·r 
(m – 1)·r + (n – 1)·r = (j – 1)·r + (k – 1)·r
mr – r + nr – r = jr – r + kr – r
mr + nr – 2r = jr + kr – 2r
m + n – 2 = j + k – 2
m + n = j + k
Como queríamos demonstrar.
Exemplo: Considere a P.A.:
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ....)
Note que a1 + a5 = 1 + 13 = 14 e a2 + a4= 4 + 10 = 14, sendo 
assim,  a1 + a5 = a2 + a4
Da mesma forma, a3 + a8 = 7 + 22 = 29 e a5 + a6 = 13 + 16 = 29, 
sendo assim, a3 + a8 = a5 + a6
A partir das propriedades 1 e 2, obtemos dois resultados 
muito importantes relativos as Progressões Aritméticas.
1o: Em toda P.A. fi nita, a soma de dois termos equidistantes 
dos extremos é igual à soma dos extremos.
2o: Em toda P.A. fi nita, com número ímpar de termos, o termo 
central é igual a média aritmética dos extremos (ou de dois 
termos equidistantes dos extremos).
Exemplo: 
Considere a P.A. a seguir, que possui uma quantidade ímpar 
de termos.
Note que, a soma dos termos equidistantes dos extremos é 
sempre 80.
10 + 70 = 80,   20 + 60 = 80, 30 + 50 = 80. E em todos os casos, 
dividindo por 2, encontraremos 40, que é o termo central.
PROEXPLICA
UM POUCO DE HISTÓRIA
Para manter seus alunos ocupados um professor mandou que somassem todos os números de um a cem. Ele esperava que eles 
passassem bastante tempo buscando resolver essa tarefa. Em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu 
a resposta correta: 5.050. 
Como ele fez a conta tão rápido? 
Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. 
Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101. 
Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101. 
Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta 
em 5.050. 
E dessa forma, Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas ainda criança. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi 
sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É considerado por muitos, o maior gênio matemático de todos os tempos, 
razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS
Dada uma sequência qualquer (a1, a2, a3, ..., an–1, an, ...), indicamos 
por Sn a soma dos n primeiros termos:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an–1 + an
Em uma PA a soma dos n primeiros termos é dada por:
1 n
n
(a a ) ·nS
2
+
=
Demonstração:
Vamos escrever a soma  Sn  duas vezes, da seguinte maneira:
+
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an
Sn = an + an–1 + an–2 + ... + a3 + a2 + a1
2·Sn = (a1 + an) + (a2 + an–1) + (a2 + an–1) + (a3 + an–2) 
+ ... + (an–2 + a3) + (an–1 + a2) + (an + a1)
Note que, em cada expressão entre parênteses temos a soma 
de dois termos equidistantes dos extremos. Mas, sabemos que a 
soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma 
dos extremos. Substituindo em cada parcela, temos:
2 · Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + .... + (a1 + an) → [n vezes]
2 · Sn = (a1 + an) · n
1 n
n
((a a ) n)S
2
+ ⋅
=
Como queríamos demonstrar.
Exemplos:
a) Calcule a soma dos 40 primeiros termos da PA (2, 5, 8, ...).
Resolução:
Temos que a1 = 2 e r = 3. 
Vamos agora, encontrar o quadragésimo termo da PA.
a40 = a1 + (40 – 1) · r = 2 + 39 · 3 = 119
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
03 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
25
MATEMÁTICA I
Podemos agora encontrar a soma dos 40 primeiros termos da PA:
40 1 40
40 40S (a a )· (2 119)· 2420
2 2
= + = + =
b) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PA (1, 5, 9, 13, ...).
Solução:
Temos que a1 = 1 e r = 4.
Vamos agora, encontrar o décimo termo da PA.
a10 = a1 + (10 – 1)·r = 1 + 9·4 = 1 + 36 = 37
Podemos agora encontrar a soma dos 10 primeiros termos da PA:
10 1 10
n 10s (a a )· (1 37)· 38·5 190
2 2
= + = + = =
c) Calcule a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 1 e 1000.
Solução:
Devemos descobrir quantos são os múltiplos de onze nessa 
sequência e para isso devemos usar o último termo com essa 
propriedade. 
Observe que entre 1 e 1000 temos diversos múltiplos de 11, sendo 
o primeiro igual ao próprio 11 e o último 990. Dessa forma devemos 
descobrir que posição o número 990 ocupa na sequência abaixo:
11, 22, 33, ..., 990
Note que trata-se de uma PA com razão iguala 11. Aplicando 
o termo geral, temos:
an= a1 + (n – 1)·r
990 = 11 + (n – 1)·11
990 = 11 + 11n – 11
990 = 11n
n = 90
Dessa forma, sabemos que estamos somando 90 termos e nos 
resta apenas aplicar a fórmula da soma:
90 1 90
90S (a a )·
2
= +
90
90S (11 990)· 1001·45 45045
2
= + = =
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Defi na o número real x, de modo que a sequência (1-x, x-2, 2x-1) 
seja uma PA.
02. Determine a PA crescente de quatro termos cuja soma dos quatro 
termos é 4 e o produto do terceiro pelo quarto é 40.
03. Identifi que quantos termos tem a PA (3, 7, 11, ..., 99).
04. Defi na o termo médio de uma PA fi nita com a quantidade ímpar 
de termos, sabendo que ai = 2 e aj = 10 são termos equidistantes dos 
extremos.
05. Calcule a soma dos n primeiros termos da PA (6, 10, 14, 18, ...).
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. O número mensal de passagens de uma determinada empresa 
aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em 
janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; 
em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para 
os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por 
essa empresa em julho do ano passado?
a) 38.000 b) 40.500 c) 41.000 d) 42.000 e) 48.000
02. Leia com atenção a história em quadrinhos:
Considere que o leão da história acima tenha repetido o convite por 
várias semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na 
segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim 
sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o número de 
convites feitos na semana anterior. Imediatamente após ter sido 
feito o último dos 492 convites, o número de semanas já decorridas 
desde o primeiro convite era igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 20
03. Considere a progressão aritmética (a1, a2, a3) tal que 
a1 + a5 = 9 e a2 + a3 = 8. Quanto vale a10?
a) 1
b) 23
2
c) 12
d) 25
2
e) 1024
04. Os números a1= 5x – 5, a2 = x + 14, a3 = 6x – 3 estão em P.A. A 
soma dos 3 números é igual a:
a) 48
b) 54
c) 72
d) 125
e) 490
05. Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a sequência 
(18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se a3
igual a:
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46
e) 47
06. (IFAL 2016) As medidas dos lados de certo triângulo são 
expressas por (x + 2), (2x + 1) e (x2 –10), e nessa ordem formam 
uma progressão aritmética. O perímetro desse triângulo mede:
a) 15 b) 21 c) 28 d) 33 e) 40
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR26
MATEMÁTICA I 03 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
07. A plateia de um teatro é formada por filas numeradas e 
foi reformada por duas empresas especializadas na troca de 
estofados de poltronas. A empresa A trocou os estofados da 
sétima e da décima segunda filas e a empresa B o fez na quinta e 
vigésima terceira filas. Sabe-se que as empresas A e B reformaram, 
respectivamente, 52 e 70 poltronas.
Considerando que o teatro tem o formato de um “leque” e que 
de uma fila para outra, imediatamente atrás, ocorre sempre um 
acréscimo constante do número de poltronas, calcule o número de 
poltronas da vigésima fila do teatro.
a) 9
b) 30
c) 47
d) 52
e) 54
08. Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado 
a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em 
intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 
4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais 
a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que 
no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do 
produto misturadas à água é:
a) 1300
b) 1100
c) 1600
d) 900
e) 1200
09. (UPE-SSA 2 2016) Brincando de construir sequências 
numéricas, Marta descobriu que em uma determinada progressão 
aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos é S50 = 2550. Se 
o primeiro termo dessa progressão é a1 = 2, qual o valor que ela irá 
encontrar fazendo a soma S27+S12?
a) 312
b) 356
c) 410
d) 756
e) 912
10. Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários 
para o condicionamento de um maratonista que se recupera de 
uma contusão:
- primeiro dia – corrida de 6 km
- dias subsequentes - acréscimo de 2 km à corrida de cada dia 
imediatamente anterior. O último dia de treino será aquele 
em que o atleta correr 42 km.
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao 
último dia, em quilômetros, corresponde a:
a) 414
b) 438
c) 456
d) 484
e) 490
11. Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" 
da seguinte maneira:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
19 __ __
 __ __ __
 __ __ __
O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e 
a "coluna" em que o número 500 se encontra são, respectivamente: 
a) 2 e 2. 
b) 3 e 3. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 2. 
e) 3 e 1.
12. Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns 
dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km; no 
segundo dia, a mesma distância do primeiro mais r km; no 
terceiro dia, a mesma distância do segundo mais r km; e, assim, 
sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia 
anterior mais r km. No último dia, ele deverá percorrer 180 km, 
completando o treinamento com um total de 1.560 km.
A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km, é 
a) 3. 
b) 7. 
c) 10. 
d) 13. 
e) 20.
13. Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 
42 quilômetros, ao longo da rodovia de 2.184 km, que liga Maceió 
ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses telefones é 
instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 2.142. Assim, 
a quantidade de telefones instalados é igual a: 
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53
14. A soma dos números pares compreendidos entre 0 e 61 é igual a: 
a) 810 
b) 870 
c) 930 
d) 990
15. Se a média aritmética dos 31 termos de uma progressão 
aritmética é 78, então o décimo sexto termo dessa progressão é 
a) 54 
b) 66 
c) 78 
d) 82 
e) 96
16. Karen inventou um jogo de cartas com 40 cartões, cada um 
com cinco números naturais consecutivos, de modo que o 1º 
cartão tem os números de 1 a 5, o 2º cartão deve ter um único 
número igual ao 1º cartão, o 3º cartão deve ter um único número 
igual ao 2º cartão, e assim sucessivamente. 
A soma dos cinco números presentes no 30º cartão deste jogo é 
a) 589 b) 595 c) 789 d) 795 e) 798
17. João brinca com palitos de fósforo montando figuras. Na 1ª 
etapa, monta um triângulo e, nas etapas seguintes, vai acrescentando 
triângulos conforme a sequência representada abaixo. 
O número de palitos de fósforo necessários e suficientes para a 
construção da 10ª etapa é: 
a) 51. 
b) 54. 
c) 57. 
d) 60. 
e) 63. 
18. Os jogadores A, B e C estão sentados dian te de uma mesa 
redonda e cada um tem 4 cartas nas mãos. As rodadas do jogo se 
su cedem da seguinte maneira: 
Na 1ª rodada, A passa 1 carta para B. 
Na 2ª rodada, B passa 2 cartas para C. 
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
03 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
27
MATEMÁTICA I
Na 3ªrodada, C passa 3 cartas para A.
Na 4ª rodada, A passa 4 cartas para B. 
Na 5ª rodada, B passa 5 cartas para C e assim por diante, até que 
todas as cartas se encontrem nas mãos de A e o jogo termina. 
O número de rodadas realizadas nesse jogo foi: 
a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24
19. Considere a soma dos números inteiros ímpares positivos 
agrupados do seguinte modo:
1 + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) +
+ (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ..... 
O grupo de ordem n é formado pela soma de n inteiros positivos 
ímpares e consecutivos. Assim, pode-se afirmar corretamente que 
a soma dos números que compõem o décimo primeiro grupo é 
igual a 
a) 1223 b) 1331 c) 1113 d) 1431
20. Se a1,a2,a3, ... ,a7 são os ângulos internos de um heptágono 
convexo e se as medidas destes ângulos formam, nesta ordem, 
uma progressão aritmética, então, a medida, em graus, do ângulo 
a4 é um número 
a) menor do que 128. 
b) entre 128 e 129. 
c) entre 129 e 130. 
d) entre 130 e 132.
e) maior do que 132.
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UEL 2016) Um estandarte é um tipo de bandeira que pode 
representarum país, uma instituição civil ou religiosa, um clube de 
futebol, uma escola de samba. Uma artesã fez um estandarte e o 
enfeitou, em sua parte inferior, com pedaços de fita de tamanhos 
diferentes. Sabendo que o menor pedaço de fita mede 8cm e 
que o comprimento dos pedaços de fita aumenta de 2,5 em 2,5 
centímetros, responda aos itens a seguir, desconsiderando 
possíveis perdas.
a) Considerando que o maior pedaço de fita mede 125,5cm quantos 
pedaços de fita foram utilizados para confeccionar o estandarte? 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados 
na resolução deste item.
b) Supondo que a artesã tenha utilizado 60 pedaços de fita, qual 
será o comprimento total dos pedaços de fita utilizados? 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados 
na resolução deste item.
02. (FGV 2016) Gnomos são representações geométricas de números 
como pontos nos lados de um ângulo reto. Acrescentando gnomos, 
os babilônios descobriam muitas conexões entre os números. 
a) Qual é a soma dos 100 primeiros termos da sequência de 
gnomos da figura abaixo?
b) Qual é a diferença de gnomos entre o centésimo primeiro e o 
centésimo termos da sequência da figura abaixo?
03. 
a) Determinar a soma dos 20 primeiros termos da sequência 
(a1, a2, ..., an, ...) definida por: an = 2 + 4n se n é ímpar e an = 4 + 6n 
se n é par. 
b) Considere a sequência (1, 10, 11, ..., 19, 100, 101, ..., 199, ...) 
formada por todos os números naturais que têm 1 como 
primeiro algarismo no sistema decimal de numeração, 
tomados em ordem crescente. Se a soma dos seus n primeiros 
termos é 347, qual é o valor de n e o valor numérico de an?
04. (UERJ 2003) Dois corredores vão se preparar para participar de 
uma maratona. Um deles começará correndo 8 km no primeiro dia 
e aumentará, a cada dia, essa distância em 2 km; o outro correrá 
17 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 1 
km. A preparação será encerrada no dia em que eles percorrerem, 
em quilômetros, a mesma distância.
Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão 
percorridas pelos dois corredores durante todos os dias do período 
de preparação. 
05. (UFRJ 2003) Uma reta divide o plano em 2 regiões; duas retas 
dividem-no em, no máximo, 4 regiões; três retas dividem-no em, no 
máximo, 7 regiões; e assim sucessivamente. Em quantas regiões, 
no máximo, 37 retas dividem o plano? Justifique. 
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. D
02. B
03. B
04. B
05. B
06. D
07. C
08. A
09. E
10. C
11. A
12. C
13. B
14. C
15. C
16. B
17. C
18. A
19. B
20. B
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. 
a) 48
b) 4905 cm
02.
a) a100 =1+ (100−1)⋅2=199
S100 =
100⋅(1+199)
2
=10000
 
b) Horizontal: a100 =2+ (100−1)⋅1=101
a101 =2+ (101−1)⋅1=102
 
Vertical: a100 =1+ (100−1)⋅1=100
a101 =1+ (101−1)⋅1=101
 
centésimo termo→101⋅100=10100
centésimo primeiro termo→102⋅101=10302
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒10302−10100=202
 
03. 
a) S20 = 1120 
b) n = 13
04. 385 km 
05. S37 = 704. 
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR28
MATEMÁTICA I 03 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
ANOTAÇÕES