Decomposição de um sinal na serie de fourier de forma analitica e em matlab

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Sinais e Sistemas 2020/21 
2º Mini-projecto 
 
Docente: João Paulo Teixeira 
Discente: Cléristhon Gobira M305758 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bragança - 18/01/2021 
 
Introdução 
Esse projeto tem como objetivo decompor analiticamente o sinal da figura abaixo 
nas três formas da série de Fourier. Indicando o valor dos respetivos 
coeficientes. E usando o matlab, para reconstruir o sinal somando as 
componentes dos sucessivos harmónicos, mostrando o sinal resultante em cada 
uma das somas de harmónicos sucessivos, com um erro absoluto médio (E) 
inferior a 0.005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1 Sinal x(t) 
 
Decomposição x(t) do sinal na forma exponencial da Série de Fourier 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶0 + ∑ 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗∞𝑛𝑛=−∞ 𝐶𝐶𝑛𝑛 = 𝐶𝐶−𝑛𝑛∗ 
 
• A frequência 𝑛𝑛𝑛𝑛 é a frequência do harmónico de ordem n. 
• 𝐶𝐶𝑛𝑛 são os coeficientes de Fourier 
• Normalmente 𝐶𝐶𝑛𝑛 é um complexo. Nesses casos, 𝐶𝐶−𝑛𝑛 é o conjugado 
de 𝐶𝐶𝑛𝑛. 
 
𝐶𝐶𝑛𝑛 = |𝐶𝐶𝑛𝑛|𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗 
 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = �2, 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 11, 1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2 ,𝑇𝑇0 = 2𝑠𝑠 
 
Determinando 𝐶𝐶0 : 
𝐶𝐶0 =
1
𝑇𝑇0
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑇𝑇0
 
 
𝐶𝐶0 =
1
2� 𝑥𝑥
(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡
2
0
=
1
2�� 2𝑑𝑑𝑡𝑡 + � 1𝑑𝑑𝑡𝑡
2
1
1
0
�
=
1
2
[2(1) + (2 − 1)] =
3
2
 
 
 
𝐶𝐶0 =
3
2 
Determinando 𝐶𝐶𝑛𝑛 : 
 
 
𝐶𝐶𝑛𝑛 =
1
𝑇𝑇0
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑇𝑇0
 =
1
2� 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒
−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗𝑗𝑗𝑑𝑑𝑡𝑡
2
0
 
 
 
 
 
 
 
=
1
−2𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗
�2𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗 − 2 + 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑛𝑛2𝑗𝑗 − 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗� 
=
1
−2𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗 �𝑒𝑒
−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗 − 2 + 1� =
𝑗𝑗
2𝑛𝑛𝑗𝑗 �𝑒𝑒
−𝑗𝑗𝑛𝑛𝑗𝑗 − 1� 
 
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑃𝑃𝑃𝑃 
𝐶𝐶𝑛𝑛 =
𝑗𝑗
2𝑛𝑛𝑗𝑗
(1 − 1) = 0 
 
 
 
 𝐶𝐶𝑛𝑛 = 𝐶𝐶−𝑛𝑛∗ =
𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑗𝑗
 
 
Portanto 𝑥𝑥(𝑡𝑡) : 
 
 
 
 
 
Decomposição x(t) do sinal na forma trigonométrica combinada da Série 
de Fourier 
 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶0 + � 2|𝐶𝐶𝑛𝑛|cos (𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡 + 𝜃𝜃𝑛𝑛)
∞
𝑛𝑛=1
 
 
Determinando 𝐶𝐶0: 
 
𝐶𝐶0 =
3
2 
 
Determinando |𝐶𝐶𝑛𝑛|: 
 
Como 𝐶𝐶𝑛𝑛 =
−𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑗𝑗
 é puramente imaginário e não tem parte real seu 
modulo é: 
|𝐶𝐶𝑛𝑛| =
1
𝑛𝑛𝑗𝑗 
 
 
 
 
 
Determinando 𝜃𝜃𝑛𝑛: 
 
Como 𝐶𝐶𝑛𝑛 =
−𝑗𝑗
𝑛𝑛𝑗𝑗
 é então 𝜃𝜃𝑛𝑛 está no 4º quadrante e tem o valor igual: 
 
|𝜃𝜃𝑛𝑛| = −
𝑗𝑗
2 
 
Portanto 𝑥𝑥(𝑡𝑡): 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) =
3
2
+ � 2|𝐶𝐶𝑛𝑛|cos (𝑛𝑛𝑗𝑗𝑡𝑡 − 
𝑗𝑗
2)
∞
𝑛𝑛=−∞
 
 
 
 
Decomposição x(t) do sinal na forma trigonométrica da Série de Fourier 
 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴0 + �𝐴𝐴𝑛𝑛cos (𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)
∞
𝑛𝑛=1
+ �𝐵𝐵𝑛𝑛sin (𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)
∞
𝑛𝑛=1
 
 
• 𝐴𝐴𝑛𝑛 e 𝐵𝐵𝑛𝑛 são também os coeficientes da Série de Fourier 
 
Determinando 𝐴𝐴0: 
 
𝐴𝐴0 = 𝐶𝐶0 =
3
2 
 
 
 
 
 
Determinando 𝐴𝐴𝑛𝑛: 
 
𝐴𝐴𝑛𝑛 =
2
𝑇𝑇0
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡) cos(𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 =
𝑇𝑇0
 
 
= � 2 cos(𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + � 1cos(𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡
2
1
1
0
 
 
 
 
 
 
2 + 0 + 0 = 0 
𝐴𝐴𝑛𝑛 = 0 
 
Determinando 𝐵𝐵𝑛𝑛: 
 
𝐵𝐵𝑛𝑛 =
2
𝑇𝑇0
� 𝑥𝑥(𝑡𝑡) sin(𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 =
𝑇𝑇0
 
 
= � 2 sin(𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + � 1sin(𝑛𝑛𝑛𝑛0𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡
2
1
1
0
 
 
 
 
 
 
 
= 2 �
−(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 +
1
𝑛𝑛𝑗𝑗� + �
−1
𝑛𝑛𝑗𝑗 +
(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 � 
=
−2(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 +
2
𝑛𝑛𝑗𝑗 −
1
𝑛𝑛𝑗𝑗 +
(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 
 
=
−(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 +
1
𝑛𝑛𝑗𝑗 =
1 − (−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 
 
𝐵𝐵𝑛𝑛 =
1 − (−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 
 
Portanto 𝑥𝑥(𝑡𝑡): 
 
𝑥𝑥(𝑡𝑡) =
3
2
+ �
1 − (−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛𝑗𝑗 sin (𝑛𝑛𝑗𝑗𝑡𝑡)
∞
𝑛𝑛=1
 
 
Código Matlab utilizado para fazer a representação 
 
clear all 
clc 
%x(t) (Sinal Original) 
t=-2:0.001:2; 
T=2; 
f=1/T; 
pha=0; 
A=1/2; 
x=1.5+A*square(2*pi*f*t+pha) 
subplot 311 
subplot 312 
subplot 333 
plot(t,x,'LineWidth',2) 
grid on; 
hold on; 
 
 
k=200; 
x_trig=3/2; 
x_exp=3/2; 
x_comb=3/2; 
 
for n=1:2:k 
 Bn=(1-(-1)^n)/(n*pi)*sin(n*pi*t); 
 x_trig=x_trig+Bn; 
 subplot 311 
 plot(t,x_trig) 
 grid on; 
 xlabel('t(segundos)') 
 ylabel('x(t) Trigonometrica') 
 
 
 Cn=(-1j/(n*pi)); 
 x_exp=x_exp+Cn*exp(1j*n*pi*t)+conj(Cn)*exp(-1j*n*pi*t); 
 subplot 312 
 plot(t,x_exp) 
 grid on 
 xlabel('t(segundos)') 
 ylabel('x(t) Exponencial') 
 x_comb=x_comb+2*1/(n*pi)*cos(n*pi*t-pi/2); 
 subplot 313 
 plot(t,x_comb) 
 grid on 
 title('Erro=0.004899 k=200') 
 xlabel('t(segundos)') 
 ylabel('x(t)Combinada') 
 
 pause(0.1) 
 
end 
 
 
Erro=mae(x,x_trig); 
fprintf('Erro: %f\n',Erro) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2 Representação dos sinais. 
Conclusão 
Como demonstrado acima, se foi possível fazer a determinação analítica dos 
coeficientes da Série de Fourier em suas três formas e reconstruir os sucessivos 
sinais com a soma dos respectivos harmónicos. Com um erro de 0.004899, ou 
seja, menor que o erro 0.005 solicitado e com o k=200.