Lista de Integrais (2)

Prévia do material em texto

Lista 4
Integrais II
Versão do 25-5-2018
Integrais de funções racionais por frações parciais, integrais por substituição trigonométrica.
1) Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine os valores 
numéricos dos coeficientes.
a) 
2x
(x+3)(3x+1)
b) 
x−1
x³x²
c) 
x−1
x3 x
d) 
x4
x3x x ²−x3
e) 
t 4t 21
t²1t 242
2) Avalie a integral.
a) ∫
x ²
x ³−6 x2+11 x−6
dx ( 5 ln|x−1x |+
3
x
+C )
b) ∫ x
2
x13
dx ( ln∣x1∣
2
x1
−
1
2x12
C )
c) ∫ 5e
t
e2t+e t−6
dt ( ln|e
t
−2
e t+3|+C )
d) ∫
−x³+2x²−x+1
x (x2+1)2
dx ( ln∣ x√ x²+1∣−arctan x−
1
2(x²+1)
+C )
e) ∫ x
2
+2 x−1
2x3+3 x ²−2 x
dx (
1
2
ln|x (2x−1)
5
(x+2)5 |+C )
f) ∫ x
2
−5x+1
(x2+1)2
dx ( arctan x+
5
2(x2+1)
+C )
3) Avalie a integral usando uma oportuna substituição racionalizante.
a) ∫ √x+4
x
dx ( 2√x+4+2 ln∣√x+4−2√ x+4+2∣+C )
4) Avalie a integral usando uma apropriada substituição trigonométrica.
a) ∫0
2 64−x²
4x²
dx. ( −∞ )
b) ∫ √16+x
2
5
dx . (
16
5
ln|√ x ²+164 +
x
4|+C )
c) ∫
2 x+3
√4−x2
dx ( −4 √4−x ²
2
+3 arccos(
x
2
)+C )
d) ∫
1
√9x2+6 x−8
dx (
1
3
ln∣3x19x26x−8∣C
e) ∫
dx
x2√ x2+1
( −√ x
2
+1
x
+C )
Área de regiões planas, volumes de sólidos de revolução, comprimentos de arco.
5) Encontre a área da região limitada pelas curvas:
a) y=ex−1, y=x2−x , x=1 ( e−
11
6
u.a.)
b) x=( y−2)2, y=−x+4 (
9
2
u.a.)
c) y=x3 , y=3 x ( −
27
4
u.a.)
d) y=sin x , y=−cos x , x=0, x=π ( 2√2 u.a.)
6) Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões
delimitadas pelas seguintes curvas:
a) y=x3, y=x , x≥0, eixo-x (
4
21
π u.v.)
b) y=exsin x , x=0, x = , eixo-x ( /8(e2/-1) u.v.)
c) y=x2, y=2 x , eixo-y (
8
3
π u.v.)
d) y=x3, x=0, x=2 , eixo-y (
96
5
π u.v.)
e) x=1 y2 , x=0, y=1, y=2 , eixo-x (
21
2
π u.v.)
f) y=√ x , x=4, y=0 , eixo-y (
96
5
π u.v.)
7a) Calcule o volume de uma esfera de raio a usando o método das seções transversas.
( 
4
3
 a³ u.v.)
7b) Ache o volume de um cone reto de altura h e raio de base r, usando o método das seções
transversas.
(
1
3
π r2 h )
8) Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y=x2 , de (1,1) até (2,4) ao redor do eixo
y.
(
π
6
(17√(17)−5√(5))
9) Calcule o comprimento de arco do gráfico das equações de A a B:
a) 8x= y
4

2
y2
, A 
3
8
,1,B 
33
16
,2 (
33
16
u.c. )
b) y=x
3
2 , A (1,1) ,B (4,8) (
8010−1313
27
u.c. )
c) y=coshx ,x=0, x=1 ( sinh 1 )
d) x=
y2
4
, x=0,x=1 , eixo-x (
8π
3
(2√2−1)  u.c.)
e) y=
x3
6
+
1
2α
(
14
3
u.c.)
10) Demonstre que o comprimento de uma circunferência é 2π r .
Integrais impróprias
11) Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
a) ∫1
∞ dx
x2x1
. (1-ln2)
b) ∫−∞
2 1
x²4
dx . (
3
8
π )
c) ∫
−∞
∞
x e−x
2
dx. ( 0)
d) ∫−∞
0 1
x−13
dx . ( −
1
2
)
e) ∫−∞
0 1
x2−3x2
dx. ( ln2)
12) Se f e g são contínuas e 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x em [a, ∞ ), então valem os seguintes testes de
comparação para integrais impróprias:
i) Se ∫a
∞
g xdx converge, então ∫a
∞
f x dx converge.
ii) Se ∫a
∞
f x dx diverge, então ∫a
∞
g xdx diverge.
Determine se a primeira integral converge, comparando-a com a segunda integral.
a) ∫1
∞ 1
1x 4
dx ; ∫1
∞ 1
x4
dx. (Converge)
b) ∫1
∞
e−x
2
dx ; ∫1
∞
e−xdx . (Converge)
13) Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
a) ∫0
3 dx
x−1
. (Diverge)
b) ∫e
∞ 1
x lnx
dx . (Diverge)
c) ∫0
4 1
x²−x−2
dx. . (Diverge)
d) ∫0
4 1
x²−4x3
dx. . (Diverge)
e) ∫0
1
x ln xdx . ( −
1
4
)
f) ∫−8
8 xdx
x2−9
. (Indeterminado)