Questão resolvida - Equação reta normal - cálculo I - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a equação da reta normal a curva com equação 
, no ponto da curva com abscissa y = x − ln 3x− 2 x ∈ R1 + 3x ( ) x >
2
3
.x = 1
Resolução:
 
Existe uma relação entre o coeficiente ângular da reta tangente e da reta normal dada por:
m' = -
1
m
Vamos encontrar primeiro a derivada da curva;
 
y' = 1 ⋅ + ⋅ 1 + 3x ⋅ x ⋅ 3 - ⋅ x ⋅ 3 - 1 ⋅ ln 3x− 21 + 3x
1
2
( )
-1
1
2 1
3x− 2
( )
y' = + ⋅ 1 + 3x - + ln 3x− 21 + 3x
3x
2
( )
1 - 2
2 3x
3x− 2
( )
y' = + ⋅ 1 + 3x - + ln 3x− 21 + 3x
3x
2
( )
-
1
2
3x
3x− 2
( )
y' = + - + ln 3x− 21 + 3x
3x
2 ⋅ 1 + 3x
3x
3x− 2
( )
y' = - + ln 3x− 2
2 ⋅ ⋅ + 3x
2 ⋅
1 + 3x 1 + 3x
1 + 3x
3x
3x− 2
( )
y' = - + ln 3x− 2
2 ⋅ + 3x
2 ⋅
1 + 3x
2
1 + 3x
3x
3x− 2
( )
y' = - + ln 3x− 2
2 ⋅ 1 + 3x + 3x
2 ⋅
( )
1 + 3x
3x
3x− 2
( )
y' = - + ln 3x− 2
2 + 6x + 3x
2 ⋅ 1 + 3x
3x
3x− 2
( )
y' = - + ln 3x− 2
2 + 9x
2 ⋅ 1 + 3x
3x
3x− 2
( )
 
Com isso, o coeficiente angular da reta tangente fica:
 
 
m = y' 1 = - + ln 3 ⋅ 1− 2( )
2 + 9 ⋅ 1
2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1
3 ⋅ 1
3 ⋅ 1− 2
( )
m = y' 1 = - + ln 1( )
11
2 ⋅ 4
3
1
( )
m = y' 1 = - 3 =( )
11
4
11 - 12
4
m = y' 1 = -( )
1
4
 
Assim, o coeficiente angular da rela norma é: m' = - m' = - ⋅- m' = 4
1
-
1
4
→
1
1
4
1
→
Dessa forma, a equação da reta normal fica: y = 4x + b
Para saber o valor de b é preciso encontrar o valor da coordenada y do ponto, para isso, 
fazemos;
y 1 = 1 ⋅ − ln 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1( ) 1 + 3 ⋅ 1( ) ( ( ) ) ( )
y 1 = - ln 3− 2 = - ln 1 = 2 - 0( ) 1 + 3 ( ) 4 ( )
y 1 = 2( )
 substituindo o ponto (1,2), temos; 2 = 4 ⋅ 1 + b 2 = 4 + b b = 2 - 4 b = -2 → → →
 
Finalmente, a reta normal à curva é : y = 4x- 2 
 
 
 
(Resposta)