ExerciciosAdicionais_PE1_TeoriaFilas

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Lista de Exercícios de Processos Estocásticos I – Teoria das Filas Prof. André Diniz 1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Processos Estocásticos I 
EXERCÍCIOS ADICIONAIS – TEORIA DAS FILAS 
 PROF: André Diniz 
 
Exercício 1 
Em um posto de saúde, chegam pacientes a uma taxa média de 3 pacientes por hora, segundo um 
processo Markoviano. O atendimento é feito por apenas 1 médico, que leva, em média, 15 minutos 
para atender cada paciente, também segundo uma distribuição exponencial. 
Pergunta-se: 
(a) Qual o tempo médio que os pacientes esperam na fila? 
(b) Qual o número médio de pacientes na fila? 
(c) Qual a probabilidade de que, em um instante qualquer, o medico fique ocioso? 
(d) Quantos médicos deveriam ser contratados a mais para que o tempo médio de espera no sistema 
fosse inferior a 1 minuto? 
Exercício 2 
Uma oficina mecânica trabalha 8 horas por dia. Em média, ela recebe carros para serem consertados 
em uma taxa média de 3 carros por dia. O tempo médio de conserto dos carros é de 6 horas úteis de 
trabalho. Tanto o processo de chegada de veículos como o processo de reparo dos carros é 
Markoviano. 
Sabendo-se que a oficina só tem capacidade para guardar 3 carros além dos que estão em processo 
de conserto, quantos mecânicos são necessários para que a taxa de perda de clientes seja menor do 
que 10%? 
Exercício 3 
Clientes chegam a uma agência de viagens segundo um processo de Poisson de taxa de 3 clientes 
por hora. O atendimento é prestado por um único atendente, e se dá segundo um processo 
exponencialmente distribuído com média igual a 12 minutos. O número máximo de clientes que a 
agência suporta é 10, sendo que somente há 4 cadeiras para as pessoas esperarem sentadas até o 
início do atendimento. Pergunta-se: 
(a) Qual o tempo médio que uma pessoa gasta dentro da agência, desde a sua chegada até sua saída 
após o atendimento? 
(b) Qual a probabilidade de, ao entrar na agência, uma pessoa não encontrar uma cadeira para 
esperar o atendimento sentada? 
(c) Qual o número médio de pessoas esperando atendimento dentro da agência? 
Exercício 4 
Estudando um sistema de filas de um banco no centro da cidade, com um único canal de 
atendimento, observou-se que o tempo médio de espera na fila por cliente é de 15 minutos e que o 
número médio de pessoas no sistema é 9. Quais são os valores das taxas de chegada e de 
atendimento para este sistema? 
 
 
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Exercício 5 
Um dono de posto de gasolina está pensando em contratar determinada pessoa como frentista. No 
teste de aptidão sua taxa de atendimento foi de 1 veículo a cada 3 minutos. A taxa de chegada ao 
posto é de 1 veículo a cada 4 minutos, e deseja-se que o sistema satisfaça aos seguintes critérios de 
qualidade: 
- a fila de veículos (incluindo o que está sendo atendido) não pode ultrapassar 10 unidades em mais 
de 5% do tempo; 
- não se admite que o valor esperado do tempo total no sistema (fila + atendimento) exceda 10 
minutos; 
Pergunta-se: o dono do posto deve contratar esta pessoa? 
 
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Processos Estocásticos I 
EXERCÍCIOS ADICIONAIS – TEORIA DAS FILAS 
 PROF: André Diniz 
 
 
GABARITO 
Exercício 1: 
Modelo M/M/1/∞/∞/FIFO 
λ = 3 pacientes/hora 
µ = 1/15 pacientes/minuto = 4 pacientes/hora 
ρ=λ/µ = 3/4 
(a) horaWq 4
3
34
4/3
=
−
=
−
= λµ
ρ
=45 minutos 
(b) )4/3(1
)4/3(
1
2
−
=
−
=
ρ
ρ
qL = 3 pacientes 
(c) =−= ρ10P 1/4, ou 0,25. 
(d) 
O sistema agora será do tipo M/M/c/∞/∞/FIFO, com r = 3/4 e ρ variando com c. 
 
Temos, para esse sistema, que: 
02)()!1( Pcc
rW
c
q λµ
µ
−−
= , onde 
111
0
0 !)(!
−
−
−
=














+
−
= ∑
c
n
nc
n
r
rcc
rcP , e qWW += µ
1
 
 
 
A condição desejada é que W < 1/60 horas (1 minuto) 
 Calculando P0 (conforme mostrado acima), Wq e W para cada valor de c, obtemos: 
 
c 
Termo 
fixo 
parcelas 
P0 Wq(min) 
n=0 n=1 n=2 
2 0,4500 1,000 0,750 - 0,4545 2,45 
3 0,0938 0,281 0,4706 0,29 
 
R: Devem ser contratados 2 médicos 
 
Termo fixo parcelas 
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Exercício 2: 
Modelo M/M/c/K/FIFO 
λ = 3 carros/dia 
µ = 8/6 carros/dia (8 horas úteis de trabalho) = 
r=λ/µ = 9/4 
Como sempre há 3 vagas além dos carros que já estão sendo consertados, então a capacidade do 
sistema (K) é igual a (c+3). 
condição desejada: 10,0<KP 
Para cada valor de c, calcula-se K = c +3 e, em seguida, os valores de P0 e de PK, segundo as 
expressões abaixo: 
( )( )
( )
1
1
0
1
0 !/1!
/1
−
−
=
+−








+
−
−
= ∑
c
n
ncKc
n
r
crc
crrP ; 
cK
K
K
cc
rPP
−
=
!0
 
 
 
c Κ Termo fixo 
parcelas 
P0 PK 
n=0 n=1 n=2 
1 4 44,3320 
1,000 
- - 0,022 0,5654 
2 5 12,1866 
2,25 
- 0,0647 0,233 
3 6 5,1910 2,531 0,09114 0,073 
 
R: É preciso ter pelo menos 3 mecânicos. 
 
Exercício 3: 
Modelo M/M/1/K/FIFO 
λ = 3 pessoas/hora 
µ = 60/12 = 5 pessoas/hora 
ρ=λ/µ = 0,6 
K = 10 
(a) Deseja-se calcular: 
( )KP
LW
−
=
1λ , onde e 11
)1(
+
−
−
= K
n
nP ρ
ρρ
,para n=K 
 
Obtendo-se PK = P10 = 0,00243, L = 1,4599 e W = 0,4878h = 29,27min. 
 
(b) como só há 4 cadeiras na fila de espera, deseja-se calcular a probabilidade de que N≥5 (1 pessoa 
em atendimento, 4 pessoas ocupando todas as cadeiras e as restantes esperando em pé) 
Termo fixo parcelas 
[ ]
( )( )1
1
11
)1(1
+
+
−−
+−+
= K
KK KKL
ρρ
ρρρ
 
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( )
( )1
1
1
1][
+
+−
−
−
=≥ K
kK
kkNP
ρ
ρρ => 0744,0]5[ =≥NP 
(c) Deseja-se saber: 
 01 PLLq +−= , onde P0 é dada pela mesma fórmula para Pn acima. 
Tem-se: P0 é = 0,4015, e Lq = 0,8614 pessoas. 
 
Exercício 4 
Taxa de chegada: 32,4 pessoas/hora 
Taxa de atendimento: 36 pessoas/hora 
 
Exercício 5 
Não. Apesar de que, ao contratar este frentista, a fila de veículos será maior do que 10 apenas em 
4,22% do tempo, o tempo total de espera + serviço será de 12 minutos, em média.