Apostila 7 - Variável Aleatória - TRANSPARÊNCIAS DE AULA

Prévia do material em texto

1
VARIÁVEL ALEATÓRIA
7
VARIÁVEL ALEATÓRIA
S
característica
qualitativa
quantitativa
discreta
contínua
Definição: 
VARIÁVEL ALEATÓRIA é a função 
que associa cada elemento de S a um 
número real.
Xv.a.
VARIÁVEL ALEATÓRIA
S
CC
KC
CK
KK
X: número de caras em 2 lances de moeda
0 1 2
X = 0 ⇔ KK
X = 1 ⇔ KC ∪ CK
X = 2 ⇔ CC
P(X = 0) = P(KK)
P(X = 1) = P(KC ∪ CK)
P(X = 2) = P(CC)
(imagem)
Experimento: jogar 1 moeda 2 vezes e observar o resultado
(C = cara e K = coroa)
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Definição: 
Uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis 
(imagem) for finito ou infinito numerável.
P(X = xi) ≥ 0 para todo i
1
( ) 1i
i
P X x
∞
=
= =∑
Função de Probabilidade
( ) ( )f x P X x= =
EXEMPLOS
a) jogar dados
X: ponto obtido no dado
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X: = 1 se ponto for igual a 6
X: = 0 caso contrário
X = {0, 1}
b) jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes)
X: número de caras em 5 lances
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
EXEMPLOS
Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição,
de uma caixa que contém 4 bolas vermelhas e 3 pretas.
Seja X a variável aleatória “número de bolas vermelhas
retiradas no experimento” Quais os valores assumidos por
“X” ?
Quais são DISCRETAS e quais são CONTÍNUAS?
• número de dias chuvosos em um mês
• precipitação diária medida no pluviômetro
• número de alunos presentes na sala de aula
• vazão em uma dada seção do rio
• idade dos alunos de uma sala
• peso dos alunos desta sala
• número de disciplinas cursadas por aluno
• evaporação mensal de um açude
• velocidade do vento
2
EXEMPLOS
É possível que o próprio resultado do experimento já possa
ser expresso como uma VA?
Sim. Exemplo, VA resultado da jogada de um dado. 
Pode-se a um experimento associar-se mais de uma VA?
Sim. Por exemplo, no caso das moedas, seja X uma VA que
representa o número de caras do experimento e Y uma VA que
representa o número de coroas.
VALOR ESPERADO
• → se X for discreta 
• → se X for contínua
∑
=
==
n
i
ii xXPxXE
1
)()(
∫
∞
∞−
= dxxfxXE )(.)(
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
•
• VARDP =
( ) ( )[ ]
( ) in
i
pXXE
onde
XEXEXVAR
∑
=
=
−=
1
22
22
,
)(
EXEMPLOS
Seja um sistema de teste de celulares. Cada celular tem 80%
de chance de ser reprovado em um teste. Em um
experimento, três equipamentos são testados. Supondo que
cada equipamento é independente do outro, estabeleça a
distribuição de probabilidade do número X de equipamentos
que são reprovados e calcule a média e o desvio padrão
dessa v.a.
EXEMPLOS
O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa
peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade:
a) Calcule o tempo médio de processamento.
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00
mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha
$0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a
peça em quatro minutos, ganha a quantia adicional de $1,00.
Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia em
$ ganha por peça.
t 2 3 4 5 6 7
P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1