M- ¦ódulo 5

Prévia do material em texto

1
5 - Estimação de Médias e Totais 
sob AAS 
5.1 - Estimadores Pontuais 
Vimos que, para estimar sem vício média e 
total populacionais sob um plano amostral 
probabilístico, precisamos apenas das 
probabilidades de inclusão na amostra, 
denotadas por pii = P(i∈s), sob este plano.
Por outro lado, no módulo 4 vimos que, sob 
AAS, a probabilidade de inclusão pii é:
.Ui,
N
n
i ∈∀=pi
Substituindo nos estimadores de HT para total 
e média, obtemos os estimadores não viciados 
para estes parâmetros sob AAS.
O estimador não viciado para a média 
populacional, sob AAS, é:
O estimador não viciado para o total 
populacional, sob AAS, é:
∑
∈
=
si
iAAS y
n
NYˆ
.y
n
y
Yˆ si
i
AAS ==
∑
∈
Assim:
estimador 
expansão
média 
amostral
No módulo 4 vimos que, sob AAS, a 
probabilidade de inclusão conjunta piij é:
Para achar a variância do estimador da média 
sob AAS, pii e piij devem ser substituídas na 
variância do estimador de HT para a média, 
apresentada no módulo 3 e repetida a seguir.
.U)j,i(,
1)-N(N
)1n(n
ji ∈∀
−
=pi
5.2 - Variâncias Teóricas
Variância do Estimador de HT para a 
Média:
Fazendo as substituições, e após algum 
algebrismo (arquivo: “Prova da Variância 
da AAS.pdf”), obtém-se a seguinte fórmula:








pipi−pi








pi






pi
+pi−pi





pi
=
∑∑∑
<∈ ji
jiij
j
j
i
i
Ui
ii
2
i
i
2
HT
)(yy2)1(y
N
1
)Yˆ(V
Variância do Estimador da Média:
- f = n/N é denominado fração amostral.
- O termo (1-f) é chamado fator de correção 
para populações finitas.
n
S
N
n1)Yˆ(V
2
AAS 





−=
y. de (teórica) variânciaa é 
1N
)Yy(
S onde Ui
2
i
2
−
−
=
∑
∈
2
Variância do Estimador do Total:
Basta multiplicar a expressão do slide 
anterior por N2:
.
n
S
N
n1N)Yˆ(V
2
2
AAS 





−=
5.3 - Estimação das Variâncias
Na prática, as variâncias apresentadas na 
seção 5.2 não são calculáveis, pois dependem 
dos yi`s populacionais, que são desconhecidos.
Por isso chamamos estas variâncias de 
teóricas (ou ainda, populacionais).
O que se faz é estimar as variâncias dos 
estimadores de média e total.
Novamente, a idéia é substituir pii e piij, só que 
agora nos estimadores de variância dos 
estimadores de HT para média e total.
A fórmula resultante, para o caso da média, é 
apresentada a seguir. 
Estimador da Variância 
do Estimador da Média:
y. de amostral variânciaa é 
1n
)yy(
s si
2
i
2
−
−
=
∑
∈
.
n
s
N
n1)Yˆ(v
2
AAS 





−=
Estimador da Variância 
do Estimador do Total:
Para obter o estimador da variância 
do estimador do total, é (sempre) só 
multiplicar o estimador da variância 
do estimador da média por N2:
.
n
s
N
n1N)Yˆ(v
2
2
AAS 





−=
Exemplo 5.1 - Seja novamente a 
população do exemplo 1.1 do módulo 1:
Se a amostra, selecionada por AAS, é s = 
(2,3), estime sem vício a média e o total, 
com as estimativas de variância.
34
33
52
41
yiU
3
Respostas:
8)Yˆ(v
5,0)Yˆ(v
16Yˆ
4Yˆ
=
=
=
=
Obtenha agora as estimativas de 
erro padrão e CV.
Exemplo 5.2 - Considere agora 
a seguinte população de 5 fazendas, com 
suas respectivas áreas, em 1.000 hectares:
35
54
23
22
31
yiU
Se a amostra é s = (2,3,4), obtida por AAS, 
estime sem vício as áreas média e total, com as 
respectivas estimativas de erro padrão e CV.
5.3 - IC`s e Resultados Assintóticos
Para obter ICs para os parâmetros, 
precisamos conhecer as distribuições 
amostrais dos respectivos estimadores.
Sob AAS, existem resultados que fornecem 
estas distribuições para grandes amostras.
• Distribuições Assintóticas 
dos Estimadores
Na estimação de média e total sob AAS, se n 
é suficientemente grande e n/N é pequeno,
valem os seguintes resultados aproximados:
).1,0(N
)Yˆ(EP
YYˆ
AAS
AAS
≈
−
.)1,0(N)Yˆ(EP
YYˆ
AAS
AAS
≈
−
Substituindo os erros padrão teóricos EP 
por seus estimadores (denotados por ep), 
a aproximação normal continua válida:
).1,0(N
)Yˆ(ep
YYˆ
AAS
AAS
≈
−
.)1,0(N)Yˆ(ep
YYˆ
AAS
AAS
≈
−
4
As estatísticas definidas no slide anterior 
são, claramente, pivots, e assim 
permitem obter ICs para totais e médias.
Intervalo de Confiança para 
Total e Média Populacionais:
)].Yˆ(ep*zYˆ
);Yˆ(ep*zYˆ[)Y(IC
AAS
2
AAS
AAS
2
AAS)%1(100
α
αα−
+
−=
)].Yˆ(ep*zYˆ
);Yˆ(ep*zYˆ[)Y(IC
AAS
2
AAS
AAS
2
AAS)%1(100
α
αα−
+
−=
valor da 
tabela normal tal 
que: P(Z> ) = α/2.
2
z α
Exemplo 5.3 - Uma pesquisa na área de 
saúde tem por objetivo estimar o peso médio 
de uma população que possui 10.000 
indivíduos. Para isto, foi selecionada uma 
AAS de 900 indivíduos, e registrado o peso 
de cada um. Se o peso médio na amostra foi 
82 Kg, e o desvio padrão amostral dos 
pesos foi 36 Kg, ache a estimativa do erro 
padrão do estimador do peso médio e o IC 
de 95% para o peso médio populacional. 
Interprete o IC encontrado.
Respostas:
].23,84;76,79[)Y(IC
14,1)Yˆ(ep
AAS%95
AAS
=
=
Interpretação do IC?
Exemplo 5.4 - Uma pesquisa tem por 
objetivo estimar o total de habitantes em 
um estado que possui 70 municípios. 
São selecionados, por AAS, 5 municípios, 
que possuem, respectivamente: 100, 300, 
100, 200 e 300 mil habitantes. 
Estime o total de habitantes neste estado, 
e reporte a estimativa do CV e o IC de 95% 
para o total de habitantes deste estado.
Respostas:
].57,912.19;42,087.8[)Y(IC
%55,21)Yˆ(cv
000.100.9)Yˆ(v
000.14Yˆ
AAS%95
AAS
AAS
AAS
=
=
=
=
comente sobre a 
validade deste IC.
5
5.5 - AAS com Reposição
Podemos definir a AAS com reposição, ou 
AASc, que consiste na devolução de cada 
unidade selecionada à amostra, antes do 
sorteio da unidade seguinte. 
Este plano é ineficiente do ponto de vista 
estatístico, mas é interessante utilizá-lo 
como referência, uma vez que este é o 
plano subjacente à inferência clássica.
Sob AASc, os estimadores pontuais de 
média e total são os mesmos da AASs.
Estimadores de variância:
.
N
)Yy(
 ,
n
)Yˆ(V Ui
i
2
2
AASc
∑
∈
−
=σ
σ
=
).Yˆ(VN)Yˆ(V AASc2AASc =
Exemplo 5.5
Seja uma população de tamanho 1.000, e 
uma amostra de tamanho n = 500. Seja o 
problema de estimar a média populacional. 
Calcule o EPA da AASs em relação à AASc.
Refaça o cálculo, se n = 50. Comente.
Solução:
.2
500
999
nN
1N
)Yˆ(V
)Yˆ(V)Yˆ;Yˆ(EPA
AASs
AASc
AAScAASs ≅=
−
−
==
.051,1
950
999)Yˆ;Yˆ(EPA 50n AAScAASs ≅=⇒=