aula 2 Operações com Vetores

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1
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Geometria Analítica
Aula 2
Conversa Inicial
Multiplicação de um vetor por um escalar
Soma e subtração de vetores
Produto escalar
Produto vetorial
Produto misto
Conversa Inicial
Multiplicação de um Vetor
por um Escalar
Se um automóvel está se deslocando para o 
leste a uma velocidade de 30 km/h, o 
respectivo vetor é 𝒗 30, 0 
Se o motorista aumentar em três vezes esta 
velocidade, ele estará trafegando a 90 km/h 
e o vetor passa a ser 3𝒗 90, 0 
Exemplo
𝒗 30, 0
2
𝒗 30, 0 𝒗 30, 0
3𝒗 90, 0
𝒗 30, 0
3𝒗 90, 0
Sabendo que 𝒗 5, 6 , obtenha o vetor 2𝒗. 
Faça a representação gráfica, calcule o 
módulo de 𝒗 e o módulo de 2𝒗
Resolução
𝒗 5, 6 𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
3
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
5 
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
6
5 
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
6
5 
𝒗
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
6
5 10
𝒗
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
4
12
6
5 10
𝒗
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
𝒗 5, 6
2𝒗 2 . 5, 6
2𝒗 10, 12
12
6
5 10
2𝒗
𝒗
𝒗 5, 6 𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
5
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
2𝒗 10, 12
2𝒗 10, 12
| 2𝒗 | 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟐𝟐
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
2𝒗 10, 12
| 2𝒗 | 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟐𝟐
| 2𝒗 | 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟒
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
2𝒗 10, 12
| 2𝒗 | 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟐𝟐
| 2𝒗 | 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟒
| 2𝒗 | 𝟐𝟒𝟒
2𝒗 10, 12
| 2𝒗 | 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟐𝟐
| 2𝒗 | 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟒
| 2𝒗 | 𝟐𝟒𝟒
| 2𝒗 | 15,62
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
6
Considere o vetor 𝒗 5, 6 . Obtenha o vetor 
- 2𝒗 e em seguida faça a representação 
gráfica, calcule o módulo de 𝒗 e o módulo de 
- 2𝒗
Exemplo Resolução
𝒗 5, 6
𝒗 5, 6
- 2𝒗 - 2 . 5, 6
𝒗 5, 6
- 2𝒗 - 2 . 5, 6
- 2𝒗 -10, -12
𝒗 5, 6
- 2𝒗 - 2 . 5, 6
- 2𝒗 -10, -12
-10
-12
6
2𝒗
𝒗
5
𝒗 5, 6 
7
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
‐ 2𝒗 - 10, - 12𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
‐ 2𝒗 - 10, - 12
| -2𝒗 | 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
8
‐ 2𝒗 - 10, - 12
| -2𝒗 | 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝟐
| -2𝒗 | 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟒
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
‐ 2𝒗 - 10, - 12
| -2𝒗 | 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝟐
| -2𝒗 | 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟒
| -2𝒗 | 𝟐𝟒𝟒
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
‐ 2𝒗 - 10, - 12
| -2𝒗 | 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝟐
| -2𝒗 | 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟒
| -2𝒗 | 𝟐𝟒𝟒
| -2𝒗 | 15,62
𝒗 5, 6
| 𝒗 | 𝟓𝟐 𝟔𝟐
| 𝒗 | 𝟐𝟓 𝟑𝟔
| 𝒗 | 𝟔𝟏
| 𝒗 | 7,81
Multiplicação de vetor por escalar
Para R2:
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐
Para R2:
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐
Para R2:
Para R3:
9
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐, k 𝒗𝟑
Para R2:
Para R3:
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐, k 𝒗𝟑
Para R2:
Para R3:
Para Rn:
Para R2:
Para R3:
Para Rn:
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐
k . 𝒗 k 𝒗𝟏, k 𝒗𝟐, k 𝒗𝟑
k . 𝒗 k 𝒗𝟏 , k 𝒗𝟐 , . . . , k 𝒗𝒏
No vetor 𝒗 60, 130, 20 temos as medidas 
(altura, largura e profundidade), em 
polegadas, de um armário. Sabendo que uma 
polegada corresponde a 2,54 cm, obtenha o 
vetor 𝒘 que contém as mesmas medidas, mas 
em centímetros
Exemplo
Resolução
𝒘 2,54 𝒗 𝒘 2,54 𝒗
𝒘 2,54 60, 130, 20
10
𝒘 2,54 𝒗
𝒘 2,54 60, 130, 20
𝒘 152, 4; 330, 2; 50, 8
Versor
Vetor unitário 𝒗 que tem mesma direção e 
sentido de 𝒗
Vetor unitário 𝒗 que tem mesma direção e 
sentido de 𝒗
𝒗 𝒗
| 𝒗 |
Dado o vetor 𝒗 11, 13 , obtenha o versor de 
𝒗
Exemplo
Resolução
𝒗 11, 13 𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
11
𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
| 𝒗 | 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟗
𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
| 𝒗 | 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟗
| 𝒗 | 𝟐𝟗𝟎
𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
| 𝒗 | 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟗
| 𝒗 | 𝟐𝟗𝟎
| 𝒗 | 17,029
𝒗 
𝒗
| 𝒗 |𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
| 𝒗 | 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟗
| 𝒗 | 𝟐𝟗𝟎
| 𝒗 | 17,029
𝒗 
𝒗
| 𝒗 |
𝒗 
𝟏
𝟏𝟕,𝟎𝟐𝟗
11, 13
𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
| 𝒗 | 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟗
| 𝒗 | 𝟐𝟗𝟎
| 𝒗 | 17,029
𝒗 
𝒗
| 𝒗 |
𝒗 
𝟏
𝟏𝟕,𝟎𝟐𝟗
11, 13
𝒗 
𝟏𝟏
𝟏𝟕,𝟎𝟐𝟗
,
𝟏𝟑
𝟏𝟕,𝟎𝟐𝟗
𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
| 𝒗 | 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟗
| 𝒗 | 𝟐𝟗𝟎
| 𝒗 | 17,029
12
𝒗 
𝒗
| 𝒗 |
𝒗 
𝟏
𝟏𝟕,𝟎𝟐𝟗
11, 13
𝒗 
𝟏𝟏
𝟏𝟕,𝟎𝟐𝟗
,
𝟏𝟑
𝟏𝟕,𝟎𝟐𝟗
𝒗 0,65; 0,76
𝒗 11, 13
| 𝒗 | 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟑𝟐
| 𝒗 | 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟗
| 𝒗 | 𝟐𝟗𝟎
| 𝒗 | 17,029
Soma e Subtração de Vetores
Igor Lateci/Shutterstock
Força para 
segurar a 
planta
Gravidade
Soma de vetores
𝒖 𝒖𝟏,𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏
𝒖 𝒖𝟏,𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏
𝒗 𝒗𝟏,𝒗𝟐, . . . , 𝒗𝒏
𝒖 𝒖𝟏,𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏
𝒗 𝒗𝟏,𝒗𝟐, . . . , 𝒗𝒏
𝒖 𝒗 𝒖𝟏 𝒗𝟏,𝒖𝟐 𝒗𝟐, . . . , 𝒖𝒏 𝒗𝒏
13
Subtração de vetores
𝒖 𝒖𝟏,𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏 𝒖 𝒖𝟏,𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏
𝒗 𝒗𝟏,𝒗𝟐, . . . , 𝒗𝒏
𝒖 𝒖𝟏,𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏
𝒗 𝒗𝟏,𝒗𝟐, . . . , 𝒗𝒏
𝒖 𝒗 𝒖𝟏 𝒗𝟏,𝒖𝟐 𝒗𝟐, . . . , 𝒖𝒏 𝒗𝒏
𝒖 𝒖𝟏,𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒏
𝒗 𝒗𝟏,𝒗𝟐, . . . , 𝒗𝒏
𝒖 𝒗 𝒖𝟏 𝒗𝟏,𝒖𝟐 𝒗𝟐, . . . , 𝒖𝒏 𝒗𝒏
𝒖 𝒗 𝒖 𝒗
Dados os vetores 𝒖 1, 3 e 𝒗 2, 4 , calcule 
𝒖 + 𝒗
Em seguida, faça a representação gráfica
Exemplo Resolução
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
14
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 3, 7
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 3, 7
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 3, 7
3
1 
𝒖
3
1 2
𝒖
4
𝒗
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 3, 7
7
3
3
1
𝒖
𝒗
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 3, 7
15
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 3, 7
7
3
𝒖 𝒗
3
1
𝒖
𝒗
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 3, 7
7
3
𝒖 𝒗
Dados os vetores 𝒖 1, 3 e 𝒗 2, 4 , calcule 
𝒖 - 𝒗
Em seguida, faça a representação gráfica
Exemplo Resolução
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
16
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
3
𝒖
1 
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
3
𝒖
1 4
2
𝒗
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
-4
3
-2
𝒖
𝒗
1
3
1
𝒗
𝒖
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
3
1
𝒗
𝒖
-1
-1
𝒖 𝒗
17
-1
-1
𝒖 𝒗
𝒖 𝒗 𝟏,𝟑 𝟐,𝟒
𝒖 𝒗 1 2, 3 4
𝒖 𝒗 1, 1
Combinação linear
Dizemos que 𝒗 é uma combinação linear de
𝒗₁ , 𝒗₂ , . . . , 𝒗ₙ quando 𝒗 é a soma de 
múltiplos de 𝒗₁ , 𝒗₂ , . . . , 𝒗ₙ
Dizemos que 𝒗 é uma combinação linear de
𝒗₁ , 𝒗₂ , . . . , 𝒗ₙ quando 𝒗 é a soma de 
múltiplos de 𝒗₁ , 𝒗₂ , . . . , 𝒗ₙ
𝒗 𝜶𝟏𝒗₁ 𝜶𝟐𝒗₂ . . . 𝜶𝒏 𝒗ₙ
Dizemos que 𝒗 é uma combinação linear de
𝒗₁ , 𝒗₂ , . . . , 𝒗ₙ quando 𝒗 é a soma de 
múltiplos de 𝒗₁ , 𝒗₂ , . . . , 𝒗ₙ
𝒗 𝜶𝟏𝒗₁ 𝜶𝟐𝒗₂ . . . 𝜶𝒏 𝒗ₙ
𝜶𝟏, 𝜶𝟐, . . . , 𝜶𝒏 ∈ 𝑹
Exemplo
𝒗 2, 4 𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
18
𝒗2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
y
x
𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
y
1 x⃗
𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
1
y
1 x⃗
⃗
𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
𝒗 2⃗ 4⃗
1
y
1 x⃗
⃗
𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
𝒗 2⃗ 4⃗
𝒗 2 1, 0 4 0, 1
1
y
1 x⃗
⃗
19
𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
𝒗 2⃗ 4⃗
𝒗 2 1, 0 4 0, 1
𝒗 2, 0 0, 4
1
y
1 x⃗
⃗
𝒗 2, 4
⃗ 1, 0
⃗ 0, 1
𝒗 2⃗ 4⃗
𝒗 2 1, 0 4 0, 1
𝒗 2, 0 0, 4
𝒗 2, 4
1
y
1 x⃗
⃗
Vetores Canônicos em R3
⃗ 1, 0, 0 ⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒌 0, 0, 1
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒌 0, 0, 1
⃗
𝒌
⃗
z
y
x
o
20
Exemplo
𝒗 3, 2, 5 𝒗 3, 2, 5
⃗ 1, 0, 0
𝒗 3, 2, 5
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒗 3, 2, 5
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒌 0, 0, 1
𝒗 3, 2, 5
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒌 0, 0, 1
𝒗 3⃗ 2⃗ 5𝒌 𝒗 3, 2, 5
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒌 0, 0, 1
𝒗 3⃗ 2⃗ 5𝒌
𝒗 3 1, 0, 0 2 0, 1, 0 5 0, 0, 1
21
𝒗 3, 2, 5
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒌 0, 0, 1
𝒗 3⃗ 2⃗ 5𝒌
𝒗 3 1, 0, 0 2 0, 1, 0 5 0, 0, 1
𝒗 3, 0, 0 0, 2, 0 0, 0, 5
𝒗 3, 2, 5
⃗ 1, 0, 0
⃗ 0, 1, 0
𝒌 0, 0, 1
𝒗 3⃗ 2⃗ 5𝒌
𝒗 3 1, 0, 0 2 0, 1, 0 5 0, 0, 1
𝒗 3, 0, 0 0, 2, 0 0, 0, 5
𝒗 3, 2, 5
Produto Escalar
Produto Escalar
No R2:
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐
No R2:
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐
No R2:
No R3:
22
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐 𝒖𝟑 . 𝒗𝟑
No R2:
No R3:
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐 𝒖𝟑 . 𝒗𝟑
No R2:
No R3:
No Rn:
No R2:
No R3:
No Rn:
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐 𝒖𝟑 . 𝒗𝟑
𝒖 . 𝒗 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 𝒖𝟐 . 𝒗𝟐 . . . 𝒖𝒏 . 𝒗𝒏
Dados os vetores 𝒖 2, 7, 4 e 𝒗 5, 6, 3 , 
determine 𝒖 . 𝒗
Exemplo
𝒖 2, 7, 4 𝒖 2, 7, 4
𝒗 5, 6, 3
23
𝒖 2, 7, 4
𝒗 5, 6, 3
𝒖 . 𝒗 2, 7, 4 . 5, 6, 3
𝒖 2, 7, 4
𝒗 5, 6, 3
𝒖 . 𝒗 2, 7, 4 . 5, 6, 3
𝒖 . 𝒗 2x5 7x6 4x3
𝒖 2, 7, 4
𝒗 5, 6, 3
𝒖 . 𝒗 2, 7, 4 . 5, 6, 3
𝒖 . 𝒗 2x5 7x6 4x3
𝒖 . 𝒗 10 42 12
𝒖 2, 7, 4
𝒗 5, 6, 3
𝒖 . 𝒗 2, 7, 4 . 5, 6, 3
𝒖 . 𝒗 2x5 7x6 4x3
𝒖 . 𝒗 10 42 12
𝒖 . 𝒗 64
Determine o produto escalar 𝒖 . 𝒗 onde 
𝒖 2, 1, 5, 3, 7 e 𝒗 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 2, 1, 5, 3, 7
24
𝒖 2, 1, 5, 3, 7
𝒗 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 2, 1, 5, 3, 7
𝒗 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 . 𝒗 2, 1, 5, 3, 7 . 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 2, 1, 5, 3, 7
𝒗 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 . 𝒗 2, 1, 5, 3, 7 . 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 . 𝒗 2x5 1x2 5x8 3x3 7x1
𝒖 2, 1, 5, 3, 7
𝒗 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 . 𝒗 2, 1, 5, 3, 7 . 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 . 𝒗 2x5 1x2 5x8 3x3 7x1
𝒖 . 𝒗 10 2 40 9 7
𝒖 2, 1, 5, 3, 7
𝒗 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 . 𝒗 2, 1, 5, 3, 7 . 5, 2, 8, 3, 1
𝒖 . 𝒗 2x5 1x2 5x8 3x3 7x1
𝒖 . 𝒗 10 2 40 9 7
𝒖 . 𝒗 68
Produto escalar
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . cos𝜽
25
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . cos𝜽
𝒗
z
y
x
𝛉
𝒖
Calcule o produto escalar entre os 
vetores 𝒖 5, 0 e 𝒗 0, 6 utilizando a 
expressão 𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . cos𝜽
𝒖 5, 0 𝒖 5, 0
𝒗 0, 6
𝒖 5, 0
𝒗 0, 6
6
5𝒖
𝒗
𝒖 5, 0
𝒗 0, 6
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . 𝐜𝐨𝐬𝜽
6
5𝒖
𝒗
26
𝒖 5, 0
𝒗 0, 6
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒖 . 𝒗 𝟓𝟐 𝟎𝟐 . 𝟎𝟐 𝟔𝟐 . 𝐜𝐨𝐬𝟗𝟎⁰
6
5𝒖
𝒗
𝒖 5, 0
𝒗 0, 6
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒖 . 𝒗 𝟓𝟐 𝟎𝟐 . 𝟎𝟐 𝟔𝟐 . 𝐜𝐨𝐬𝟗𝟎⁰
𝒖 . 𝒗 25 . 𝟑𝟔 . 06
5𝒖
𝒗
𝒖 5, 0
𝒗 0, 6
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒖 . 𝒗 𝟓𝟐 𝟎𝟐 . 𝟎𝟐 𝟔𝟐 . 𝐜𝐨𝐬𝟗𝟎⁰
𝒖 . 𝒗 25 . 𝟑𝟔 . 0
𝒖 . 𝒗 5 . 6 . 0
6
5𝒖
𝒗
𝒖 5, 0
𝒗 0, 6
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒖 . 𝒗 𝟓𝟐 𝟎𝟐 . 𝟎𝟐 𝟔𝟐 . 𝐜𝐨𝐬𝟗𝟎⁰
𝒖 . 𝒗 25 . 𝟑𝟔 . 0
𝒖 . 𝒗 5 . 6 . 0
𝒖 . 𝒗 0
6
5𝒖
𝒗
Um estudante obteve nota 67 na prova 
objetiva, nota 84 na prova discursiva e nota 
99 em uma atividade prática
Sabendo que os pesos dessas avaliações 
correspondem, respectivamente, a 50%, 
30% e 20%, utilize o vetor 𝒖 para armazenar 
as notas, o vetor 𝒗 para armazenar os pesos 
de cada avaliação produto escalar 𝒖 . 𝒗 para 
calcular a respectiva média ponderada
27
𝒖 67, 84, 99 𝒖 67, 84, 99
𝒗 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 67, 84, 99
𝒗 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 . 𝒗 67, 84 , 99 . 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 67, 84, 99
𝒗 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 . 𝒗 67, 84 , 99 . 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 . 𝒗 67 x 0,5 84 x 0,3 99 x 0,2
𝒖 67, 84, 99
𝒗 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 . 𝒗 67, 84 , 99 . 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 . 𝒗 67 x 0,5 84 x 0,3 99 x 0,2
𝒖 . 𝒗 33,5 25,2 19,8
𝒖 67, 84, 99
𝒗 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 . 𝒗 67, 84 , 99 . 0,5; 0,3; 0,2
𝒖 . 𝒗 67 x 0,5 84 x 0,3 99 x 0,2
𝒖 . 𝒗 33,5 25,2 19,8
𝒖 . 𝒗 78,5
28
Ângulo entre vetores
𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒖 . 𝒗 | 𝒖 | . | 𝒗 | . 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
Qual é o ângulo formado pelos vetores 
𝒖 3, - 7 e 𝒗 4, 2 ?
Exemplo
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
29
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
30
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝟓𝟖 . 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝟓𝟖 . 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝟓𝟖 . 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝟓𝟖 . 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟑𝟒,𝟎𝟓𝟖𝟕𝟕𝟑
31
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝟓𝟖 . 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟑𝟒,𝟎𝟓𝟖𝟕𝟕𝟑
𝐜𝐨𝐬𝜽 - 0,058722
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 |𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝟓𝟖 . 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟑𝟒,𝟎𝟓𝟖𝟕𝟕𝟑
𝐜𝐨𝐬𝜽 - 0,058722
𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝟏 - 0,058722
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝒖 . 𝒗 3, -7 . 4, 2
𝒖 . 𝒗 3x4 -7 . 2
𝒖 . 𝒗 12 – 14
𝒖 . 𝒗 - 2
| 𝒖 | 𝟑𝟐 𝟕 𝟐 
| 𝒖 | 𝟗 𝟒𝟗
| 𝒖 | 𝟓𝟖
| 𝒗 | 𝟒𝟐 𝟐𝟐 
| 𝒗 | 𝟏𝟔 𝟒
| 𝒗 | 𝟐𝟎
𝟓𝟖 . 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝒖 . 𝒗
| 𝒖 | . | 𝒗 |
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟏𝟏𝟔𝟎
𝐜𝐨𝐬𝜽 
𝟐
𝟑𝟒,𝟎𝟓𝟖𝟕𝟕𝟑
𝐜𝐨𝐬𝜽 - 0,058722
𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝟏 - 0,058722
𝜽 𝟗𝟑,𝟑𝟕𝟎
Produto Vetorial
𝒖 𝒖
𝒗
32
𝒖
𝒗
𝒖 𝐱 𝒗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
Dados os vetores 𝒖 3, -1, 2 e 𝒗 5, 3, 6 ,
obtenha um vetor 𝒘 ortogonal aos vetores 𝒖
e 𝒗
Exemplo
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
33
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
34
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗ 6 ⃗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
35
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗ 6 ⃗ 5𝒌
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗ 6 ⃗ 5𝒌
𝒖 x 𝒗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗ 6 ⃗ 5𝒌
𝒖 x 𝒗 12 ⃗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗ 6 ⃗ 5𝒌
𝒖 x 𝒗 12 ⃗ 8 ⃗
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗ 6 ⃗ 5𝒌
𝒖 x 𝒗 12 ⃗ 8 ⃗ 1𝟒𝒌
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
𝒖 x 𝒗
⃗ ⃗ 𝒌
𝟑 𝟏 𝟐
𝟓 𝟑 𝟔
 
⃗ ⃗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝒖 x 𝒗 ⃗ . 𝟏 . 𝟔 ⃗ . 𝟐 . 𝟓 𝒌 . 𝟑 . 𝟑
 ⃗ . 3 . 6 ⃗ . 2 . 3 𝒌 . 1 . 5
𝒖 x 𝒗 6 ⃗ 10 ⃗ 9𝒌 18 ⃗ 6 ⃗ 5𝒌
𝒖 x 𝒗 12 ⃗ 8 ⃗ 1𝟒𝒌
𝒖 x 𝒗 12, 8, 14
36
Área de um paralelogramo
𝒖
𝒗
A | 𝒖 x 𝒗 |
𝒖
𝒗
Produto Misto 𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘 
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝟑
Considere os vetores 𝒖 2, 3, 0 , 𝒗 0, 2, 1 e 
𝒘 1, 1, -4 . Calcule 𝒖 . 𝒗 x 𝒘
Exemplo
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘
𝟐 𝟑 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟒
37
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘
𝟐 𝟑 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟒
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘
𝟐 𝟑 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟒
 
𝟐 𝟑
𝟎 𝟐
𝟏 𝟏
 
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘
𝟐 𝟑 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟒
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘
𝟐 𝟑 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟒
 
𝟐 𝟑
𝟎 𝟐
𝟏 𝟏
 
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘 16 3 0 0 2 0
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘
𝟐 𝟑 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟒
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘
𝟐 𝟑 𝟎
𝟎 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟒
 
𝟐 𝟑
𝟎 𝟐
𝟏 𝟏
 
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘 16 3 0 0 2 0
𝒖 . 𝒗 𝐱 𝒘 15
Volume de um paralelepípedo
𝒖
𝒗
𝒘
V | 𝒖 . 𝒗 x 𝒘 |𝒖
𝒗
𝒘