Assunto 07 - Introdução ao estudo da reta no espaço ENIAC

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Introdução ao estudo da reta no espaço
APRESENTAÇÃO
As retas, elemento de estudo da geometria analítica, não são dispostas apenas em planos 
cartesianos. Retas podem ser definidas no espaço em R3. Por isso, devem ser analisadas e 
representadas por equações, as quais não necessariamente estarão na forma de ax + by + c = 0. 
Equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas são meios de apresentação de retas no 
espaço.
Para maior facilidade de compreensão deste tópico, é importante um bom conhecimento sobre 
retas no plano R2, visão espacial e procedimentos algébricos de manipulação de variáveis em 
equações.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá a definir uma reta no espaço R3 por meio de 
equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida, além de determinar equações por dois 
pontos no espaço.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir a reta no espaço R3.•
Descrever uma reta por suas equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.•
Determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos pertencentes a ela.•
DESAFIO
Softwares de desenho CAD podem trabalhar por meio da utilização de aplicações de equações 
paramétricas. O uso dessas equações advém de uma tecnologia usada para desenhar com 
restrições, que são associações e restrições aplicadas à geometria 2D.
Com base nessas equações, quais devem ser os sistemas fornecidos ao software, de modo que 
este possa realizar o desenho?
INFOGRÁFICO
A apresentação das equações de reta podem ser feitas por meio de: equação vetorial, equações 
paramétricas, simétricas e reduzidas.
Neste Infográfico, você vai ver o procedimento algébrico que permite obter as equações 
reduzidas, passo a passo, em função da equação vetorial.
CONTEÚDO DO LIVRO
O estudo de retas no espaço é mais amplo do que apresentações no plano cartesiano. 
Considerações sobre os modos de equações devem ser vistas e aplicadas na descrição de retas no 
espaço.
No capítulo Introdução ao estudo da reta no espaço, do Livro Geometria analítica, base teórica 
desta Unidade de Aprendizagem, você vai ver como definir a reta no espaço R³, suas equações 
vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida, além de como determinar a equação de uma reta a 
partir de dois pontos pertencentes a ela.
Boa leitura.
GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
Everton Coelho de Medeiros
Introdução ao estudo 
da reta no espaço
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir a reta no espaço R3.
 � Descrever uma reta por suas equações vetorial, paramétrica, simétrica 
e reduzida.
 � Determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos perten-
centes a ela.
Introdução
As retas, elementos de estudo da geometria analítica, não são dispostas 
apenas em planos cartesianos. Elas podem ser definidas no espaço em 
R3. Por isso, devem ser analisadas e representadas por equações que não 
necessariamente estarão na forma de ax + by + c = 0. Equações vetoriais, 
paramétricas, simétricas e reduzidas são meios de apresentação de retas 
no espaço.
Para maior facilidade de compreensão deste tópico, é importante um 
bom conhecimento sobre retas no plano R2, sobre visão espacial e sobre 
procedimentos algébricos de manipulação de variáveis em equações.
Neste capítulo, você aprenderá a definir uma reta no espaço R3 por 
meio de equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas, além 
de determinar equações de reta a partir de dois pontos no espaço.
Retas no espaço
Retas no espaço são representadas em três dimensões x, y e z (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). O comportamento linear das retas no espaço é o mesmo 
de quando situadas em um plano bidimensional. Uma equação de reta no 
espaço tem estrutura parecida à representada em um plano. Deve ser, no 
entanto, orientada por vetores e alguns pontos de referência. Um exemplo de 
equação de reta no espaço está representado a seguir.
r: (x,y,z) = (x1, y1, z1) + t(a,b,c)
Os valores dos coeficientes e dos pontos mudam de reta para reta; são 
obtidas soluções, por meio de pontos x, y e z, que satisfaçam a equação. Como 
se trata de uma reta, sabemos que dois pontos a definem. Entretanto, devemos 
atentar para o fato de que a reta contém uma infinidade de pontos (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). Veja, na Figura 1, uma reta r no espaço R3 e alguns pontos 
distribuídos em sua extensão.
Figura 1. Reta r no espaço R3.
E
D
C
B
A
–6
–5 –4 –3 –2 –1
0 1 2
3 4
5 6–2
–1
0
2
3
4
5
–6 –5
–4 –3
–2 –1
0 1
2 3
4 5
6
r
Exemplo 1 — Como estão orientadas no espaço as retas: r: (x,y,z) = (2,–2,0) 
+ t(2,3,2) e s: (x,y,z) = (7,3,2) + t(3,1,1)?
Solução:
Nas retas anteriores, a primeira parte, (2,–2,0) e (7,3,2), são pontos que 
pertencem às retas r e s, respectivamente. As partes (7,3,2) e (3,1,1) são os 
vetores que orientam cada reta: nesse caso, r e s, respectivamente. Observe 
a Figura 2.
Introdução ao estudo da reta no espaço2
Figura 2. Construção das retas r (verde) e s (laranja) do Exemplo 1.
–18 –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2
0 2 4 6 8 10 12
–20
–18
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
y
r
0
z
10
8
6
4
2
0
–2
–4
s
vetor v
vetor u
A ferramenta Geogebra permite a geração de retas no plano cartesiano. Basta inserir 
os pontos individualmente, unindo-os em seguida, ou inserir diretamente a equação 
da reta em função da variável dependente.
https://goo.gl/vxH7Y4
Equações de retas no espaço
As retas são representadas por meio de equações. Essas equações podem ser 
obtidas por pontos no plano cartesiano e por relações com vetores (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). Dentre as diferentes apresentações de equações, estão a 
equação vetorial, a paramétrica, a simétrica e a reduzida (WINTERLE, 
2014). A seguir, trataremos de cada um desses equacionamentos, bem como 
de alguns exemplos de construção dessas equações.
3Introdução ao estudo da reta no espaço
Equação vetorial
Uma reta r pode ser construída com base na orientação ou referência de um 
vetor (SANTOS; FERREIRA, 2009). Considerando um ponto A (x1, y1,z1) e 
um vetor diretor v (a,b,c), temos que só existe uma reta que passa pelo ponto A 
e que possui a mesma direção do vetor diretor v. Se buscarmos por um ponto P (x,y,z) 
que pertence à reta, o vetor AP formado pelos pontos A e P é paralelo a v 
(STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). A Figura 3 apresenta a reta r paralela 
ao vetor diretor v. A equação vetorial é descrita por:
AP = t ∙ v
P – A = t ∙ v
P = A + t ∙ v
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t ∙ (a,b,c)
Figura 3. Reta r orientada pelo vetor v, com os pontos A e P.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
z
A
P
O
v
x
y
r
Exemplo 2 — Qual é a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A (1,–1,4) 
e que tem mesma direção do vetor diretor v (2,3,2)?
Solução:
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t ∙ (a,b,c)
(x,y,z) = (1,–1,4) + t ∙ (2,3,2)
Introdução ao estudo da reta no espaço4
Perceba que a equação vetorial fica em função do parâmetro t, que é a 
variável da reta. Conforme variamos t, obtemos pontos (x,y,z) que pertencem 
à reta r.
Equação paramétrica
As equações paramétricas são derivadas da equação vetorial anteriormente 
apresentada. A apresentação de uma reta por meio de equações paramétricas 
é feita pela geração de um sistema de equações para cada posição em relação 
ao espaço (SANTOS; FERREIRA, 2009). Observe:
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t ∙ (a,b,c)
(x,y,z) = (x1 + a ∙ t, y1 + b ∙ t, z1 + c ∙ t)
O sistema de equações que representa as equações paramétricas da reta r é:
Exemplo 3 — Quais são as equações paramétricas da reta r, onde o ponto 
A(2,3,–4) pertence à reta e possui vetor diretor v (1,–2,3)?
Solução:
Equação simétrica
A apresentação de uma reta r pode ser feita com uma representação chamada 
de simétrica. Esse modelo consiste basicamente em uma manipulação algé-
5Introdução ao estudo da reta no espaço
brica, onde o escalar t é isolado em cada uma das equações paramétricas, 
posteriormente igualadas (WINTERLE, 2014). Veja, aseguir, a sua construção:
Exemplo 4 — Quais são as equações simétricas da reta r, onde o ponto 
A(3,0,–5) pertence à reta e possui vetor diretor v (2,2,–1)?
Solução:
Equação reduzida
Esse último modelo de equação de reta é obtido por meio de mais uma sim-
plificação algébrica das equações simétricas. Nesse caso, tomamos uma das 
posições e a transformamos em variável de duas novas equações (SANTOS; 
FERREIRA, 2009). Observe a representação:
Introdução ao estudo da reta no espaço6
Siga o exemplo a seguir para melhor compreensão.
Exemplo 5 — Quais são as equações reduzidas da reta r, onde o ponto A(2,–
4,–3) pertence à reta e possui vetor diretor v (1,2,–3)?
Primeiramente, devemos encontrar as equações simétricas:
Em seguida, criamos duas equações em função de x:
Por fim, as equações reduzidas, em função de x, são:
y = 2x – 8 e z = –3x + 3
Vamos observar agora um exemplo de transformação entre equações.
7Introdução ao estudo da reta no espaço
Exemplo 6 — Dada a equação vetorial t: (x,y,z) = (–1,–2,0) + t(–2,1,3), quais 
são as equações paramétricas, simétricas e reduzidas, com base na variável x?
Solução:
Inicialmente, extraímos da primeira equação o vetor diretor e o ponto de 
referência:
v = (–2,1,3)
P = (–1,–2,0)
Com esses dados, construímos as equações exigidas:
No momento da construção de qualquer equação, a inserção dos valores do ponto de 
referência e do vetor diretor devem se dar nas posições indicadas. Caso haja inversão 
ou troca de alguma posição, toda a equação da reta será inválida.
Introdução ao estudo da reta no espaço8
Determinação das equações a partir de pontos
Com pontos no espaço, é possível a determinação das equações de retas de 
maneira simples (SANTOS; FERREIRA, 2009). Imagine a seguinte situação 
de dois pontos, A e B: com esses dois pontos, é possível a construção do vetor 
diretor v. A seguir, a partir de um dos pontos, A ou B, podemos deduzir uma 
equação vetorial, por exemplo. Se aumentarmos a quantidade de pontos, essa 
reta pode ser construída, sendo utilizado o mesmo artifício de geração de 
vetores diretores. Observe o exemplo a seguir.
Exemplo 7 — Dados os pontos A (0,1,2) e B (–4,0,–1), quais são as equações 
vetorial, paramétricas e simétricas da reta que os possui?
Solução:
v = B – A = (–4,0,–1) – (0,1,2)
v = (–4,–1,–3)
Com o vetor diretor v e um dos pontos, por exemplo, o ponto A, a equação 
vetorial da reta é definida:
(x,y,z) = (0,1,2) + t(–4,–1,–3)
Em seguida, são determinadas as equações paramétricas e simétricas:
Exemplo 8 — Dada a reta t, descrita pela equação reduzida a seguir, verifique 
se o A (2,2,1) e B (–1,0,–1) estão na reta.
9Introdução ao estudo da reta no espaço
Solução:
No ponto A (2,2,1):
Ponto A pertence à reta t. 
No ponto B (–1,0,–1): 
Ponto B não pertence à reta t.
Exemplo 9 — Considerando a equação da reta anterior e o ponto A que pertence 
à reta, qual é o valor de t necessário para que o ponto encontrado esteja na reta?
Solução:
Obtemos, primeiramente, as equações simétricas a partir das equações 
reduzidas:
Introdução ao estudo da reta no espaço10
A equação vetorial é:
Ponto A (2,2,1):
Para satisfazer o ponto A, o valor de t deve ser igual a 1.
No link a seguir, é apresentado um material produzido pelos professores Jorge Capela e 
Marisa Capela, do Instituto de Química da UNESP, a respeito de retas e planos no espaço. 
https://goo.gl/tYXju3 
Já o próximo link traz um exercício de equação de reta a ser executado no Geogebra. 
A atividade foi preparada pelo departamento de matemática da UFRGS.
https://goo.gl/ug1GPx 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
STEINBRUCH, A. C.; WINTERLE, P. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
11Introdução ao estudo da reta no espaço
DICA DO PROFESSOR
É possível construir as equações da reta por meio de 3 ou 2 pontos.
Nesta Dica do Professor, você vai ver como realizar a construção de equações de reta com base 
em 3 pontos. Serão obtidas as equações vetorial, paramétricas, simétrica e reduzida. 
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EXERCÍCIOS
1) É possível calcular a equação paramétrica a partir da equação vetorial. 
Dada a equação vetorial (x,y,z) = (-1,2,3) + t.(2,-3,0), qual é a sua equação 
paramétrica?
A) x = 2t, y = 2, z = 3 + 2t.
B) x = -2 + t, y = -3t, z = 4t - 2.
C) x = -1 + 2t, y = 2 - 3t, z = 3.
D) x = -1 + t, y = 2 - 4t, z = 3.
E) x = 3 + 6t, y = 2t, z = 4.
2) A partir da equação simétrica, é possível conhecer os pontos de uma reta. 
Qual é o ponto pertence à reta (x-3)/(-1) = (y+1)/2 = (z-2)/-2?
A) (4,-1,12).
B) (5,-5,6).
C) (0,2,3).
D) (2,0,6).
E) (1,2,3).
3) Transformando a equação simétrica do exercício anterior em um sistema de equações 
paramétricas, qual seria o valor de t para que o ponto encontrado estivesse na reta?
A) -2.
B) 0.
C) 2.
D) 5.
E) 1.
4) Uma reta r pode ser construída com base na referência de um vetor.
Dado os pontos A (0,0,1), B (-2,-2,3) e C (3,3,-2), qual é a equação vetorial de reta que 
passa por esses 3 pontos?
A) (x,y,z) = (5,3,2) + t(-1,4,3).
B) (x,y,z) = (2,-3,1) + t(0,2,7).
C) (x,y,z) = (1,0,0) + t(2,0,1).
D) (x,y,z) = (1,0,1) + t(-1,3,-9).
E) (x,y,z) = (0,0,1) + t(5,5,-5).
5) Qual é o sistema de equações reduzidas, com variável y, a partir da equação obtida 
no exercício anterior?
A) x = 1 e z = y + 1.
B) x = 2y + 1 e z = 1.
C) x = y e z = -y + 1.
D) x = y e z = 4y + 1.
E) x = 2y e z = y.
NA PRÁTICA
Um controlador de voo precisa lidar com o monitoramento de diversas aeronaves no espaço 
aéreo simultaneamente. Computadores ajudam nesse processo de monitoramento dizendo quais 
são os caminhos previstos que as aeronaves deverão percorrer, desde o seu ponto de decolagem 
até aterrissar no destino.
Em alguns pontos, trajetórias de voos de aviões parecem se sobrepor quando olhadas de um 
ponto de vista bidimensional, mas, quando analisadas em três dimensões, é possível perceber 
que aviões que estão na mesma posição de longitude e latitude não se colidem, pois estão em 
altitudes diferentes.
Carlos é controlador de voo e está costumado a lidar com a aparente ideia de interseção entre 
rotas. Veja um exemplo que ele preparou:
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Estudo da reta e do plano
No seguinte vídeo, você vai ver uma explicação sobre o estudo de retas no espaço, além de 
como calcular as equações do plano no espaço.
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Geometria analítica
No Capítulo 10 deste livro, você vai ver importantes pontos de apoio sobre o estudo de retas.
Lista de exercícios
Para aprender seções cônicas e circunferências, é importante que você treine fazendo diversos 
exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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