M- ¦ódulo 11

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11.1 - Definição
Amostragem estratificada é o plano que 
consiste em dividir a população em 
subconjuntos (estratos), e selecionar, em 
cada um dos estratos, amostras 
independentes com tamanhos pré-fixados.
11 - Amostragem Estratificada 
(DEFINIÇÃO, MOTIVAÇÃO, IMPLEMENTAÇÃO E ESTIMADORES)
11.2 - Implementação
1) Dividir a população em H subpopulações 
disjuntas e exaustivas, preferencialmente 
homogêneas, denominados estratos.
2) Selecionar amostras dentro de cada um dos 
estratos, de forma independente, e em 
proporções/alocações convenientes.
3) Estimar os parâmetros-alvo em cada estrato 
4) Se houver interesse, obter as estimativas dos 
parâmetros globais (isto é, da população U).
H. ..., 2, 1, h pequenas, S2h =
Obs - estratificar uma população = dividi-la 
em estratos, para em seguida selecionar 
amostras em cada um deles.
11.3 - Motivação
- população dispersa geograficamente, na qual 
o uso de AAS seja caro/inconveniente
- demanda por estimativas separadas, com 
precisão controlada, para subpopulações 
(regiões geográficas, UF`s, homens/mulheres, 
classes de atividade econômica, etc.)
- aumento da representatividade (garantia de 
“espalhamento” da amostra) e da eficiência 
estatística (menor variância dos estimadores), 
como consequência da representatividade.
11.4 - Tipos de Estratificação
- Natural: os estratos são definidos 
naturalmente, em geral geograficamente 
(este caso específico é também chamado 
estratificação geográfica). O interesse é 
obter estimativas separadas para os 
estratos, sem preocupação com eficiência.
- Estatística: os estratos são definidos de 
forma a aumentar substancialmente a 
eficiência estatística dos estimadores 
globais. Neste caso, quanto mais 
homogêneos os estratos, maior o ganho. 
11.5 - Vantagens
1) Estimação de parâmetros para 
subpopulações, com precisão controlada 
(tamanho das amostras são pré-fixados).
2) Amostragem nos estratos é feita de forma 
independente ⇒ conveniência operacional
no caso de estratificação geográfica.
3) Possibilidade de reduzir a variância dos 
estimadores globais (o ganho de eficiência 
cresce com a homogeneidade dos estratos).
2
Fatores que influenciam a eficiência da AE:
1) Seleção da(s) Variável(eis) de Estratificação
2) Número H de Estratos, e Respectivos Limites 
(tamanhos dos estratos: Nh, h = 1, 2, ...,H) 
3) Alocação da Amostra nos Estratos
4) Método de Seleção em cada Estrato
Obs – quando a seleção da amostra em cada 
estrato é por AAS, o plano é chamado 
amostragem estratificada simples, ou AES.
11.6 - Desvantagens
1) Requer informação auxiliar completa 
referente à(s) variável(eis) de estratificação
na população, notadamente no caso da 
estratificação estatística. Isto é, os valores 
destas variáveis devem estar 
disponibilizados no cadastro.
2) Requer reestruturação do cadastro antes da 
amostragem, para que seja possível aplicar 
o(s) algoritmo(s) de seleção de forma 
independente em cada um dos estratos.
11.7 - Parâmetros nos Estratos
∑
=
=
hN
1i
hih yY
h
N
1i
hi
h
h
h N
y
N
YY
h
∑
=
==
tamanho do estrato h
Média no Estrato h:
Total no Estrato h:
11.8 - Parâmetros Globais 
(referentes à toda a população)
∑ ∑
= =
==
H
1h
H
1h
hhh YNYY
∑
∑
=
=
===
H
1h
h
h
H
1h
h
Y
N
N
N
Y
N
YY
Média na População:
Total na População:
11.9 - Estimadores Globais
∑
=
=
H
1h
hAE YˆYˆ
N
Yˆ
N
YˆYˆ
H
1h
h
AE
AE
∑
=
==
Estimador do Total na População:
Estimador da Média na População:
3
Considerando AES (AAS em cada estrato):
∑∑∑
===
==
H
1h
hh
n
1i
hi
H
1h h
h
AES yNy
n
NYˆ
h
∑
=
==
H
1h
h
hAES
AES yN
N
N
YˆYˆ
AAS,hYˆ
11.10 - Variância dos Estimadores Globais
∑
=
=
H
1h
hAE )Yˆ(V)Yˆ(V
2AE N
)Yˆ(V)Yˆ(V =
Considerando AES:
)Yˆ(VN
n
S)
N
n1(N)Yˆ(V AAS,h
H
1h
2
h
h
2
h
H
1h h
h2
hAES ∑∑
==
=−=
)Yˆ(V
N
N
n
S)
N
n1(
N
N
N
)Yˆ(V)Yˆ(V AAS,h
H
1h
2
2
h
h
2
h
H
1h h
h
2
2
h
2
AES
AES ∑∑
==
=−==
)Yˆ(V AAS,h as variâncias são somadas devido 
à independência entre os estratos!
1N
)Yy(
S
h
N
1i
2
hhi
2
h
h
−
−
=
∑
=
Exemplo 11.1 (ilustrando o ganho de 
eficiência) - Considere uma população 
de 8 domicílios, cujas rendas y (em R$ 
1000,00) e localização (A ou B) são: 
xyU
B68
A197
A126
B105
B54
B63
A172
B131
Calcule a variância do estimador da renda 
média, considerando os seguintes planos:
a) AAS, com n = 4.
b) AES, usando x como variável de 
estratificação, selecionando 2 domicílios de 
cada estrato (amostra final de tamanho 4).
Calcule o EPA da AES, e comente sobre o 
ganho de eficiência estatística advindo do uso 
da amostragem estratificada ao invés da AAS.
Resposta:
EPA = 0,48.
Com o mesmo tamanho de amostra, 
conseguimos reduzir a variância para menos 
da metade do que sob AAS.
O resultado deve-se ao fato da renda estar 
bastante relacionada com a localização: 
rendas maiores estão concentradas em A e 
rendas menores em B (estratos homogêneos).
4
Obs - a estratificação nem sempre leva a 
um ganho tão proeminente de eficiência. 
Em alguns casos, pode levar a um 
ganho irrisório, ou, em casos extremos, 
à perda de eficiência em relação à AAS 
(Cochran, p. 101).
Refaça o exemplo 11.1 considerando como 
estratos: U1 = {1,2,3,4} e U2 = {5,6,7,8}. 
11.11 – Estimadores das Variâncias
∑
=
=
H
1h
hAE )Yˆ(v)Yˆ(v
2
AE
AE N
)Yˆ(v)Yˆ(v =
Considerando AES:
∑∑
==
=−=
H
1h
AAS,h
2
h
h
2
h
H
1h h
h2
hAES )Yˆ(vN
n
s)
N
n1(N)Yˆ(v
)Yˆ(v
N
N
n
s)
N
n1(
N
N
N
)Yˆ(v)Yˆ(v AAS,h
H
1h
2
2
h
h
2
h
H
1h h
h
2
2
h
2
AES
AES ∑∑
==
=−==
)Yˆ(v AAS,h
1n
)Yˆy(
s
h
n
1i
2
hhi
2
h
h
−
−
=
∑
=
Exemplo 11.2 - Considere 2 estratos de 
tamanhos 4 e 6, dos quais foram obtidas 
AAS de tamanhos 2 e 3.
Se os valores de y para as unidades 
amostrais são: y11 = 5 e y12 = 8 para o 
primeiro estrato e y21 = 3, y22 = 2 e y23 = 
1 para o segundo, estime o total e a 
média populacionais, e reporte as 
estimativas de cv correspondentes. 
Exemplo 11.3 - Na situação do exemplo 
11.1, seja a amostra s = (2,3,5,7). Estime a 
variância do estimador da renda média, 
considerando a amostra obtida por AES, 
usando w como variável de estratificação.