QUESTÕES OBJETIVAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA

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QUESTÕES OBJETIVAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
1-Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Contudo, na analise matemática, podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre as propriedades da adição dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade. CORRETA
II- Associatividade. CORRETA
III- Elemento inverso. ERRADA
IV- Lei do corte. CORRETA
2-O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais, analise as sentenças a seguir:
I- As propriedades do conjunto dos números naturais podem ser demonstradas a partir dos axiomas de Peano. CORRETA
II- Todo número natural n tem sucessor e é sucessor de alguém, salvo o número 0, que não tem esta segunda propriedade. ERRADA
III- O conjunto dos números naturais é bem ordenado, através do conceito de 'maior que'. ERRADA
IV- Ao compararmos dois números naturais, obrigatoriamente, ou um é menor do que o outro, ou eles são iguais (propriedade da tricotomia). CORRETA
3-No cotidiano, usamos expressões sem perceber que representam expressões algébricas ou numéricas. As expressões algébricas são encontradas, muitas vezes, em fórmulas matemáticas, por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas. Agora, utilize a prova direta, se achar necessário, para reconhecer qual das seguintes expressões algébricas é equivalente a:
 
( ) 3t²+9t+18=0
( ) 2t²+8t+18=0
( ) t²+6t+6=0
( X ) t²+6t+18=0
4-Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente:
I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número natural m. CORRETA
II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). CORRETA
III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n). ERRADA
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. ERRADA
5-Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Porém, na análise matemática, podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre quais são propriedades dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade. CORRETA
II- Associatividade. CORRETA
III- Elemento inverso. ERRADA
IV- Lei do corte. CORRETA
6-No dia a dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar objetos etc. No cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na matemática temos conjuntos e elementos pertencentes a este conjunto. Desta forma, podemos definir um conjunto enumerável se:
( ) Ser um subconjunto dos números reais.
( X ) Existir uma função bijetora entre ele e o conjunto dos números naturais.
( ) Se ele for obrigatoriamente apenas finito.
( ) Ser o conjunto de partida de uma função linear.
7-Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Sobre a sentença que pode ser provada pelo método da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA:
( ) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
( X ) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
( ) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
( ) Teorema de Tales.
8-Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm propriedades que muito intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história. Por este motivo, várias são as possibilidades dentro da análise matemática para comprovar que um conjunto é infinito. Sendo assim, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas para concluir que um conjunto é infinito e a seguir assinale a alternativa CORRETA:
 
( ) V - F - F - F.
( ) F - V - F - V.
( X ) V - V - V - F.
( ) F - V - V - F.
9-Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da indução:
( X ) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
( ) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
( ) Teorema de Tales.
( ) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
10-Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Prova por Absurdo.
II- Prova Direta.
III- Prova por Indução.
( III ) Prove que:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
i - para n = 1
2 = 1(1+1) = 2
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
( I ) Prove que existem infinitos números primos.
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum número primo, deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último número primo. Conclui-se que existem infinitos números primos.
( II ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
(a + b)² = (a + b) (a + b)
 = a(a + b) + b(a + b)
 = a² + ab + ab + b²
 = a² +2ab + b²