O juca é terraplanista e as vezes faz churrasco (1)

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ANÁLISE COMPLEXA 
E APLICAÇÕES 
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GUEORGUI SMIRNOV 
ANÁLISE COMPLEXA 
E APLICAÇÕES 
('9 ESCOLAR EDITORA 
Título: ANÁLISE COMPLEXA E APLICAÇÕES 
Autor: Gueorgui Smirnov 
Copyright © by Escolar Editora 2003 
Rua do Vale Formoso, 37 1949-013 LISBOA 
Tel +351218681 183 Fax +351218685 012 
e-mail: dinternal@dinternal.pt Portugal 
Proibida a reprodução total ou parcial deste livro 
sem a autorização expressa do editor. 
Todos os direitos reservados. 
Capa: 
Tiago Oliveira (Designer Gráfico da Editora) 
Execução Gráfica: 
JMM-Artes Gráficas, Lda. 
Impressão e acabamento: 
Fernando Silva Miguel 
ISBN 972-592-152-6 
Depósito Legal n. º 189 738/02 
Tiragem: 2.000 exemplares 
Janeiro 2003 
Distribuição 
DINTERNAL, Lda-
LISBOA: Rua do Vale Formoso, 37 
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E-mail: britanica.por@dintérnal.pt Portugal 
Prefácio 
A Análise Complexa é um ramo da Matemática que estuda funções complexas e que 
tem numerosas aplicações quer nas outras áreas da Matemática, quer nas Ciências da 
Natureza e na Técnica. 
Este texto foi escrito para estudantes de cursos de Matemática Aplicada, Engenharia 
e Física, o que explica a escolha da matéria e o nível de generalidade da apresentação. 
Foram incluidos no livro só os conceitos e resultados da Análise Complexa importantes 
nas aplicações, e as demonstrações foram feitas sem tentar atingir a máxima generali-
dade. 
O livro contém três capítulos. No primeiro capítulo apresentam-se os elementos da 
Análise Complexa: números complexos, funções elementares de uma variável complexa, 
cálculo diferencial e integral, teoria de séries, teoria dos resíduos, aplicações conformes. 
Os resultados principais tais como o Teorema de Jordan, o Teorema de Cauchy, o Teo-
rema de Riemann, que formam a base da Análise Complexa, não se demonstram ou 
demonstram-se numa versão simplificada. O segundo capítulo é dedicado às aplicações 
da Análise Complexa. A escolha da máteria deste capítulo foi determinada pela ori-
entação do livro para Engenharia e Física: Transformada de Laplace e a sua utilização 
no estudo das equações diferenciais lineares, Teoria de estabilidade, problemas de con-
torno para as equações de Laplace e Poisson. Foram incluidos numerosos exemplos que 
mostram como os métodos da Análise Complexa "trabalham"nas Ciências Aplicadas 
diferentes: das aplicações clássicas na Hidrodinâmica e Electrostática à Química-Física 
de superfície e Teoria de controlo. Para ler estes dois capítulos são só necessários con-
hecimentos básicos da Análise Real e da Álgebra Linear. No texto foram incluidos (às 
vezes numa forma esquemática) alguns tópicos da Análise Real e Álgebra Linear com o 
objectivo de fazer o livro acessível aos estudantes com níveis diferentes de preparação 
em Matemática. O pequeno terceiro capítulo contém as demonstrações dos resulta-
dos fundamentais deixados no primeiro capítulo sem demonstração. Isto faz o livro 
matematicamente completo. Embora as demonstrações contidas neste capítulo sejam 
elementares (incluindo a do Teorema de Jordan), a leitura desta matéria presume uma 
certa experiência no estudo de Matemática e a capacidade de seguir longos raciocínios 
lógicos. 
6 PREFÁCIO 
A matéria dos primeiros dois capítulos é completada por vários exercícios (resolvidos 
e não resolvidos) que ajudam a aprender melhor a teoria e a elaborar a técnica necessária 
na resolução de problemas práticos. O livro contém mais matéria do que é necessário 
para um curso semestral. Isto permite formar vários cursos, utilisando como base o 
primeiro capítulo e escolhendo diferentes aplicações do segundo. O terceiro capítulo 
poderá ser utilizado para cursos essencialmente teóricos. 
Este texto é uma introdução elementar à Análise Complexa e às suas aplicações. 
Ao leitor interessado em conhecer os resultados mais profundos da Análise Complexa 
podemos recomendar a obra fundamental de A.I. Markushevich, "Theory of Functions 
of a Complex Variable", Vol. 1 - 3, Chelsea Publishing Company, New York, 1985. 
Do ponto de vista de aplicações e resolução de numerosos problemas práticos continua 
a ser insuperável o livro de M. Lavrentiev e B. Chabat, "Métodes de la Théorie des 
Fonctions d 'une Varíable Complexe '', Mir, M oscou, 1977. O aspecto computacional da 
Análise Complexa está perfeitamente apresentado no livro de P. Henrici, "Applied and 
Cornputàtional Complex Analysis", Wiley, New York, Vol.1, 1974, Vol.2, 1977, Vol.3, 
1986. 
N11 preparação deste curso forain utilizados alguns exercícios dos livros M.L. Kras-
nov, A.L Kiselev, G.I. Makarenko, "Funções de uma Variável Complexa. Calculo 
O[icmciorrnl. 'l'eoria de Estabilidade", Nauka, Moskva, 1981, M.A. Evgrafov, Yu. V. 
Sidomv, M. V. Flldoriuk, M.I. Shabunin, K.A. Bezhanov, "Livro de Exercícios de Teoria 
de Ji\mções Analiticns", Nrwka, Moskva, 1969, e A.F. Filippov, "Livro de Exercícios 
de Bquaç{fo.9 Difernncfois", Nauka, Moskva, 1970. 
O autm: a.grndece a Alessandro Margheri, Francisco Miranda, Patrícia Gonçalves e 
Semyon Yakubovich pelas sugesthes e comentários ao texto. Agradecimentos especiais 
a Isabel Rodrigues pela sua ajuda na preparação deste texto. Algumas partes deste 
livro existiram durante vários anos na forma de "Folhas de apoio", e muitos alunos da 
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto indicaram vários erros e omissões. O 
autor agradece a todos eles. 
, 
ln dice 
Prefácio 
1 Análise complexa elementar 
1.1 Números complexos ......... . 
1.1.1 Corpo dos números complexos 
1.1.2 Módulo . . . . . . . . . . 
1.1.3 Forma trigonométrica de números complexos 
1.1.4 Exercícios resolvidos . . 
1.1.5 Exercícios . . . . . . . . 
1.1.6 Soluções dos exercícios . 
1.2 Funções elementares . . 
1.2.1 Funções racionais .. 
1.2.2 Função efi .... 
1.2.3 Função exponencial 
1.2.4 Funções hiperbólicas 
1.2.5 Funções trigonométricas 
1.2.6 Logaritmo ...... . 
1.2.7 Funções trigonométricas inversas 
1.2.8 Função zª ..... 
1.2.9 Exercícios resolvidos .. 
1.2.10 Exercícios . . . . . . 
1.2.11 Soluções dos exercícios . 
1.3 Sucessões. Limite . . . . . . 
1.3.1 Limite de uma sucessão 
1.3.2 Esfera de Riemann . . . 
1.3.3 Teorema de Bolzano-Weierstrass 
1.3.4 Critério de Caucby . 
1.3.5 Exercícios resolvidos 
1.3.6 Exercícios . . . . . 
1.3. 7 Soluções dos exercícios . 
1.4 Funções complexas . . . . 
5 
13 
14 
14 
16 
18 
19 
22 
24 
24 
24 
24 
24 
25 
26 
26 
27 
27 
28 
29 
30 
31 
31 
32 
34 
35 
36 
36 
36 
36 
8 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
ÍNDICE 
1.4.1 Curvas ...... . 
1.4.2 Conjuntos planos . 
1.4.3 Funções . . . 
1.4.4 Limites ... 
1.4.5 Continuidade 
1.4.6 Exercícios . . 
1.4. 7 Soluções dos exercícios . 
Funções analíticas ...... . 
1.5.1 Derivada . . . . . . . . 
1.5.2 Condições de Cauchy-Riemann 
1.5.3 Exercícios resolvidos . . 
1.5.4 Exercícios ....... . 
1.5.5 Soluções dos exercícios . 
Integral ............ : 
1.6.1 Integrais curvilíneos .. 
1.6.2 Integral complexo ao longo de uma curva 
1.6.3 Exemplos ................. . 
1.6.4 Teorema de Cauchy ........... . 
1.6.5 Teorema de Cauchy para um sistema de curvas 
1.6.6 Primitiva ..... . 
1.6.7 Exercícios resolvidos .. 
1.6.8 Exercícios . . . . . . . . 
1.6.9 Soluções dos exercícios . 
Fórmula integral de Cauchy . . 
1.7.1 Fórmula integral de Cauchy 
1. 7.2 Teorema do valor médio . . 
1. 7.3 Diferenciabilidade do integral do tipo de Cauchy 
1. 7.4 Teorema de Liouville e Teorema Fundamental d<t Álgebra 
1.7.5 Teorema de Morera ..... . 
1. 7.6 Fórmulas de Sokhotski-Plemelj 
1.7.7 Exercícios resolvidos .. 
1. 7.8 Exercícios ....... . 
1.7.9 Soluções dos exercícios . 
Séries de funções . . . . . . . . 
1.8.1 Séries numéricas . . . . 
1.8.2 Convergência de uma sucessão de funções 
1.8.3 Convergência e convergência uniforme das séries de funções 
1.8.4 Propriedades das sucessões e das séries. de funções convergentes 
uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
1.8.5 Teorema de convergência de uma sucessão de funções analíticas 
1.8.6 Exercícios resolvidos ....................... . 
37 
38 
39 
39 
42 
44 
44 
44 
45 
45 
47 
48 
49 
49 
49 
54 
56 
56 
56 
58 
60 
64 
64 
65 
65 
66 
66 
70 
70 
71 
76 
78 
78 
78 
78 
81 
82 
84 
85 
87 
ÍNDICE 
1.9 
1.10 
1.8. 7 Exercícios ...... . 
1.8.8 Soluções dos exercícios 
Séries de potências . . . . . . 
1. 9 .1 Teorema de Abel . . . 
1. 9.2 Raio de convergência . 
1.9.3 Exercícios resolvidos . 
1.9.4 Exercícios ...... . 
1.9.5 Soluções dos exercícios . 
Séries de Taylor ........ . 
1.10.l Desenvolvimento em série de Taylor 
1.10.2 Teorema de unicidade ....... . 
1.10.3 Séries de Maclaurin das funções elementares . 
1.10.4 Exercícios resolvidos .. 
1.10.5 Exercícios ....... . 
1.10. 6 Soluções dos exercícios . 
9 
89 
90 
90 
91 
91 
93 
94 
95 
95 
95 
96 
97 
98 
1.11 Séries de Laurent . . . . . . 
1.11.1 Teorema de Laurent 
1.11.2 Exercícios resolvidos 
1.11.3 Exercícios . . . . . . 
102 
103 
104 
104 
107 
109 
1.11.4 Soluções dos exercícios . 110 
1.12 Singularidades . . . . . . . . . 111 
1.12.1 Classificação de singularidades 111 
1.12.2 Singularidades e séries de Laurent 111 
1.12.3 Representação de uma função racional como soma de 
um polinómio e fracções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . 113 
1.12.4 Função analítica numa vizinhança de um ponto singular essencial 114 
1.12.5 Exercícios resolvidos . . 115 
1.12.6 Exercícios . . . . . . . . 116 
1.12.7 Soluções dos exercícios . 117 
1.13 Resíduos. Integrais . . . . . 117 
1.13.1 Resíduos. . . . . . . 117 
1.13.2 Cálculo dos resíduos 
1.13.3 Resíduo no infinito . 
1.13.4 Lema de Jordan .. 
1.13.5 Integrais de funções reais 
1.13.6 Exercícios resolvidos .. 
1.13.7 Exercícios ........ . 
1.1.3.8 Soluções dos exercícios .. 
1.14 Resíduo logarítmico. Teorema de Rouché 
1.14.l Resíduo logarítmico 
1.14.2 Princípio de rotação ....... . 
118 
119 
120 
121 
123 
128 
130 
130 
130 
132 
10 ÍNDICE 
1.14.3 Teorema de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 
1.14.4 Teorema da aplicação aberta e Teorema do máximo do módulo 133 
1.14.5 Exercícios resolvidos . . 134 
1.14.6 Exercícios . . . . . . . . 135 
1.14.7 Soluções dos exercícios . 
1.15 Aplicações conformes .... 
1.15.l Aplicação conforme 
1.15.2 Teoremas principais 
1.15.3 Aplicações conformes pelas funções elementares 
1.15.4 Biângulos ..... . 
1.15.5 Exercícios resolvidos .. 
1.15.6 Exercícios ....... . 
1.15.7 Soluções dos exercícios . 
135 
135 
136 
136 
137 
141 
142 
143 
145 
2 Aplicações 147 
147 
147 
149 
149 
151 
153 
154 
155 
155 
155 
156 
157 
158 
159 
165 
174 
2.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . 
2.1.1 Existência da transformada de Laplace .. 
2.1.2 Propriedades da transformada de Laplace 
2.1.3 Inversão da transformada de Laplace . 
2.1.4 Transformada de Stieltjes 
2.1.5 Exercícios resolvidos .. 
2.1.6 Exercícios ........ . 
2.1.7 Soluções dos exercícios .. 
2.2 Equações diferenciais lineares ordinárias 
2.2.1 Problema de Cauchy ...... . 
2.2.2 Unicidade da solução do problema de Cauchy 
2.2.3 Quase-polinómios ......... . 
2.2.4 Solução da equação homogénea .. 
2.2.5 Estrutura da matriz fundamental . 
2.2.6 Forma canónica de Jordan ..... 
2.2. 7 Solução da equação não homogénea 
2.2.8 Equações diferenciais ordinárias lineares de coeficientes 
constantes . . . . . . 
2.2.9 Exercícios resolvidos .. 
2.2.10 Exercícios ....... . 
2.2.11 Soluções dos exercícios . 
2.3 Teoria de estabilidade ..... 
2.3.1 Estabilidade . . . . . . . 
2.3.2 Problema de Routh-Hurwitz 
2.3.3 Teorema de Routh-Hurwitz 
2.3.4 Exercícios resolvidos ..... 
175 
180 
182 
184 
185 
185 
192 
193 
196 
ÍNDICE 
2.3.5 Exercícios . . . . . . . . . . .. 
2.3.6 Soluções dos exercícios ..... 
2.4 Problemas de Dirichlet e de Neumann 
2.4.l Funções harmónicas .. 
2.4.2 Problemas de contorno . . . . . 
2.4.3 Problema de Dirichlet ..... 
11 
199 
200 
200 
200 
203 
203 
2.4.4 Equivalência entre o problema de Dirichlet e o Teorema de Riemann205 
2.4.5 Problema de Dirichlet para o semi-plano superior . 205 
2.4.6 Fórmula de Christoffel-Schwarz 207 
2.4.7 Problema de Neumann. 
2.4.8 Exercícios resolvidos .. 
2.4.9 Exercícios ....... . 
2.4.10 Soluções dos exercícios . 
2.5 Aplicações em Técnica e Ciências da Natureza 
2.5.1 Pequenas oscilações de sistemas mecânicos . 
2.5.2 Estabilização .......... . 
2.5.3 Campos planos . . . . . . . . .. 
2.5.4 Problemas de contorno em física 
2.5.5 Método de aplicações conformes 
2.5.6 Teoria da asa ... 
2.5. 7 Teoria de adsorção . . . 
2.5.8 Exercícios ....... . 
2.5.9 Soluções dos exercícios . 
3 Fundamentos matemáticos 
3.1 Teorema de Jordan ........... . 
3.1.1 Lema de aproximação ..... . 
3.1.2 Intersecções de linhas quebradas 
3.1.3 Divisão do plano por uma curva de Jordan 
3.1.4 Uma curva simples não divide o plano ... 
3.1.5 A curva de Jordan é a fronteira dos domínios 
3.1.6 O fim da demonstração ...... . 
3.2 Teorema de Cauchy ............ . 
3.2.1 Teorema de Cauchy para triângulos 
3.2.2 Teorema de Cauchy para linhas quebradas . 
3.2.3 Teorema de aproximação ..... 
3.2.4 Teorema de Cauchy no caso geral . 
3.3 Teorema de Riemann ..... 
3.3.1 Teorema de Montei .. 
3.3.2 Resultados auxiliares . 
3.3.3 Teorema de Riemann . 
208 
209 
211 
213 
213 
214 
222 
230 
236 
245 
249 
256 
258 
259 
261 
261 
261 
262 
263 
264 
266 
266 
267 
267 
269 
272 
274 
275 
275 
277 
278 
12 
3.3.4 Lema de Schwarz e unicidade . 
3.3.5 Correspondência de fronteiras . 
3.4 Conceito geral de função analítica . 
Índice Alfabético 
ÍNDICE 
280 
281 
283 
286 
Capítulo 1 
Análise complexa elementar 
A base da Análise Complexa foi criada no século XVIII, nos trabalhos de L. Euler que 
introduziu e estudou as funções principais complexas, as condições de diferenciabilidade 
e utilizou os métodos complexos na hidrodinâmica e cartografia. No século XIX a 
Análise Complexa tornou-se uma área importante da Matemática: nos trabalhos de 
A. Cauchy foi construida a teoria de integração complexa, K. Weierstrass desenvolveu 
a teoria das séries de funções complexas, e B. Riemann criou a teoria geométrica das 
funções complexas. 
Neste capítulo apresentam-se os elementos da Análise Complexa: números com-
plexos, funções elementares de uma variável complexa, cálculo diferencial e integral, 
teoria de séries, teoria dos resíduos, aplicações conformes. Embora as definições prin-
cipais conhecidas da Análise Real sejam praticamente as mesmas, o seu conteúdo na 
Análise Complexa altera-se significativamente. Por exemplo, a condição de diferen-
ciabilidade torna-se tão restringível, que a existência de uma só derivada implica a 
existência de todas as derivadas de ordens superiores e a analiticidade da função, isto 
é, a possibilidade de representá-la na forma da sua série de Taylor. Uma outra particu-
laridade da Análise Complexa é que, as funções principais podem ser definidas correc-
tamente no conjunto dos números complexos e os seus valores também são complexos. 
Assim ganham sentido expressões tais como A ou ln( -1), impossíveis na Análise 
Real. Além disso, a compreensão completa de muitas propriedades de funções é im-
possível sem a ajuda da Análise Complexa. Por exemplo, a função f(x) = (1 + x2)-1 
tem todas as derivadas em todos os pontos do eixo real, mas a sua série de Taylor 
1 - x2 + x4 - .. ., converge só no intervalo] - 1, 1[. Explicar este efeito utilizando meios 
da Análise Real é impossível. Entretanto, considerando a mesma função no conjunto 
dos números complexos vemos que o seu valor nos pontos ±i é infinito, e isto explica 
que a série não pode ser convergente fora do disco lxl < 1. Estes são alguns exemplos 
que mostram a importância do ramo da Matemática que iremos estudar. 
------------
14 CAPÍTULO 1. ANÁLISECOMPLEXA ELEMENTAR 
1.1 Números complexos 
Se num corpo numérico uma equação algébrica não tem raízes, é possível construir umoutro corpo numérico, mais largo, onde a equação se torna resolúvel. Por exemplo, a 
equação x2 = 2 não tem raízes no corpo de números racionais. O corpo de números 
reais, construido na Análise Real, contém os números ±J2 que são as raízes desta 
equação. Além disso a introdução dos números reais resolve todos os problemas deste 
tipo: qualquer equação do tipo xn = r, com r racional, tem raízes. Mas é possível re-
solver o problema de construção de um corpo númerico que contém soluções da equação 
x2 = 1 algebricamente. Basta introduzir formalmente as combinações a + bJ2, onde 
J2 é um novo elemento que verifica a condição ( J2) 2 = 2, e trabalhar con estas 
combinações segundo as regras aritméticas existentes no corpo dos números racionais, 
lembrando que o quadrado do "número"J2 é igual a 2. Claro que a forma de escrever 
a + bJ2 não é conecta, visto que J2 não é um número racional. Correctamente a 
construção do corpo tem que ser feita assim. Consideram-se pares (p, q) de números 
racionais p e q, e as operações aritméticas introduzem-se segundo as regras seguintes: 
(pi,q1) + (p2,q2) = (P1 +p2,q1 +q2), 
(pi,q1) · (p2,q2) = (p1P2 +2q1q2,p1q2+q1P2). 
O par (O, O) é o zero neste corpo e o elemento (1, O) é a unidade. O elemento inverso 
do par (p, q) no sentido de adição é (-p, -q), e no sentido de multiplicação é 
( 
p -q ) 
2 2' 2 2 , (p,q) # (0,0). 
p-2q p-2q 
É fácil verificar que o conjunto dos pares com as operações aritméticas introduzidas 
é um corpo. Esta construção algébrica não é necessária quando se fala da equação 
x2 = 2: a Análise Real resolve completamente todos os problema deste tipo. Mas a 
situação é diferente quando se considera a equação x2 = -1. Aqui a Análise Real não 
pode ajudar e as ideias algébricas tornam-se muito úteis e levam à construção de um 
novo corpo numérico, o corpo dos números complexos. 
1.1.1 Corpo dos números complexos 
Consideremos o conjunto C dos pares ordenados (x, y) de números reais x, y E R.: 
C = {z = (x,y) 1 x,y E R.}. 
Neste conjunto definimos as operações de adição e multiplicação: 
z1 + z2 = (x1, yi) + (x2, Y2) = (x1 + x2, Y1 + Y2), 
z1z2 = (x1, Y1)(x2, Y2) = (x1x2 - Y1Y2, Y1X2 + XJY2). 
1.1. NÚMEROS COMPLEXOS 15 
É fácil verificar as propriedades seguintes. 
1. z+w=w+z, Vz,wEC. 
2. (z+w)+Ç=z+(w+Ç), Vz,w,ÇEC. 
3. zw = wz, Vz,w E C. 
4. (zw)Ç = z(wÇ), Vz,w,Ç E C. 
5. (z + w)Ç = zÇ + wÇ, Vz,w,Ç E C. 
6. Seja e= (!,O). Então ez = z, Vz E C. 
7. Designamos por O o par (O, O). Então O+ z = z e Oz =O, Vz E C. 
8. Seja z E C. Designemos por -z o par (-x, -y). Então z + (-z) = (0,0) =O. 
9. Seja z E C, z #O. Consideremos o par 
(u,v)=(2x 2' 2y 2)· 
X +y X +y 
Então 
(
x2 y2 xy xy) 
(x,y)(u,v)= 2 2+ 2 2' 2 2- 2 2 =(l,O)=e. 
X +y X +y X +y X +y 
Portanto o conjunto C com as operações aritméticas introduzidas verifica todos os 
axiomas de corpo numérico. A este corpo dá-se o nome de corpo dos números complexos. 
Entre os números reais X E R e os números complexos do tipo (x, O) E e existe uma 
correspondência biunívoca: 
x +-t (x,0). 
que preserva as operações aritméticas: 
(x,O) + (y,O) = (x+y,0), (x,O)(y,0) = (xy,O). 
Assim vamos identificar os números complexos da forma (x, O) com os números reais e 
escrevemos (x, O) = x. 
Designemos o número complexo (O, 1) por i. Obviamente 
i 2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1. 
Seja z = (x, y) E C. Então temos 
(x, y) = (1, O)(x, O) + (O, l)(y, O) = (x, O)+ i(y, O) = x + iy, 
16 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
isto é, cada número complexo z = (x, y) E C se pode escrever na forma 
Z =X +iy. 
No corpo dos números complexos é resolúvel a equação z2 = -1. Com efeito, a 
equação é equivalente a (z + i)(z - i) =O. Logo, tem duas raízes: z = ±i. 
Aos números da forma iy, y E R, dá-se o nome de números imaginários. Seja 
z = x + iy E C. Ao número x dá-se o nome parte real de z e escreve-se x =Rez. Ao 
número y dá-se o nome parte imaginária de z e escreve-se y =Imz. O numero x - iy 
chama-se o conjugado de z e designa-se por z = x - iy. A igualdade z = z implica 
z E R. É fácil verificar que z = z, z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2, Rez = (z + z)/2 e 
Imz = (z - z)/(2i). 
1.1.2 Módulo 
Definimos o módulo de z = X + ty E e por 
lzl = Jx2 + y2 =./ti. 
Utilizando a.5 notações do módulo e do conjugado é fácil calcular o quociente de números 
complexos. De facto, sejam z1 = X1 + iy1 e z2 = X2 + iy2 f O. Logo tem-se 
z1 z1z2 z1z2 (x1 + iy1)(x2 - iy2) 
z2 = z2z2 = iz212 = x~ + y~ 
Proposição 1.1.1 Sejam z1, z2 E C. Então tem-se 
1. lz1z2I = lzrllz2I, 
2. lz1 + z2I $ lz1I + lz2I, (desigualdade triangular}, 
3. llz1l - lz2ll $ lzr - z2I· 
Demonstração. 1. É fácil ver que 
2. Utilizando a primeira parte da proposição temos 
1.1. NÚMEROS COMPLEXOS 
= lz112 + lz212 + z2z1 + z1z2 = lz112 + lz212 + 2Re(z2zi):;::; lz112 + lz212 + 2lz2.Z1I = 
lzil2 + lz212 + 2lz2llzil = lzil2 + lz212 + 2lz2llzil = (lz1I + lz21)2. 
3. Pela desigualdade triangular temos 
17 
Logo lzil - lz2 I :;::; lz1 - z:i I. Analogamente demonstra-se a desigualdade lz2I - lz11 :;::; 
lz1 - z2I· O 
A cada número complexo x + iy corresponde um e só um ponto com coordenadas 
(x, y) do plano coordenado. Ao eixo das abcissas dá-se o nome de eixo real (os pontos 
deste eixo correspondem aos números reais) e ao eixo das ordenadas dá-se o nome de eixo 
imaginário (os pontos deste eixo correspondem aos números imaginários). É cómodo 
interpretar o número complexo x + iy como um vector ou um ponto com as coordenadas 
(x, y). O plano coordenado cujos pontos estão identificados com os números complexos 
chama-se plano complexo (Fig. 1.1). 
(«,'f)"'':J=X<i'J 
-1!------,,.f-
Figura 1.1: Representação geométrica dos números complexos 
O argumento de um número complexo z # O é o ângulo entre o raio real positivo 
{z E C 1 z E n, z >O}, e o vector z. Este ângulo considera-se positivo se se mede no 
sentido directo e negativo se se mede no sentido retrógrado. O argumento do número 
18 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
zero não está definido. Notemos que o argumento não está definido de modo único. Com 
efeito, se <pé um argumento dez, então o número cp+2n:k, onde k = ±1, ±2, .. ., também 
é um argumento de z. Vamos designar por Argz o conjunto de todos os argumentos de 
z. Entre os valores de Argz existe um que pertence ao intervalo] - n:, n:]. Este valor 
chama-se o valor principal do argumento e designa-se por argz. 
1.1.3 Forma trigonométrica de números complexos 
Seja z = x+iy of O. Designamos por r o módulo dez e escolhemos um <p EArgz .. Então 
x = rcoscp, y = r sen cp 
e tem-se 
z = r(coscp + i sen cp). 
Esta representação do número complexo z chama-se a forma trigonométrica. É fácil 
ver que tg (argz) = y/x, sempre que x of O. Logo 
arg z = arctg y/x, x >O, 
arg z = n: + arctg y/x, x < O, y;:: O 
arg z = -n: + arctg y/x, x <O, y <O. 
Consideremos dois números z1 = x1 + iy1 = ri ( cos <p1 + i sen <p1) e z2 = x2 + iy2 = 
r2(coscp2 + i sen <p2). A soma (Fig. 1.2) destes números é 
= (r1 cos 'Pl + r2 cos <p2) + i{r1 sen <p1 + r2 sen cp2). 
Multiplicando estes números obtemos 
z1z2 = ri r2( ( cos <p1 cos <p2 - sen <p1sen <p2) + i(sen <p1 cos <p2 + sen <p2 cos <p1)) = 
= rir2(cos(<p1 + <p2) + i sen (cp1 + <p2)). 
Desta fórmula vemos que o módulo do produto é o produto dos módulos e o argumento 
do produto é a soma dos argumentos (Fig. 1.3). 
Como 
1 coscp-isencp . . = . . = cos <p - i sen cp, 
coscp + i sen <p (coscp + i sen cp)(cos <p - isen cp) 
obtemos 
z1 ri cos <p1 + i sen <p1 ri . . 
- = ---, . = -(cos <p1 + i sen <p1)(cos <p2 - i sen <p2) 
z2 r2 cos <p2 + i sen <p2 r2 · · 
1.1. NÚMEROS COMPLEXOS 
o 
Figura 1.2: Soma de números complexos 
=ri ((cos<p1 cos<p2 + sen <p1sen <p2) + i (sen 'P1 cos<p2 - cos<p1sen <p2)) 
r2 
= ri ((cos(<p1 - <p2) + i sen ('P1 - <p2)). 
r2 
19 
Portanto o módulo do quociente é o quociente dos módulos e o argumento do. quociente 
é a diferença dos argumentos. . . 
Por indução obtemos a fórmula de Moivre: 
1.1.4 Exercícios resolvidos 
Exercício 1.1.1 Encontrea soma, a diferença, o produto e o quociente dos números 
complexos z1 = -1+6i e z2 = 2 + 5i. 
Resol~ção. 
.z1 + z2 = ( -1 + 6i) + (2 + 52) ~ 1 + 11 i. 
Z1 - Z2 = ( -1 + 6i) - (2 + 5i) = -3 + i. 
z1z2 = (-1+6i)(2 + 5i) = -2 + 12i - 5i - 30 = -32 + 7i. 
Z1 -1 + 6i ( -1 + 6i)(2 - 5i) 28 17 . O 
z2 = 2 + 5i = 22 + 52 = 29 + 29 i. 
20 CAPÍTULO 1. ANÁLJSE COMPLEXA ELEMENTAR 
o 
Figura 1.3: Produto de números complexos 
Exercício 1.1.2 Escreva na forma a+ ib o número complexo 
3+i 
(1 + i)(l - 2i). 
Resolução. 
3+i 3+i 3+i 
(1 + i)(l - 2i) = 1-2i+i+2 = 3-i 
(3 + i)(3 + i) 9 + 6i-1 4 3. o = (3- i)(3 + i) = = 5+5i. 9+1 
Exercício 1.1 .• 3 Encontre o módulo e os argumentos do número complexo z = -1 -
v'ãi. 
Resolução. Pela definição de módulo temos. lzl = J12 + (\1'3)2 = 2. Portanto z = 
2(cos cp+isen cp). Logo coscp = -1/2 e sen cp = -\1'3/2. Destas igualdades encontramos 
47r 
Arg z = 'Pk = ""3 + 21rk, k = O, ±1, ±2,... . o 
1.1. NÚMEROS COMPLEXOS 21 
Exercício 1.1.4 Escreva na forma trigonométrica o número complexo z = -1- i. 
Resolução. Como \z\ = ,,/2 e argz = -37r/4 tem-se 
z = V'i(cos(-37r/4) + i sen (-37r/4)). O 
Exercício 1.1.5 Escreva na forma trigonométrica o número complexo 
(cos(7r/3) - i sen (7r/3))(v'3 + i) 
z= . 
i-1 
Resolução. Como z = z1z2/za, onde z1 = cos(7r/3) - i sen (7r/3), z2 = v'3 + i e 
za=i-ltemos 
e 
7r 7r 37r l l7r 
argz = argz1 +argz2-argz3 = --+- - - = --. 
3 6 4 12 
Logo 
z = VZ(cos(-117r/12) + i sen (-ll7r/12)). O 
Exercício 1.1.6 Seja z = v'3 - i. Calcule z9 • 
Resolução. É fácil ver que \z\ = 2 e arg z = -7r/6. Portanto 
z9 = 29 (cos(-37r/2) +i sen (-37r/2)) = 512i. O 
Exercício 1.1. 7 Encontre as somas 
1. senx+sen2x+ ... +sennx, 
2. cosx+cos2x+ ... +cosnx. 
Resolução. Consideremos a soma 
Sn = (cosx + i sen x) + (cos2x + i sen 2x) + ... + (cosnx + i sen nx). 
Pela fórmula de Moivre temos 
Sn = (cosx + i sen x) + (cosx + i sen x)2 + ... + (cosx + i sen x)n. 
22 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
Obviamente Bn é a soma da progressão geométrica q + q2 + ... + qn, onde q = cos x + 
i sen x = eix. Portanto 
S _ (cosx + i sen x) - (cosnx + i sen nx)(cosx + i sen x) 
n- 1-(cosx+isenx) · 
Separando as partes real e imaginária obtemos 
S 
_ sen (nx/2) (n + l)x . sen (nx/2) (n + l)x 
n - sen (x/2) cos 2 + 2 sen (x/2) sen 2 
Logo 
l. 
sen (nx/2) (n + l)x 
sen x + sen 2x + ... + sen nx = ( /
2
) sen , sen x 2 
2. 
sen (nx/2) (n + l)x 
cosx+cos2x+ ... +cosnx= ( /) cos . O 
sen x 2 2 
1.1.5 Exercícios 
l. Mostre que 
(a) z1 + z2 = 21 + 22; 
(b) Z1Z2 = 2122; 
(c) W = ~; 
(d) z1 +z2 = z1 +z2. 
2. Encontre as soluções reais da equação (3x - i)(2 + i) + (x - iy)(l + 2i) = 5 + 6i. 
3 Mostre que VI+X'+ix = i onde x é real. 
· x-iV'l+x2 ' 
4. Encontre o módulo e o argumento dos números complexos 
(a) z = 4 + 3i; 
(b) z = -7-i; 
(c) z=4-3i. 
5. Represente os números complexos na forma trigonométrica 
(a) z = -5; 
(b) z=3i; 
1.1. NÚMEROS COMPLEXOS 
(c) z = -J2 + iv'2. 
6. Calcule 
(a) (3 - 7i) + (-2 +i) + (-1+5i); 
(b) (3 - 7i)(3 + 7i); 
(c) (1 +i)(l +iv'3); 
(d) (i+i)2· 1-i , 
(e) (~+i~)4; 
(f) (~)4º. 1-i ' 
(i)ª (g) 1+l .. 
7. Encontre as somas 
(a) sen x + sen 3x + ... + sen (2n - l)x; 
(b) cos x + cos 3x + ... + cos (2n - l)x; 
8. Esboce o conjunto de pontos do plano complexo determinado por 
(a) {z l lzl ::O: 2}; 
(b) {z 1 l~I :S 2}; 
(c) {z 1O:s;Imz:s;1}; 
(d) {z 1 lz-11 < lz-il}; 
(e) {z l lz+il + lz-11=2}; 
(f) {z 1 lz - (1 + i)I < J2, lz - il > 1}; 
(g) {z 1 z2 + ;;2 = 1}. 
23 
9. Suponha-se que em R.2 está definido um produto que verifica foda.S as pro-
priedades do produto dos números complexos (comutatividade, associatividade, 
distributividade, existência da unidade e do elemento inverso). Mostre que exis-
tem dois vectores linearmente independentes 91 e 92 que verificam as condições 
9? = 91, 9~ = -91, 9192 = 92· 
24 CAPÍTULO 1. ANALISE COMPLEXA ELEMENTAR 
1.1.6 Soluções dos exercícios 
2. X= 20/17, y = -36/17. 
4. (a) r = 5, <p =arctg(3/4), (b) r = 5vÍ2, <p =arctg(l/7) - ir, (c) r = 5, ip = 
-arctg(3/4). 
5. (a) 5(cos ir+ isen ir), (b) 3(cos (ir/2) + isen (ir/2)), (c) 2(cos (3ir/4) + isen (3ir/4)). 
6. (a) -i, (b) 58, (c) 1 - J3 + i(l + J3), (d) -1, (e) -1, (f) -219(1 + iJ3), (g) 1. 
7. (a) sen2nx/senx, (b) sen2nx/(2senx). 
1.2 Funções elementares 
Nesta secção consideram-se as funções elementares conhecidas do curso da Análise 
Real e atribui-se um sentido a estas funções quando o argumento se torna complexo. 
Acontece que as funções elementares podem ser definidas correctamente e naturalmente 
no conjunto dos números complexos. Os seus valores também são números complexos. 
O que possibilita, por exemplo, o trabalho com logaritmos de números reais negativos. 
Algumas das funções tornam-se multívocas, isto é, a um ponto z podem corresponder 
vários valores da função o que na Análise Complexa é natural. 
1.2.1 Funções racionais 
À função P(z) = aozn + a1zn-l + ... + an dá-se o nome de função polinomial. O 
quociente R(z) = P(z)/Q(z) de dois polinómios P(z) e Q(z) chama-se função racional. 
1.2.2 Função \(i 
Um número w E C diz-se raiz de índice n de z E C se wn = z. Por exemplo, os números 
i e -i são raízes quadradas de -1. Seja z = r ( cos <p + i sen ip). Então a equação wn = z 
tem n soluções. De facto, pela fórmula de Moivre 
Logo 
wn = (p(cos8 + i sen O))n = pn(cos n8 + isen n8) = r(cos ip + i sen ip). 
'P 2irk 
p= ytr, 8=-+-, k=0,1, ... ,n-1. 
n n 
1.2.3 Função exponencial 
1.2. FUNÇÔES ELEMENTARES 25 
Substituindo formalmente nesta fórmula um número imaginário iy, separando os termos 
reais e imaginários e utilizando os desenvolvimentos 
oo ( l)n 2n 
cosy= L - y 
n=O (2n)! 
oo (-l)ny2n+I 
e sen y = L (2n + 1)! ' 
n:::::O 
obtemos 
. oo (iy)n oo (-l)ny2n . oo (-lry2n+1 
e'Y - 2:-- - L +i L = cosy+i seny. 
- n=O n! - n=O (2n)! n=O (2n + 1)! 
Desta fórmula, conhecida como fórmula de Euler, vemos que um modo natural de 
definir a função exponencial de um número complexo z = x + iy é o seguinte: 
Cada número complexo, portanto, pode ser escrito na forma exponencial: 
z = r(coscp + isen cp) = rei'P. 
É fácil verificar que assim definida, a função exponencial tem as propriedades 
seguintes. 
Proposição 1.2.1 Verificam-se as igualdades seguintes: 
1. ez+w = ezew, Vz,wEC, 
2. lex+iyl =ex' 
3. ez+21íni = ez , n =O, ±1, ±2, .. ., 
4. e-Z = 1/eZ, Vz E e, 
5. (ezr = enz, Vz E C, n =O, ±1, ±2, .... 
1.2.4 Funções hiperbólicas 
As funções hiperbólicas complexas definem-se como na Análise Real: 
ez - e-z 
shz=---2 , 
th z = sh z 
eh z 
eh z 
e cthz=-h. 
s z 
26 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
1.2.5 Funções trigonométricas 
Da fórmula de Euler temos eiY = cosy + i sen y e e-iy = cosy-i sen y. Logo 
eiY _ e-iy 
cosy = 
2 
e sen y = --
2
,-. -
Vamos utilizar estas fórmulas para definir as funções trigonométricas de argumento 
complexo. Definimos CDS z, sen z, tg z e ctg z, z E e, por 
eiz + e-iz eiz - e-iz sen z 
cos z = 
2 
, sen z = 
2
, , tg z = --
cos z 
e ctgz= --. 
sen z ' CDS Z 
1.2.6 Logaritmo 
Um número complexo w diz-se logaritmo dez E C \{O} se ew = z. Pondo w = u + iv 
temos z = eueiv. Logo eu= JzJ e v =Argz =argz + 27rk, k =O, ±1, ±2, .... Portanto 
w =Ln z =ln Jzl + i Arg z =ln JzJ + i(arg z + 27rk). 
Esta fórmula define um conjunto infinito de números complexos que são logaritmos do 
número z. Ao valor 
lnz = lnJzJ + i arg z 
dá-se o nome de valor principal do logaritmo. Se z é um número real positivo o seu 
argumento é igual a zero e o valor principal do logaritmo coincide com o logaritmo 
usual real: lnz =ln JzJ. 
Estabeleçamos a propriedade principal do logaritmo. Utilizando a regra de multi-
plicação dos números complexos obtemos 
Ln (z1z2) =ln Jz1z2J + i Arg (z1z2) 
=ln Jz11 +ln Jz2J + i(Arg z1 + Arg z2) =Ln z1 +Ln z2 
e analogamente 
ZJ 
Ln - =Ln z1 - Ln z2. 
z2 
Notemos que estas igualdades são igualdades entre dois conjuntos, isto é, a parte es-
querda é composta de todas as somas (diferenças) possíveisdos números dos conjuntos 
Ln z1 e Ln z2. Portanto Ln z - Ln z 1 O mas 
Ln z - Ln z = 2k7ri, k =O, ±1, ±2, ... , 
e analogamente Ln z + Ln z 1 2Ln z mas 
Ln z +Ln z = 2lnz + 2k7ri, k =O, ±1,±2, .... 
1.2. FUNÇÔES ELEMENTARES 27 
1.2.7 Funções trigonométricas inversas 
Às funções inversas das funções trigonométricas dá-se o nome de funções trigonométri-
cas inversas. É possível escrevê-las através do logaritmo. Consideremos, por exemplo, 
a função w =Arccos z. Pela definição temos 
eiw + e-iw 
z = cosw = ----
2 
Logo, vemos que eiw verifica a equação quadrática 
e2iw - 2zeiw + 1 = O. 
Donde encontramos eiw = z + ~ e, portanto, obtemos 
w = Arccos z = -iLn (z+ Jz2 -1). 
Notemos que a igualdade 
z-
~=z+Jz2 -1 
implica que a mudança do sinal em frente da raiz é equivalente à mudança do sinal 
em frente do logaritmo. Como o logaritmo e a raiz são funções multívocas é possível 
apagar o sinal negativo antes do logaritmo: 
w = Arccos z = i Ln (z + Vz2-=-i). 
Analogamente encontramos 
7f 7f r;;--:; 
Arcsen z = 2' - Arccos z = 2' - i Ln (z + v z2 - 1), 
7f 1 i-z 
Arctg z = - -Arcctg z =-:Ln-.-. 
2 2i i + z 
1.2.8 Função zª 
Seja z = ré'P um número complexo. Definamos zª, onde a = a+ i(J por 
No caso de z e a reais esta definição exprime uma propriedade dos logaritmos. Uti-
lizando a definição do logaritmo complexo obtemos 
zª = e(a+ifJ)Lnz = e"lnr-fJ(<p+2k,.-)ei(a(<p+2k,.-)+fJlnr). 
Ao valor 
dá-se o nome de valor principal da função zª. No que se segue vamos utilizar a notação 
zª para designar eª1n z. 
28 CAPÍTULO 1. ANALISE COMPLEXA ELEMENTAR 
1.2.9 Exercícios resolvidos 
Exercício 1.2.1 Seja z = -16. Encontre todos os valores de ffe. 
Resolução. É fácil ver que lzl = 16 e argz ='Ir. Logo 
= 2(cos(7r /4 + 27rk/4} + i sen (7r/4 + 27rk/4}}, k =O, 1, 2,3. o 
Exercício 1.2.2 Escreva na forma exponencial o número z = ,/3/8 - i/8. 
Resolução. É fácil ver que lzl = J3/64 + 1/64 = 1/4 e arg z = arctg (-1/,/3) = 
-7r/6. Logo 
Exercício 1.2.3 Resolva a equação 
sen z = 2. 
Resolução. Pela definição da função senz temos 
eiz _ e-iz 
__ 2_i __ = 2. 
Pondo t = éz, temos a equação 
1 4· t - - = i, 
t 
ou seja, 
t2 - 4it - 1 = o. 
Logo éz = t = (2 ± ,/3)i. Como arg( (2 ± ,/'J)i) = 7r /2, usando a definição da função 
Lnz, obtemos 
iz = ln(2 ± v'3) + i(7r /2 + 27rk}, k =O, ±1,. ... 
Portanto, as raízes da equação são 
Zk = ~ + 27rk - Í Jn(2 ± v'3}, k = 0, ±1,.... 0 
1.2. FUNÇÕES ELEMENTARES 
1.2.10 Exercícios 
1. Demonstre a Proposição 1.2.1. 
2. Represente os números complexos em forma exponencial 
(a) z = -3; 
(b) z = 2i; 
(c) z = -1 + iv'3. 
3. Encontre todos os valores da raiz 
(a) R; 
(b) ?li; 
(c) v~2 --2-v'3-3i. 
4. Encontre todas as soluções da equação z 4 - 4z3 + 6z2 - 4z - 15 = O. 
5. Encontre a parte real e imaginária das funções 
(a) w = z - iz2 ; 
(b) W=i-z3; 
(c) w = z/z. 
6. Esboce a imagem da função 1 / z definida no conjunto A, onde 
(a) A= {zl lzl = 1/2}; 
(b) A= {zl arg z = 3?r/4}. 
7. Encontre a parte real e imaginária das funções 
(a) w = 2z -1; 
(b) 
-2 w = ez; 
( c) w = tg z. 
8. Encontre o módulo e o argumento das funções w = w(z) no ponto z = zo 
(a) w = cosz, z0 = ?r/2 + iln2; 
(b) w = zez, zo = i?r. 
9. Escreva na forma a+ ib os números complexos 
29 
30 CAPÍTULO 1. ANALISE COMPLEXA ELEMENTAR 
{b) eosi1r; 
(e) Aretg (i/3). 
10. Resolva as equações 
(a) e-z + 1 =O; 
(b) sh iz = -i; 
(e) ln(i - z) = 1. 
11. Demonstre as fórmulas seguintes: 
(a) sen (7r/2 ± z) = eosz; 
(b) eos(7r/2 ± z) = :i:sen z; 
(e) sen2 z + eos2 z = l; 
(d) sen (z±w) =senzeosw±eoszsenw; 
(e) eos(z ± w) = eoszeosw 'f sen zsen w; 
( f) sen 2z = 2sen z eos z; 
(g) eos 2z = eos2 z - sen2z; 
(h) sen zsen w = !(eos(z - w) - eos(z + w)); 
(i) coszeosw = !(eos(z - w) + eos(z + w)); 
(j) sen zcosw = !(sen (z - w) + sen (z + w)); 
(k) ch2z - sh2z = l; 
(!) sh (z ± w) = sh zeh w ±eh zsh w; 
(m) eh (z ± w) =eh zeh w ± sh zsh w; 
(n) sh 2z = 2sh zeh z; 
(o) eh 2z = eh2z + sh2z. 
1.2.11 Soluções dos exercícios 
2. (a) 3ei", (b) 2ei"/2 , (e) 2e2i"/3 . 
3. (a) ±(1 ± i)/J2, (b) (±v'3 + i)/2, -i (e) ±(v'3 - i). 
4. -1, 3, 1 ± 2i. 
5. (a) u = x+2xy, v =y2 -x2 -y, (b) u = 3xy2 -x3 , v = l -3x2 y+y3 , 
(e) u = (x2 -y2 )/(x2 + y2), v = -2xv/(x2 + y2 ). 
2 2 2 2 7. (a) u = 2x - 1, v = 2y, (b) u =ex -y eos 2xy, v = -ex -y sen 2xy, 
(e) u = (sen xeosx)/(eh2y-sen2x), v = (sh yeh y)/(eh2y-sen2x). 
8. (a) r = 3/4, <p = -1f/2, (b) r = 1f, <p = -1f/2. 
9. (a) l/J2+i/J2, (b) eh1f, (e) ilnJ2+1fk, k=0,±1, .... 
10. (a) zk = (2k+l)1fi, k =O, ±1, ... , (b) zk = (2k-l/2)1f, k =O, ±1, ... , (e) z = -e+i. 
/.3. SUCESSÕES. LIMITE 31 
1.3 Sucessões. Limite 
Para construir a Análise Complexa é necessário desenvolver a teoria de limites no 
conjunto dos números complexos. Como iremos ver, esta teoria basicamente coincide 
com a teoria dos limites no espaço 1(,2. 
1.3.l Limite de uma sucessão 
Um número complexo a diz-se limite da sucessão {z,,} e C se para cada E > O existe 
um número natural N tal que para cada n :'.". N se verifica a desigualdade 
Ou na forma simbólica: 
a = lim Zn {o} V E > O 3 N : V n :'.". N =} IZn - ai < E. n-->oo 
A sucessão que tem um limite diz-se convergente. 
Um número a não é um limite da sucessão { Zn} se existe E > O tal que para cada 
N natural há um número n :'.". N tal que 
Ou na forma simbólica: 
a fc lim Zn {o} 3 E > O : V N 3 n :'.". N : lzn - ai :'.". E. n-->oo 
Uma sucessão {zn} diz-se divergente se não existe limite da sucessão: 
V a 3 E > O : V N 3 n :'.". N : lzn - ai :'.". E. 
Uma sucessão { Zn} converge para infinito (limn__,00 Zn = oo) se 
V E> O 3 N : V n :'.". N * lznl >E. 
Urna sucessão {zn} diz-se limitada se existe M >O tal que lznl ::;'. M, n = 1,2, .... 
Proposição 1.3.1 Seja Zk = Xk + iyk, k = 1,2, ... , uma sucessão de números com-
plews. Então limk->oo Zk = z = x + iy se e só se limk->oo Xk = x e limk-->oo Yk = y. 
32 CAPÍTULO 1. ANALISE COMPLEXA ELEMENTAR 
Demonstração. Suponhamos que limk->oo Zk = z = x + iy. Então para todo ' > O 
existe K tal que [z - zk[ = ,j(x - xk)2 + (y - Yk)2 < <, sempre que k > K. Como 
lx - Xk[ :::: v(x - Xk) 2 + (y - Yk) 2 e [y - Yki :::: v(x - Xk) 2 + (y - Yk) 2 vemos que 
limk-too Xk = x e limk-too Yk = y. 
Agora suponhamos que limk->oo Xk = x e limk-too Yk = y. Então dado' > O existe K 
tal que a desigualdade k > K implica as desigualdades lx-xkl < </V2 e [y-yk[ < </V2. 
Portanto [z - zk[ = ,j(x - Xk) 2 + (y - Yk)2 < ,j,Z /2 + ,z /2 = <, sempre que k > K. O 
Desta proposição e dos teoremas correspondentes da Análise Real derivamos o re-
sultado seguinte. 
Teorema 1.3.1 O limite de uma sucessão se existe é único. Cada sucessão convergente 
é limitada. 
Sejam lim,._,00 Zn = z e limn-too Wn = w. Então 
1. Existe o limite Iim,._,00 (zn ± wn) = z ± w. 
2. l!Jxisi:e o limite liinn-too(znwn) = zw. 
3. Se w i' O existe o limite Iimn_, 00 (zn/wn) = z/w. 
1.3.2 Esfera de Riemann 
Em alguns etudos pode ser útil interpretar os números complexos não como pontos 
de um plano mas como pontos de uma esfera, esfera de Riemann. Consideremos o 
plano complexo P como um plano no espaço de dimensão três (Fig 1.4). Neste espaço 
as coordenadas de um ponto designam-se por (Ç, ry, (), e as coordenadas de um ponto 
no plano designam-se por (x, y). Suponha-se que os eixos Ç e 'T/ coincidem com os 
eixos x e y, respectivamente. Consideremos a esfera E de raio 1 e centro O. Ao ponto 
N =(O, O, 1) da esfera E dá-se o nome de pólo norte e ao ponto S = (O, O, -1) dá-se o 
nome de pólo sul. Seja z = x + iy um número complexo. A este número corresponde o 
ponto z E P que tem as coordenadas (x,y). A intersecção da esfera E com o segmento 
que liga os pontos N e z contém só um ponto z* = E n [N, z]. Portanto, temos uma 
correspondência biunívoca entre os pontos do plano P e os pontos do conjunto E\ {N}. 
A esta correspondência dá-se o nome de projecção estereográfica. 
Encontremos a relação entre as coordenadas (x, y) do ponto z E P, e as coordenadas 
(Ç,ry,() do ponto z*. Designemos por <po argumento do número z. É fácil ver que 
lzl =tga, e a= (1f/4+1/J/2). Logo 
z = tg a(cos <p + i sen cp). (1.1) 
Como •. 
Ç = cos l/J cos <p, 'T/ = cos ,Psen <p, ( = sen 1f;, 
·1. ;<: 
1 
1 
1 
1 
1 . 
1.3. SUCESSÔES. LIMITE 
e 
obtemos 
-- -/ 1 
/ 
I 
Figura 1.4: Projecção estereográfica 
(
1f ) 2tg a 2lzl 
cos'l/;=sen 2+7/J = l+tg2a = l+lzl2' 
sen'l/;=-cos(~+'l/;) = 1 - tg
2a _ lzl2 - 1 
1 + tg2a - 1 + lzl2' 
2lzl cos <p 2x 
ç = cos 'l/; cos <p = 1 1 12 = 2 2 1' + Z X +y + 
2lzlsen <p 2y 
1/ = cos'l/;sen 'P = 1 1 12 = 2 2 1' + Z X +y + 
x2 + y2 - 1 
(=sen'l/;= 2 2 1' X +y + 
33 
p 
(1.2) 
(1.3) 
(1.4) 
34 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
De (1.1) temos 
(
1f V') . 1 + tg t 
z = tg - + - ( cos <p + i sen <p) = i ( cos <p + i sen <p) 
4 2 1 - tg ; 
cost+sen"Í'. 
= 2 2 (coscp+isencp)= 
cos"Í'.-sen t 
cos.,P . Ç+i'f} 
"'' (coscp + i sen cp) = -1 I'. 1-sen.,, -, 
2 2 
Portanto 
x=-Ç-
1-(' 
'f} 
y=l-( (1.5) 
Utilizando as fórmulas obtidas é fácil mostrar que, a circunferências e rectas no 
plano P correspondem circunferências na esfera E, e vice versa. Com efeito, cada 
circunferência na esfera E é a intersecção de E com um plano 
AÇ + B'f} + CÇ + D = O. 
Das fórmulas (1.2) - (1.4) obtemos que os correspondentes pontos do plano verificam a 
condição 
2Ax+2By+ (C+D)(x2 +y2 ) + (D-C) =O, 
isto é, pertencem a uma circunferência se C + D i O e a uma recta se C + D = O. A 
igualdade C + D '"'O verifica-se se e só se (Ç, 17, ()=(O, O, 1), isto é, se a circunferência 
na esfera >.~ atravoHsa o p6lo nort;e. 
So UHHJ, HllCOHSiio Zki k ::::::: 1, 2, ... , tende para infinito, na esfera de Riemann a 
sucossiío ckm pontos z!;, k = l, 2, ... , tende para o pólo norte N. Portanto é natural 
l'ltV;ül' cotrospowler ao polo norte o símbolo oo. 
l.3.3 Teorema de Bolzano-Weierstrass 
U1na sucessão {1Dk}~1 diz-se subsucessão da sucessão {zn}~=l se para cada k natural 
existe nk natural tal que Wk = Znk, além disso nk, < nk, se e só se k1 < k2. A sucessão 
{wk}ZC=1 designa-se por {zn.}~ 1 . 
Teorema 1.3.2 (Bolzano-Weierstrass) Seja {zn}ii°=I uma sucessão limitada. En-
tão existe uma subsucessão {zn.}~ 1 convergente. 
Demonstração. Como a sucessão Zn = Xn + iyn é limitada existe r > O tal que 
lznl :-:; r, n = 1, 2,.... Portanto lxnl :-:; 2r e IYnl :-:; 2r, n = 1, 2,.... Pelo Teo-
rema de Bolzano-Weierstrass da Análise Real a sucessão Xn contém uma subsucessão 
convergente {xn.}· A sucessão {yn.}~1 é limitada e portanto também contém uma 
subsucessão convergente {Ynkm }. Pela Proposição 1.3.1 a subsucessão {zn•m} converge. 
D 
1.3. SUCESSÕES. LIMITE 
1.3.4 Critério de Cauchy 
Uma sucessão {zn} diz-se sucessão de Cauchy se 
V e> O 3 N : V n ::0: N, V m ::0: N =? lzn - zml <e. 
Ou, duma forma equivaleute, 
V e> O 3 N : V n ::0: N V p =? lzn+p - znl <e. 
Teorema 1.3.3 (Critério de Cauchy) As condições seguintes são equivalentes: 
1. a sucessão { Zn} converge, 
2. a sucessão { zn} é uma sucessão de Cauchy. 
35 
Demonstração. Se existe o limite limn_,00 Zn = a, então para cada e > O existe um 
número natural N tal que lzn - ai < c/2 sempre que n ::O: N. Portanto, se n ::O: N e pé 
nm número natural, usando a desigualdade triangular temos 
€ € 
lzn+p - Znl = lzn+p - a+ a - Znl :'::: lzn+p - ai+ la - Znl < 2 + 2 = €. 
Agora vamos mostrar que cada sucessão de Cauchy converge. Seja {zn};;"=1 uma 
sucessão de Cauchy. Mostremos que a sucessão é limitada. Pomos e = 1. Existe um 
número natural N1 tal que para cada p natural tem-se lzN1+p - ZN1 1 < 1. Portanto 
Vemos que a sucessão é limitada. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass existe uma 
subsucessão {znk}~ 1 convergente. 
Seja limk->oo Zn, = zo. Mostremos que limn_,00 Zn = zo. Dado e > O. Pela definição 
de limite existe um número natural K tal que para cada k ::O: K natural tem-se 
€ 
lzn, - zol < 2· 
Como a sucessão verifica a condição de Cauchy, existe um número natural N1 tal que 
para cada n ::O: N1 em ::O: N1 tem-se 
€ 
lzn-Zml < 2· 
Ponhamos N = max{N1, NK} e escolhemos nk ::O: N. Então para cada n ::O: N temos 
€ € 
lzn - zol = lzn - Zn, + Zn, - zol :'::: lzn - Zn,I + lzn, - zol < 2 + 2 =e. 
Logo limn_,00 Zn = zo. O 
36 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
1.3.5 Exercícios resolvidos 
Exercício 1.3.1 Encontre o limite da sucessão 
Zn = (i + ~)n 
Resolução. Encontremos o módulo e o argumento do termo Zn. Temos 
n ( 2 2) n/2 ( 2 2 2) n/2 
lznl = 1 ( 1 + ~) 1 = ( 1 + ;) + ~2 = 1 + : +X ; Y , 
'Pn = arg Zn = n arg (1 + .:_) = n arctg y/n/ . 
n 1 +x n 
Obviamente lznl -t é e 'Pn -t y. Pela Proposição 1.3.1 
lim Zn = lim lznl COS'f'n + i lim lznlsen 'Pn = ex(cosy + i sen y) = ez. O 
n--too n--too n-too 
1.3.6 Exercícios 
1. Demonstre o Teorema 1.3.1. 
2. Encontre os limites das sucessões 
(a) Zn = i" /n; 
(b) Zn = (n + 2i)/(3n + 7i); 
(e) z _ sh in n--n· 
1.3. 7 Soluções dos exercícios 
2. (a) O, (b) 1/3, (c) O. 
1.4 Funções complexas 
Os conceitos de limite e de continuidade na teoria de funções complexas são essencial-
mente iguais aos respectivos conceitos da Análise Real em R.2 . Um resultado novo e 
importante que vamos conhecer nesta secção é o Teorema de Jordan. Este teorema 
diz que uma curva contínua e fechada sem auto-intersecções, divide o plano em dois 
domínios diferentes, sendo a fronteira comum deles. Este resultado parece óbvio, mas 
na realidade é um dos resultados mais finos da topologia do plano e a sua demonstração 
não é trivial e será feita no terceiro capítulo. O Teorema de Jordan cria uma base rig-
orosa para os conceitos geométricos intuitivamente claros, tais como interior de uma 
curva fechada, a orientação de uma curva, etc. Numa forma implícita este resultado 
utiliza-se praticamente em todo o curso. 
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS 37 
1.4.1 Curvas 
Vamos dizer que no intervalo [ti, t2], ti < t2, está definida a função complexa de 
argumento real se a todo o ponto t do intervalo corresponde um número complexo 
z(t) = x(t) + iy(t). 
Seja to E [t1, t2]. Um número a E C diz-se o limite da função f(t) no ponto to (ou 
quando t --+ to) se para cada E > O existe 15 > O tal que para cada t, que verifica a 
condição O < lt - tol < 15, t E [t1, t2], tem-se l/(t) - ai < E. Na forma simbólica a 
definição pode escrever-se: 
lim f(t) =a {o} V<> O 315 >O : V t, O< lt - tol < 15, t E [t1, t2] =} lf(t) - ai < <. 
t->to 
Raciocinando como na demonstração da Proposição 1.3.1 é fácil ver que a igualdade 
lim f(t) = lim(x(t) +iy(t)) =a= a.+i(J 
t-+to t-tto 
verifica-se se e só se 
lim x(t) =a. e lim y(t) = (3. 
t-+to t-+to 
Dizemos que a função f : [ti, t2] --+ C é contínua no ponto t0 E [t1, t 2] se limt->to f(t) 
= f(to). A função f(t) diz-se contínua se é contínua em todos os pontos do intervalo. 
Se existe o limite 
z(t) = lim z(t + r) - z(t)' 
r-+O r 
a função f : [t1, t2] --+ C diz-se diferenciável no ponto t E [ti, t2], e ao limite z(t) dá-se 
o nome de derivada da função f no ponto t. A derivada z(t) tambem é uma função 
complexa de argumento real. 
Chama-se curva à imagem de uma função f : [t1, t 2] --+ C. A curva diz-se contínua 
se a função f é contínua. Vamos considerar só curvas contínuas. A curva diz-se reg-
ular se a função f é continuamente diferenciável e regular por partes se a função f é 
continuamente diferenciável por partes. A linha quebrada de vértices Zk, k = O, n, 
'Y = {(1- (t-k))zk + (t- k)Zk+i I t E [k,k+ 1], k = O,n-1}, 
que liga os pontos zo e Zn, é um exemplo de curva regular por partes. 
Seja 'Y = {z = f(t) 1 t E [t1, t2]} uma curva. Por 'Y- designa-se a mesma curva mas 
percorrida no sentido contrário: 'Y- = {z =!(ti+ t2 -t) 1 t E [t1,t2]}. 
A curva 'Y = {z = f(t) 1 t E [t1, t2]} diz-se fechada se /(t1) = /(t2). Um ponto da 
curva 'Y diz-se múltiplo se existem t', t" E [t1, t2] diferentes e tais que f(t') = f(t"). Um 
ponto que não é múltiplo chama-se simples. Chama-se curva de .Jordan a toda a curva 
fechada cujos pontos, à excepção do ponto f(ti) = f(tz), são simples (Fig. 1.5). 
38 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR(a) 
Figura 1.5: Curvas: (a) regular, (b) regular por partes, (c) fechada, (d) de orientação 
directa e inversa, (e) não de Jordan, (f) linha quebrada 
1.4.2 Conjuntos planos 
Ao conjunto D(zo, r) = {z E C l lz - zol < r} dá-se o nome de disco de centro zo e raio 
r. Chama-se vizinhança de um ponto z0 a todo o conjunto V e C que contém um disco 
de centro Zo. Chama-se vizinhança furada de um ponto zo a todo o conjunto V e e 
que contém um disco de centro zo sem o ponto zo. Um ponto zo de um conjunto A e C 
diz-se interior se A é uma vizinhança de z0 • Dizemos que A e C é aberto se todos os 
seus pontos são interiores. Por exemplo, o disco D(O, 1) é um conjunto aberto. Dizemos 
que um conjunto A e C é fechado se o seu complementar C \ A é aberto. Chama-se 
fronteira de um conjunto aberto A C C ao conjunto 8A dos pontos z tais que z rfc A 
mas cada vizinhança de z contém pelo menos um ponto de A. Chama-se fecho de um 
conjunto aberto A e C ao conjunto AU8A. Dizemos que um conjunto A e C é limitado 
se existe p >O tal qué A e D(O, p). Um conjunto aberto A diz-se conexo se para cada 
par de pontos a1, a2 E A existe uma linha quebrada 'Y C A que liga os pontos a1 e az. 
Chama-se domínio a todo o conjunto aberto e conexo. 
Aceitemos sem demonstração o teorema seguinte. 
Teorema 1.4.1 (Jordan) Cada curva 'Y de Jordan divide o plano em dois domínios 
diferentes (sendo 'Y a fronteira comum), um dos quais, chamado o interior de "/, é 
limitado, e o outro, chamado o exterior de"/, não é limitado. 
J4. FUNÇÔES COMPLEXAS 39 
Um domínio A diz-se simplesmente conexo se o interior de toda a curva de Jordan 
contida em A também está contido em A. Por exemplo, o disco D(O, 1) é simplesmente 
conexo e o anel { z l 1 < lzl < 2} não é simplesmente conexo. 
Sejam 7 = {z = f(t) 1 t E [ti, t2]}, uma curva de Jordan e zo um ponto no interior 
de 7. Quando o parâmetro t percorre o intervalo [ti, t2], o argumento do número 
complexo f(t) - zo sofre um incremento ±27r; a curva diz-se orientada positivamente 
se o incremento for 27r e com -27r orientada negativamente. 
1.4.3 Funções 
Consideremos um conjunto A e CU { oo }. Dizemos que em A está definida uma função 
de variável complexa w = f (z) se a todo o ponto z E A corresponde um conjunto de 
pontos w E C U { oo}. 
A variável z chama-se variável independente ou o argumento e a w dá-se o nome de 
variável dependente. 
Se a cada z corresponde só um valor w a função diz-se unívoca e se correspondem 
muitos valores, então a função diz-se multívoca. Por exemplo, as funções z2 , z/(z3+z+l) 
e ez são unívocas e as função yÍz e Ln z são multívocas. 
No estudo das funções multívocas é muito importante o conceito de ramo unívoco. 
A uma função unívoca f(z) dá-se o nome de ramo da função multívoca F(z) se, em 
todos os pontos z onde está definida F, se verifica a inclusão f(z) E F(z). 
1.4.4 Limites 
Suponhamos que o domínio da função unívoca f(z) contém o disco D(zo,p), p >O, 
excepto talvez o ponto z0 • 
Primeira definição de limite (definição de Reine): Um número a diz-se o limite 
da função /(z) no ponto zo (ou quando z -+ z0 ) se para cada sucessão {zn}, Zn E 
D(zo,p), Zn fo zo, convergente para zo, a sucessão {f(zn)} converge para a. 
Segunda definição de limite (definição de Cauchy): Um número a E C diz-se o limite 
da função f ( z) no ponto zo (ou quando z -+ zo) se para cada E > O existe o > O tal que 
para cada z E D(zo,p), que verifica a condição O< lz - zol <o, tem-se lf(z) - ai< E. 
Na forma simbólica a definição de Cauchy pode escrever-se: 
limf(z)=a {9 Vc>03ii>0: VzED(zo,p), O<lz-zol<ii=*lf(z)-al<c. 
z--+zo 
Teorema 1.4.2 As definições de Heine e de Cauchy são equivalentes. 
Demonstração. Suponhamos que para cada sucessão {zn}, Zn E D(zo,p), Zn fo zo, 
que converge para z0 , a sucessão {f(zn)} converge para a e vamos mostrar que para 
cada E > O existe o > O tal que, para cada z que verifica a condição O < lz - zol < o, 
tem-se lf(z) - ai <E. 
40 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
Para mostrar isso suponhamos que não se verifica a ultima proposição, isto é, existe 
E > O tal que para cada ó > O existe z que verifica O< lz - zol < ó e IJ(z) - ai :::: '· 
Portanto, para cada n natural existe Zn que verifica O < lzn - zol < l/n e tal que 
lf(zn) - ai :::: €. Vemos que limn->oo Zn = zo, mas f(zn) ft a, quando n -+ oo, o que é 
uma contradição. 
Agora suponhamos que para cada E> O existe /j >O tal que para cada z E D(z0 , p), 
que verifica a condição O < lz - zol < ó, tem-se lf(z) - ai < €. Seja {zn}n=l uma 
sucessão que converge para zo e verifica Zn # z0 . Dado ' > O, existe ó > O tal que 
IJ(z) - ai < ' sempre que O < lz - zol < ó. Como Zn -+ zo quando n -+ oo, existe N 
tal que para cada n :::: N tem-se lzn - zol < ó. Portanto lf(zn) - ai < ' sempre que 
n :::: N. Logo lirnn_,00 f(zn) =a. D 
Para cada z E C o disco D(z, E), E> O, chama-se E-vizinhança do ponto z e designa-se 
por V(z, E). Definimos também E-vizinhança, E >O, do símbolo oo: 
V(oo, E)= {z E Cllzl > €}. 
Na esfera de Riemann à E-vizinhança do infinito corresponde um disco centrado no pólo 
norte. Utilizando a notação de vizinhança é possivel d;n uma definição de limite que 
inclui também os casos zo = oo e a = oo: 
lim J(z) =a ç; V E> O 3 ó> O V z # zo, z E V(zo, ó) =} f(z) E V(a, E). 
z--tzo 
Da definição de limite de Heine, da Proposição 1.3.1 e do Teorema 1.3.1 obtemos o 
resultado seguinte. 
Teorema 1.4.3 O limite de uma função se existe é único. A igualdade 
limf(z)= _ lim. (u(x,y)+iv(x,y))=a=a+i/3 
z--tzo x+iy--txo+iyo 
verifica-se se e só se 
lim u(x, y) =a e lim v(x, y) = {3. 
(x,y)-t(xo,yo) (x,y)-t(xo,yo) 
Sejam limz-+zo f(z) =a E C e limz-+zo g(z) = b E C. Então 
1. Existe o limite limz-+zoU(z) ±g(z)) = a±b. 
2. Existe o limite limz-+zoU(z)g(z)) = ab. 
3. Se b #O existe o limite lim, .... , 0 (f(z)/g(z)) = a/b. 
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS 41 
Seja zo um número complexo ou símbolo oo. A função f verifica a condição de 
Cauchy quando z ---+ z0 se para cada ' > O existe ó = ó(e) > O tal que para cada par 
z, z' E V(zo, ó), z 1 zo, z' 1 zo, tem-se 
lf(z') - f(z)I < f. 
Teorema 1.4.4 (Critério de Cauchy para funções) Seja z0 um número complexo 
ou símbolo oo. A função f tem um limite finito quando z ---+ zo se e só se esta função 
verifica a condição de Cauchy quando z ---+ zo. 
Demonstração. Seja limz-tzo f(z) = a E C. Portanto, para cada, > O existe ó = 
0(€) >O tal que 
€ 
lf(z) - ai< 2 
sempre que z E V(zo, ó), z 1 zo. Sejam z E V(zo, ó), z 1 zo, e z' E V(zo, ó), z' 1 zo. 
Então temos 
lf(z') - f(z)I = lf(z') - a+ a - f(z)I :S lf(z') - ai+ la - f(z)I < ~ + ~ = '' 
isto é, f verifica a condição de Cauchy quando z ---+ zo. 
Suponhamos agora que a função f verifica a condição de Cauchy quando z ---+ z0 . 
Portanto fé definida numa vizinhança V(z0 ,ó0 ) (excepto, talvez, z = z0 ). Considere-
mos uma sucessão {zn}::"~i tal que 
lim Zn = zo, Zn E V(zo, ôo), Zn f zo, n = 1, 2, ... 
n-too 
Vamos mostrar que a sucessão {f(zn)} converge. Dado€ >O, pela condição de Cauchy 
existe J = 8(€) >O tal que para cada par z, z' E V(zo, ó), z 1 z0 , z' 1 z0 , tem-se 
lf(z') - f(z)I < '· 
Como Zn---+ zo existe N tal que Zn E V(zo,ó) sempre que n :2: N. Portanto para todos 
os números n :2: N e m :2: N tem-se 
Zn E V(zo, J), Zm E V(zo, ó). 
Logo 
lf(zn) - f(zm)I < €, 
isto é, a sucessão {f (zn)} é uma sucessão de Cauchy e pelo Critério de Cauchy para 
sucessões, converge. Designemos o limite por a e mostremos que para cada outra 
sucessão { z~} tal que 
1. 1 lffi Zn = zo, 
n-too 
z~ E V(zo,ôo), z~ 1 zo, n = 1,2, ... , 
42 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
tem-se 
lim f(z~) =a. 
n->oo 
Consideremos a sucessão 
Obviamente 
n = 2k- l, 
n= 2k, 
k = 1,2, ... 
lim z~ = zo, z~ E V(zo, óo), z~ f:. zo, n = 1, 2, ... 
n->oo 
Raciocinando como antes podemos mostrar que existe um limite lirnn_,00 f(z~). Como 
o limite de uma sucessão convergente é igual ao limite de cada sua subsucessão, temos 
lim f(z~) = lim f(zn), lim f(z~) = lim f(z~). 
n-too n-toon-too n-too 
Portanto 
lim f(zn) = lim f(z~). 
n-too n-too 
Pela definição de Reine de limite de função temos 
lim f(z) =a. O 
z-tzo 
1.4.5 Continuidade 
Suponhamos que o domínio da função unívoca f(z) contém o disco D(zo, p), p > O. A 
função f(z) diz-se contínua no ponto zo se 
lim f(z) = f(zo). 
z-tzo 
A função f(z) definida num conjunto aberto A e C diz-se contínua se é contínua em 
todos os pontos de A. A função f ( z) definida num conjunto não necessariamente aberto, 
A e C diz-se contínua, se em todo o ponto z0 E A para cada € > O existe o > O tal 
que f(z) E V(f(z0 ), €),sempre que z E V(z0 , o) n A. Da definição de continuidade e do 
Teorema 1.4.3 temos as seguintes propriedades das funções contínuas. 
Teorema 1.4.5 A função f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) é contínua em zo = 
xo + iyo se e só se as funções u(x, y) e v(x, y) são contínuas em (xo, Yo). Sejam 
f, g: C-) C duas funções contínuas. Então a função composta g(f(z)) é contínua. 
Sejam f(z) e g(z) duas funções contínuas em zo. Então 
1. A função f(z) ± g(z) é contínua em zo. 
2. A função f(z)g(z) é contínua em zo. 
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS 43 
3. Se g(zo) #O a Junção f(z)/g(z) é contínua em zo. 
Deste teorema vemos que a função polinimial P(z) = aozn + a1zn-l + ... + an e 
a função exponencial f (z) = ez são contínuas em todos os pontos do plano complexo. 
A função racional R(z) = P(z)/Q(z), onde P(z) e Q(z) são polinómios, é contínua em 
todos os pontos z que não são raízes da equação Q(z) =O. 
Exactamente como em Análise Real (isto é, utilizando o Teorema de Bolzano-
Weierstrass) demonstram-se as propriedades principais de funções contínuas definidas 
em conjuntos fechados e limitados. 
Teorema 1.4.6 (Weierstrass) Seja A e C um conjunto fechado e limitado e f : A --+ 
R uma função contínua. Então existe M > O tal que l/(z)I :::; M, z E A, e existem 
Zmin E A e Zmax E A tais que f(Zmin) = infzEA f(z) e f(Zmax) = SUPzEA f(z). 
Demonstração. Seja Zk E A, k = 1, 2, .. ., uma sucessão tal que limk->oo J(zk) 
infzEA f(z). Como A é um conjunto limitado e fechado, pelo Teorema de Bolzano-
Weierstrass existe uma subsucessão convergente z1cm. O seu limite Zmin = liIBm-too Zkm, 
pertence a A. Como fé contínua, temos f(Zmin) = liffim-;oo f(zkm)· Portanto f(Zmin) = 
infzEA f(z). Analogamente demonstra-se a existência de Zmax· Obviamente 
IJ(z)I '.Ó max{l/(Zmin)I, lf(zmax)I}, z E A. O 
Teorema 1.4. 7 (Cantor) Sejam A e C um conjunto fechado e limitado e f : A --+ C 
uma Junção contínua. Então f é uniformemente contínua, isto é, para cada E > O 
existe li> O tal que lf(z1) - J(z2)I <E sempre que z1,z2 E A verificam lz1 - z2I <li. 
Demonstração. Suponhamos que f não é uniformemente contínua. Então existe 
E > O tal que para cada m natural podemos encontrar Zm E A e Wm E A tais que 
IZm - wml < 1/m e lf(Zm) - f(wm)I ~E. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass existe 
uma subsucessão { Zm•} convergente. Designemos o limite desta subsucessão por z. Da 
estimativa 
1 
lwmk - zl '.Ó lwmk - Zm.I + lzm• - zl < - + lzmk - zl 
mk 
vemos que a subsucessão Wm• converge para z. Passando ao limite na desigualdade 
obtemos 
O= l/(z) - f(z)I ~ E >O, 
o que é uma contradição. o 
44 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
1.4.6 Exercícios 
1. Utilizando a definição de limite, mostre que limz->3-4i lzl = 5. 
2. Encontre os limites 
(a) 
(b) 
lim . z2±3iz-2. 
z--+-i z+i ' 
1. sen z lffiz--+0 sh iz · 
3. Mostre que as funções Rez, Imz e lzl são contínuas em todo o plano complexo. 
4. Seja P(z) = zn + a1zn-I + ... + an um polinómio. Demonstre que 
(a) Para todo A> O existe R >O tal que IP(z)I ~A, sempre que lzl ~ R. 
(b) Sejam zo um ponto que verifica P(zo) # O e oo > O. Então existe z1, 
lzo - z1I $ oo, tal que IP(z1)I $ IP(zo)I. (Sugestão. Mostre a proposição 
para zo = O e P(O) = O, representando o polinómio na forma P(z) = 
1 + ªn-kzk(l + H(z)) e escolhendo z1 = -oklªn-kl/an-ki onde o E]O, oo[ 
é bastante pequeno. O caso geral pode ser reduzido a este caso particular 
representando o polinómio na forma P(z) = I:%=o ak((z - zo) + z0 )n-k = 
I:%=o bk(z - zo)n-k = boPo(z - zo) e pondo ( = z - zo.) 
(c) Utilizando as últimas duas proposições demonstre o Teorema Fundamental 
da Álgebra, isto é, que existe z tal que P(z) = O. (Sugestão. Mostre que a 
função IP(z)I tem um mínimo global e que este mínimo é zero.) 
1.4. 7 Soluções dos exercícios 
2. (a) i, (b) -i. 
1.5 Funções analíticas 
Embora o estudo de limites e de continuidade de funções complexas seja praticamente 
como no caso de funções de 1?2 em 1?2 , a situação com o cálculo diferencial é com-
pletamente diferente. Como iremos ver agora, a existência de derivada de uma função 
complexa é uma condição muito forte, muito restritiva. Se na Análise Real construir 
uma função não diferenciável em todos os pontos é um problema não trivial, na Análise 
Complexa poucas funções são diferenciáveis, mas estas funções têm propriedades ex-
tremamente boas e podem ser estudadas profundamente. 
1.5. FVNÇÔESANALÍTICAS 45 
1.5.1 Derivada 
Uma função unívoca w = f (z) definida numa vizinhança do ponto zo diz-se diferenciável 
em zo se existe o limite 
f'(zo) = df(zo) = lim /(z) - f(zo). 
dz z--tzo z - zo 
Ao valor f'(z) do limite dá-se o nome de derivada da função f(z) no ponto zo. 
Pondo t:.z = z - zo e t:.f(z) = f(z) - f(zo) podemos escrever a condição de difer-
enciabilidade na forma 
ôf(z) = Dt:.z + E(zo, ôz)t:.z, (1.6) 
onde D = f'(zo) e E(zo, t:.z)---+ O quando t:.z---+ O. Vice versa, se a função verifica (1.6), 
então é diferenciável em zo e a sua derivada neste ponto é igual a D (basta dividir 
(1.6) por t:.z e passar ao limite). Da representação (1.6) também se vê facilmente que 
a diferenciabilidade num ponto implica a continuidade neste ponto. 
Da definição da derivada e das propriedades do limite obtém-se como na Análise 
Real as regras do cálculo diferencial. 
Teorema 1.5.1 Sejam f(z) e g(z) Junções diferenciáveis no ponto zo. Então 
1. (af(zo) + bg(zo))' = af'(zo) + bg'(zo), \fa, b E C, 
2. (f(zo)g(zo))' = f(zo)g'(zo) + f'(zo)g(zo), 
3. (f(zo)/g(zo))' = (g(zo)f'(zo) - f(zo)g'(zo))/(g(zo)) 2 , sempre que g(zo) #-O, 
4. (f(g(zo)))' = J'(g(zo))g'(zo), sempre que f é diferenciável no ponto g(zo), 
5. u-1(wo)) 1 = 1/ f'(zo), onde Wo = f(zo), sempre que f'(zo) #- Ü, f é biunívoca 
numa vizinhança de zo e a função inversa 1-1 é contínua no ponto wo. 
1.5.2 Condições de Cauchy-Riemann 
Recordemos que uma função real u( x, y) de duas variáveis diz-se diferenciável no ponto 
(xo, Yo) se numa vizinhança deste ponto se verifica a representação 
u(x, y) = u(xo, Yo) + A(x - xo) + B(y - Yo) + EJ (x, y)(x - xo) + E2(x, y)(y - Yo), 
onde lim(x,y)-+(xo,yo) Ek(x, y) = O, k = 1, 2. Os coeficientes A e B representam as 
derivadas parciais 
A= 8u(xo, Yo) e b = 8u(xo, Yo). 
8x 8y 
46 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
Teorema 1.5.2 As condições seguintes são equivalentes: 
1. a função f(z) = u(x,y) + iv(x, y) é diferenciável no ponto z = x + iy, 
2. as funções u(x, y) e v(x, y) são diferenciáveis no ponto (x, y) e as derivadas par-
ciais verificam as condições de· Cauchy-Riemann 
âu âv âu âv 
âx ây ' ây = - âx · 
Demonstração. Suponhamos que f é diferenciável em z. Então 
t:..f = J'(z)t:..z + Et:..z, (1.7) 
onde 
t:..z = z1 - z = (x1 - x) + i(y1 -y) = t:..x + it:..y, 
t:..f = f (z1) - f (z) = ( u(xr, YI) - u(x, y)) + i( v(xr, Yr) - v(x, y)) = t:..u + it:..v, 
J'(z) = a+ib, E= q +iE2, 
e lim(L\.x,L\.y)-->(O,O) Ek = O, k = 1, 2. Separando as partes real e imaginária em (1. 7) 
obtemos 
t:..u = at:..x - bt:..y + qt:..x - E2t:..y, 
t:..v = bt:..x + at:..y + E2t:..x - qt:..y. 
Desta representação vemos que as funções u(x, y) e v(x, y) são diferenciáveis no ponto 
(x, y) e as derivadas parciais verificam as igualdades 
âu âu 
âx = a, ây = -b, 
âv _ b 
âx - ' 
âv 
-=a, 
ây 
e, portanto, as condições de Cauchy-Riemann. 
Si,iponhamos agora que as funções u(x, y) e v(x, y) são diferenciáveis no ponto (x, y) 
e as derivadas parciais verificam as condiçõesde Cauchy-Riemann. Então 
onde 
t:..u = at:..x - bt:..y + a 1t:..x + a2t:..y, 
t:..v = bt:..x + at:..y + f31t:..x + f32t:..y, 
a=âu=âv ~=-ªu=âv 
âx ây ' ây âx ' 
e lim(L\.x,L\.y)-->(O,O) °'k = O, lim(L\.x,L\.y)-->(0,0) f3k = O, k = 1, 2. Logo 
1.5. FUNÇÕES ANALÍTICAS 
=(a+ ib)Ãz + ( (a1 + i,81) ~: + (a2 + i/32) ~~) Âz = AÃz + EÂz, 
onde Âz = Âx + iÃy . Como 
1€1 = l(a1 +i,81)~: + (a2 +i,82)~~1 $ la1 +i.B1l l~:1 + la2 +i.Bzl l~~I 
$ la1 + i/311 + la2 + i,821 $ la1I + l.811 + la2I + l.821 
47 
(1.8) 
a função € tende para zero, quando Âz tende para zero. Portanto (1.8) implica que f 
é diferenciável em z e 
1 âu .âv âv .âu âu .âu âv .âv f (z) =A= a+ ib = - + i- = - - i- = - - i- = - + i-. O (1.9) 
âx âx ây ây âx ây ây âx 
Deste teorema vemos que uma função diferenciável no sentido da Análise Complexa 
é também diferenciável no sentido da Análise Real, e além disso a sua matriz de Jacobi 
tem uma estrutura muito especial: verifica as condições de Cauchy-Riemann. Em 
termos da Análise Real a diferenciabilidade complexa pode ser escrita assim 
( ~ ) (x + Âx, y + Ãy) = ( ~ ) (x, y) + ( ~ -! ) ( ~: ) + E(Âx, Ãy), 
onde E(Ãx, 6y)/(l6xl + l6vl)-+ O, quando l6xl + l6yl-+ O. 
A função f(z) diz-se analítica (também holomorfa, regular) num conjunto aberto 
se é diferenciável em cada ponto deste conjunto. A função f(z) diz-se analítica num 
ponto zo se é analítica numa vizinhança de zo. 
No estudo de funções multívocas é muito importante o conceito de ramo analítico. 
A uma função analítica f(z), no domínio fl, dá-se o nome de ramo analítico de uma 
função multívoca F(z) neste domínio, se f(z) E F(z) em todos os pontos de fl. Por 
exemplo, ln lzl + 21fi + iarg z é um ramo analítico da função Ln z no domínio C \ { z 1 
Rez$0, Imz=O}. 
Nota importante: No que se segue vamos considerar só ramos analíticos de funções 
multívocas. 
1.5.3 Exercícios resolvidos 
Exercício 1.5.1 Verifique quais das funções seguintes são diferenciáveis e calcule as 
derivadas quando existem: 
1. f(z) = z; 
48 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
2. f(z) = z, 
3. f(z) = ez, 
4- f(z) =luz= ln lzl + iarg z, z #O. 
Resolução. 1. A função /(z) =zé obviamente diferenciável porque 
z - zo = 1 · (z - zo), 
e logo z' = 1. 
2. A função /(z) = z = x - iy não é diferenciável em todos os pontos porque não 
verifica as condições de Cauchy-Riemann: 
3. A função exponencial 
8u 8v 
- =1 #-1 = -. 
8x 8y 
f(z) = é(cosy+iseny) 
é diferenciável porque as funções u(x, y) =ex cosy e v(x, y) = exsen y são diferenciáveis 
e as derivadas parciais verificam as condições de Cauchy-Riemann: 
8u 8v x 
Bx = By =e cosy, 
8u 8v x 
-=--=-e seny. 
8y 8x 
É fácil ver que ( ez )' = e'. 
4. A função /(z) =luz= ln lzl + iarg z, z #O, é a função inversa da função ew e 
é obviamente contínua. Portanto é diferenciável e pela fórmula de derivação da função 
inversa temos 
1 1 
(lnz) = ( w)' 
e w=lnz 
1 1 
o 
z 
1.5.4 Exercícios 
1. Utilizando as condições de Cauchy-Riemann verifique quais das funções seguintes 
são diferenciáveis pelo menos num ponto 
(a) w = z2 z; 
(b) w = cos3z - i; 
(c) w=zimz; 
(d) w = lzlz; 
(e) Rez + Imz. 
1.6. INTEGRAL 49 
2. Quais das funções do exercício anterior são analíticas pelo menos num ponto? 
3. Mostre que a função f(z) = v1Xi/T verifica as condições de Cauchy-Riemann no 
ponto zero, mas não é diferenciável neste ponto. 
4. Demonstre o Teorema 1.5.1. 
5. Utilizando a definição de derivada mostre que ( zn )' = nzn-I. 
6. Seja J'(z) =O num domínio fl. Mostre que J(z) =(const) em fl. 
7. Seja f : C --+ C uma função analítica tal que se verifica uma das condições 
(a) Ref(z) =(const); 
(b) Imf(z) =(const); 
(c) lf(z)I =(const). 
Demonstre que J(z) =(const). 
8. Mostre que 
(a) (sen z)' = cos z; 
(b) (cosz)' = -sen z. 
1.5.5 Soluções dos exercícios 
1. (a) sim, (b) sim, (c) sim, (d) sim, (e) não. 
2. (a) não, (b) sim, (c) não, (d) não, (e) não. 
1.6 Integral 
Nesta secção recordamos numa forma breve a definição e as propriedades principais 
de integrais curvilíneos, introduzimos o conceito de integral de uma função complexa 
ao longo de uma curva e demonstramos uma versão simples do Teorema de Cauchy, 
resultado principal desta teoria, que diz que o integral de uma função analítica ao 
longo de uma curva fechada é igual a zero. O Teorema de Cauchy na sua forma geral 
demonstra-se no terceiro capítulo. 
1. 6.1 Integrais curvilíneos 
Sejam C = {(a(t),b(t)) E 1?2 1 t E [t0 ,t1]} uma curva regular por partes e (x,y)--+ 
(P(x, y), Q(x, y)) uma função contínua de 1?2 em 1?2 . Recordemos a definição do inte-
gral curvilíneo da função (P, Q) ao longo da curva C: 
{ Pdx + Qdy = {ti (P(a( t), b( t) )a' (t) + Q(a(t), b(t) )b' ( t) )dt. 
Íc fto 
(1.10) 
50 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
O integral (1.10) é o limite das somas integrais 
a= L(P(ak,bk)a1(Tk) + Q(ak,bk)b'(Tk))D.Tk, 
k 
onde to = To < T1 < ... < Tn = ti, é uma partição do intervalo [to, ti], ak = a(Tk), 
bk = b(Tk) e D.Tk = Tk+i - Tk. Pelo Teorema do valor médio 
Seja 
D.ak = ªk+l - ªk = a'(f,k)D.Tk, f,k E [Tk, Tk+i], 
[).bk = bk+l - bk = b' ('Jk)D.Tk, 'Jk E [Tk, Tk+il· 
(J = L(P(ak, bk)D.ak + Q(ak, bk)D.bk)· 
k 
Como a curva C é regular por partes, pelo Teorema de Cantor 
Sk = sup max{la'(f,) - a'(Tk)I, lb'(ry) - b'(Tk)I} < <, 
~E [rk, rk+ i] ,17E [Tk, Tk+d 
(1.11) 
sempre que maxk ITk+i - Tkl é bastante pequeno (sem perda de generalidade os pontos 
de descontinuidade das funções a'(t) e b'(t) estão incluidos na partição). Logo temos 
la - (Jj S: L sup max{IP(a, b), Q(a, b)l}SklTk+i - Tkl < (const)E. 
k (a,b)EC 
Portanto o integral curvilíneo (1.10) é o limite das somas integrais (1.11). 
Significado físico do integral curvilíneo 
Consideremos um campo plano, isto é, uma função A: 7?2 -+ 7?2. A cada par (x,y) E 
7?2 esta função faz corresponder um vector A = (Ax, Ay) E 7?2 . Um dos exemplos 
mais importantes e conhecidos de campo plano é o campo plano de velocidades de um 
líquido. Isto explica o uso da terminologia hidrodinâmica na teoria de campos planos, 
embora tudo o que se considera nesta secção possa ser aplicado a campos planos de 
outra natureza. 
Consideremos os campos planos 
A(x,y) = (Q(x,y),-P(x,y)) e B(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)). 
O produto escalar de dois vectores A= (A1, A2) E 7?2 e E= (B1, B2) E 7?2 designa-se 
por 
Escolhemos o parâmetro t como o comprimento s da curva C. Então o integral 
curvilíneo (1.10) pode ser reescrito na forma 
N =los (A(a(s), b(s)), v(a(s), b(s)))ds, 
j.6. INTEGRAL 51 
onde v(x, y) = (b'(s), -a'(s)) é o vector unitário da normal à curva 'Y no ponto (x, y) = 
(a(s), b(s)) E 'Y e ds é o diferencial de comprimento da curva/· A este integral dá-se 
o nome de fluxo do campo A através da curva/· O integral (1.10) pode ser reescrito 
também assim 
r =los (B(a(.s), b(s)), T(a(s), b(s)))ds, 
onde T(x, y) = (a' (s ), b' (s)) é o vector unitário da tangente à curva 'Y no ponto (x, y) E 'Y· 
Nesta forma, ao integral chama-se circulação do campo B ao longo da curva/· O fluxo 
e a circulação escrevem-se também na forma seguinte 
N = i (A(x, y), v(x, y))ds, 
e 
r = i (A(x,y),T(x,y))ds. 
Sejam 'Y uma curva regular e A(x, y) um campo plano. Umas características impor-
t;antes do campo A são a divergência 
. _ âAx âAy 
d1v A- âx + ây 
e a rotação 
rot A = âAy _ âAx. 
âx ây 
Estas operações diferenciais utilizam-se muito na Teoria de campo, à qual vamos voltar 
no segundo capítulo. 
Propriedades dos integrais curvilíneos 
Demonstremos alguns resultados da teoria dos integrais curvilíneos. 
Teorema 1.6.1 (De divergência) Suponhamos que a curva C é de Jordan e as fun-
ções P(x, y) e Q(x, y) são continuamente diferenciáveis. Então verifica-se a igualdade 
N = l (A(x, y), v(x, y))ds = J fv div A(x, y)dxdy, (1.12) 
onde D é o interior da curva C. 
Demonstração. Suponhamos que a curva C é a fronteira do quadrilátero 
(1.13) 
onde ko,k1,do,d1, são tais que kox +do < k1x + d1 sempre que x E]xo,xt[ (Fig. 
1.6(a)). (O quadrilátero pode ser também um triângulose koxo +do = k1xo + d1 ou 
52 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
Figura 1.6: Esquema de demonstração do Teorema de divergência 
kox1 +do= k1x1 + di.) Consideremos os vectores ei = (1,0) e e2=(O,1). É fácil ver 
que 
e 
J J fJP lx' (1k1x+d1 fJP) -dxdy- - dx D fJy - xo kox+do fJy 
+ ["' P(x, kox + do)(v(x, kox +do), e2)Vl + kÕdx 
lxo 
= fc P(x,y)(v(x,y),e2)ds. (1.14) 
Cada polígono D pode ser representado como uma união de quadriláteros do tipo 
(1.13) (Fig. l.6(b)). Escrevendo a igualdade (1.14) para cada um dos quadriláteros 
e adicionando, obtemos a fórmula (1.14) para o polígono D, porque os integrais ao 
longo dos segmentos que pertencem a quadriláteros diferentes se anulam (os respectivos 
vectores da normal têm sentidos opostos). Analogamente encontramos que 
j JD ~~ dxdy = fc Q(x, y)(1,(x, y), e1)ds, 
1.6. INTEGRAL 53 
para qualquer polígono D. Subtraindo esta igualdade da igualdade (1.14), obtemos 
( 1.12). Qualquer curva regular por partes pode ser aproximada por linhas quebradas 
(Fig. 1.6(c)), e a fórmula (1.12) no caso geral demonstra-se passando ao limite. Esta 
construção considera-se em pormenor na demonstração do Teorema de Cauchy dada 
no terceiro capítulo. O 
A fórmula (1.12) pode ser reescrita também como 
j fv ( ~~ - ~:) dxdy = l (B, T)ds, 
ou seja, 
j l rot Bdxdy = l (B, T)ds. 
Esta última fórmula é conhecida como fórmula de Green. 
Analogamente (com alterações pouco significativas) o Teorema de divergência de-
monstra-se no espaço RP, para qualquer superfície S regular por partes, e a fórmula 
(1.12) toma a forma 
fv div AdV =Is (A, v)dS, 
onde o primeiro integral é de volume e o segundo é de superfície. No caso n = 1 
esta fórmula transforma-se na fórmula de Newton-Leibniz, o Teorema fundamental do 
Cálculo. 
Demonstremos mais um resultado sobre os integrais curvilíneos. 
Teorema 1.6.2 Sejam P(x, y) e Q(x, y) funções continuamente diferenciáveis defini-
das num domínio simplesmente conexo n. As condições seguintes são equivalentes: 
1 BP = l!.9. em ,.., · ây 8x ''• 
2. f
7 
Pdx + Qdy = O para toda a curva 'Y e n fechada, 
3. se a, b E n, então o integral curvilíneo J
7 
Pdx+Qdy não depende da curvar e n 
que liga os pontos a e b. 
Demonstração. Suponhamos que~:=%': em n. Sejam r = {(x,y) = (a(t),/3(t)) 1 
t E [to, t1]} uma curva de Jordan e Do seu interior. Consideremos a função A: n -t 1?2 
definida por 
A(x,y) = (Q(x,y),-P(x,y)). 
Pelo Teorema de divergência 
O = fv ( ~~ - ~:) dxdy = fv div Adxdy = i (A, v)ds, 
54 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
onde v = v(x,y) = ((3'(t), -oi(t)), é o vector da normal à curva 'Y no ponto (x,y) = 
(a(t), (3(t)) E 'Y· O último integral, que representa o fluxo do vector A(x, y) através da 
curva 'Y, é igual a 
1ti (Q/31 + Pa')dt = 1 Pdx + Qdy. to ' 
Se 'Y é uma curva fechada que não é de Jordan, é possível aproximar 'Y por uma sucessão 
''" de linhas quebradas fechadas. Cada linha quebrada fechada ln é uma união finita 
de linhas quebradas de Jordan. Logo o integral ao longo de ln é igual a zero. Passando 
ao limite, obtemos o resultado no caso geral. 
Agora suponhamos que J, Pdx + Qdy = O, para toda a curva 1 e O fechada. Sejam 
11 C 0 e 'Y2 C 0 duas curvas que ligam pontos a, b E 0. Então a curva 'Yl U 12 é 
fechada e 
O = 1 _ Pdx + Qdy = 1 Pdx + Qdy + 1- Pdx + Qdy 
/1 Uf2 ')'1 1'2 
= 1 Pdx + Qdy -1 Pdx + Qdy. 
'Yl /2 
Portanto o integral curvilíneo J, Pdx + Qdy não depende da curva 1 C O que liga os 
pontos a e b. 
Suponhamos que o integral J, Pdx + Qdy não depende da curva 1 e O que liga os 
pontos a e b. Seja (xo, Yo) E O. Consideremos a função F : O -t n definida por 
Í
(x,y) 
F(x, y) = Pdx + Qdy, 
(xo)Yo) 
onde o integral se calcula ao longo de uma curva que liga os pontos (x0 , y0 ) e (x, y). A 
definição da função F não depende da escolha da curva. É fácil ver que 
F(x + h, y) - F(x, y) = .!:_ {x+h P( )d 
h h Íx 8 ' Y s. 
Passando ao limite nesta igualdade obtemos ~1;, = P. Analogamente demonstra-se que 
l!Jf; = Q. Como as funções P e Q são continuamente diferenciáveis, temos 
8P 
8y 
82F 
8y8x 
82F 
8x8y 
8Q 
ax· o 
1.6.2 Integral complexo ao longo de uma curva 
Seja f(t) = <p(t) + i,P(t) uma função definida no intervalo [to, ti]. Suponha-se que as 
funções <p e ,P são integráveis no intervalo [to, ti]. Então diz-se que a função f : [to, t1] -t 
e é integrável e o seu integral define-se por 
1t1 1t1 1t1 f(t)dt = <p(t)dt + i ,P(t)dt. to to to 
).6. INTEGRAL 55 
Seja f (z) uma função complexa definida num domínio n. Consideremos uma curva 
1 = {z = >.(t) 1 t E [to, ti]} e n regular por partes. A função f diz-se integrável ao 
longo da curva 1 se existe o integral 
l
t, 
f (>.(t) )>.' (t)dt. 
to 
Este integral designa-se por i f(z)dz 
e chama-se o integral da função f ao longo da curva 1 · 
Nota importante: No que se segue (excepto a demonstração do Teorema de Jordan 
no terceiro capítulo) vamos considerar só curvas regulares por partes. 
É fácil ver que o integral complexo pode ser escrito como soma de dois integrais 
curvilíneos i f(z)dz = i udx -vdy + i i vdx + udy. (1.15) 
De facto, sejam f = u + iv e À = a+ i(3. Então temos 
1 lti lt' f(z)dz = f(>.(t))>.'(t)dt = (u + iv)(a' + i(31)dt 1 to ~ 
= rti (ua' - vf3')dt + i rti (uf31 + va')dt = r udx - vdy + i r vdx + udy. 
lto Íto J, J, 
Como cada um destes integrais é o limite das somas integrais correspondentes do tipo 
(1.11), o integral complexo é o limite das somas integrais 
L f(zk)(zk+l - Zk), 
k 
onde Zk = >.(rk) e to= ro < T1 < ... < Tn =ti, é uma partição do intervalo [to, ti]. 
Pelo teorema de mudança de variável no integral a definição do integral não depende 
da parametrização da curva 1 · Da definição de integral complexo e das propriedades 
do integral usual obtemos: 
Teorema 1.6.3 Sejam f(z), fi(z) e h(z) funções complexas definidas num domínio 
n e 1, 1i, 12 e n curvas. Suponha-se que f, fi e h são integráveis ao longo das 
curvas 1, 1 1 e 12. Então 
56 CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA ELEMENTAR 
2. J
7
,u72 f(z) = J71 f(z)dz + f72 f(z)dz, 
3. jJ
7 
f(z)dzj ~ supzE7 if(z)I ·(comprimento de 1), 
4. fr f(z)dz = - f
7 
f(z)dz, onde 1- é a curva 1 percorrida no sentido contrário. 
1.6.3 Exemplos 
Consideremos dois simples exemplos. Seja 1 = P.(t) = tz1 + (1 - t)zo 1 t E [O, 1]}. 
Então temos 
e 
i dz = fo 1 >.'(t)dt = fo 1 (z1 - zo)dt = z1 - z0 , 
{ {1 {1 z2 z2 
1
7 
zdz =lo À(t)>.'(t)dt =lo (tz1 + (1 - t)z0 )(z1 - zo)dt = 1 ; 0 . 
1.6.4 Teorema de Cauchy 
O seguinte resultado é o teorema central da teoria de funções analíticas. 
(1.16) 
(1.17) 
Teorema 1.6.4 ·(Cauchy) Seja f(z) = u(x,y) + iv(x,y) uma função analítica num 
domínio simplesmente conexo !1. Então 
i f(z)dz =O 
para toda a curva 1 C !1 fechada. 
Demonstração. Demonstremos o teorema no caso particular, quando as derivadas 
parciais das funções u e v são contínuas. Neste caso a demonstração é elementar. 
Pelo Teorema 1.6.2 e graças às condições de Cauchy-Riemann ~~ = -~, g~ = tx, os 
integrais curvilíneos na parte direita de (1.15) são iguais a zero. D 
1.6.5 Teorema de Cauchy para um sistema de curvas 
Consideremos agora o caso de um domínio !1 não necessariamente simplesmente conexo. 
Teorema 1.6.5 (Teorema de Cauchy para um sistema de curvas) Sejam !1 
um domínio, f uma função analítica em !1, r, li> ... , ln C !1 curvas de Jordan. 
Suponha-se que as curvas li> ... , ln estão no interior da curva r, que cada curva lj 
está no exterior de todas as curvas lk. k # j, e que o domínio D limitado pelas curvas 
r, 11, ... , ln está contido em !1. Então 
{ f(z)dz = { f(z)dz + ... + { f(z)dz, 
Ír 111 J,n 
onde todas as curvas se percorrem no sentido positivo. 
1.6. INTEGRAL 57 
Demonstração. Liguemos a curvar com a curva 11 , a curva 11 com a curva 12 , ... , 
a curva ln-1 com a curva ln por linhas quebradas 81, 82, ... , Ón+l tais que Ój n Ók = 0, 
j 1 k, e Ój e D, j = 1, n + 1, à excepção dos extremos. Os extremos das linhas 
quebradas Ój, j = 1, n + 1, dividem cada uma das curvas r, 11, ... , ln em duas partes