Aula 01 com obs

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Prezado aluno:
Trago as boas-vindas para você que inicia o estudo de Mé-
todos Determinı́sticos e os votos de uma feliz e produtiva cami-
nhada.
Esta disciplina tem a finalidade de colocar a Matemática
como uma ferramenta de apoio ao curso de Administração.
Neste módulo, o foco principal é uma revisão de conteúdos
básicos que fazem parte do currı́culo do Ensino Médio, masque
aqui são introduzidos numa linguagem adequada aos propósitos
da disciplina.
Revelo duas estratégias, entre as principais, que norteiam a
proposta da disciplina: a visualização geométrica e a busca de
motivação em exemplos práticos.
A visualização geométrica é muito importante para a fixação
de conceitos e, além do fato de incorporar a visão intuitiva do
espaço, muito auxilia no aprendizado das técnicas do cálculo
e na resolução de problemas. Por outro lado, a motivaçãoem
exemplos práticos, dentro do universo de interesse do curso de
Administração, também é relevante para a contextualização da
disciplina.
Desejo a você um bom estudo e uma feliz caminhada nesta
disciplina e no curso que se inicia.
Celso Costa
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Métodos Determińısticos I | Conjuntos
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Aula
CONJUNTOS
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Ob j e t i v o s
Ao final desta aula, voĉe deveŕa ser capaz de:
1 entender o conceito de conjunto;
2 realizar operaç̃oes com conjuntos.
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Métodos Determińısticos I | Conjuntos
Definição 1.1
Conjunto é um conceito fundamental que está na base de
construção da Matemática. Como se trata de um conceito
primitivo, conjunto é uma noção que não pode ser definidaa
partir de outros conceitos da Matemática. Conjunto expressa
a idéia intuitiva de reunião de elementos (pessoas, objetos,
números, etc.) que podem ser agrupados por possuı́rem ca-
racterı́sticas comuns. São exemplos de conjuntos: o conjunto
de todas as letras do alfabeto ou o conjunto de todas as mu-
lheres brasileiras.
Para representar conjuntos, usamos as letras maiúsculasA,
B,C, · · · e para representar elementos do conjunto, usamos letras
minúsculasa, b, c, · · · . Existem várias maneiras de representar
um conjunto, sendo a mais usual escrever os elementos um a um,
separados por vı́rgulas, ou representar entre chaves um elemento
genérico do conjunto através de suas propriedades. Veja alguns
exemplos.
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�Exemplo 1.1
O conjuntoA das letras de todas as vogais do alfabeto pode
ser representado como
A= {a,e, i,o,u} ou A= {x | x é vogal do alfabeto português} .
Vamos aproveitar este exemplo para estabelecer a relaçãoen-
tre um elemento e o conjunto que é a relação de pertinência, a
qual é representada pelos sı́mbolos∈ e 6∈. Assim, para represen-
tar queu está no conjuntoA e que um elementod não está no
conjuntoA, escrevemos:
u∈ A “u pertence aA” e d 6∈ A “d não pertence aA” .
No estudo de conjuntos, é imprescindı́vel introduzir o con-
ceito de conjunto vazio. Denomina-se conjunto vazio aquele
que não possui nenhum elemento. Para representá-lo, usamos o
sı́mbolo /0. Assim, por exemplo, se
B= {x | x é um dia da semana cuja primeira letra é f} entãoB= /0.
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SUBCONJUNTOS
Considere dois conjuntosA e B. Se todo elemento do con-
juntoB também for um elemento do conjuntoA, diremos queB
é um subconjunto do conjuntoA. Por outro lado, se existir um
único elemento do conjuntoB que não pertence ao conjuntoA,
entãoB não é subconjunto deA. Veja através de um exemplo.
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�Exemplo 1.2
Sejam os conjuntos,
A = {a,b,c,d,e, f};
B = {a,e};
C = {a,e, i}.
EntãoB é um subconjunto deA, uma vez que todo elemento de
B é também um elemento do conjuntoA. No entanto,C não é
um subconjunto deA, já que o elementoi pertence ao conjunto
C, mas não pertence ao conjuntoA.
Para representar a relação de inclusão entre conjuntos,us-
amos os sı́mbolos⊂ e 6⊂. Em relação ao exemplo anterior, es-
crevemos queB⊂ A “B está contido emA”e C 6⊂ A “C não está
contido emA.”
Exerćıcio 1.1
Dado o conjuntoA = {x,y,z}, associar V (verdadeira) ou F
(falsa) a cada uma das sentenças a seguir:
a) y 6∈ A b) A = {y,z,x} c) {x} ∈ {x,y,z}
d) x∈ A e) {y,x} ⊂ A
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Métodos Determińısticos I | Conjuntos
UNI ÃO , INTERSEÇÃO E PRODUTO CARTE -
SIANO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntosA e B, podemos formar quatro novos
conjuntos:
i) O conjunto união de A e B é o conjunto formado por
todos os elementos deA ou deB. Usamos o sı́mbolo∪
para representar o novo conjunto união e escrevemos
A∪B = {x | x∈ A ou x∈ B} .
Veja, naFigura 1.1, a representação gráfica da união de
dois conjuntos.
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������������A B
Figura 1.1: União de conjuntos.
ii) O conjunto interseç̃ao de A e B é o conjunto formado
por todos os elementos que pertencem a ambos os conjun-
tos A e B. Usamos o sı́mbolo∩ para representar o novo
conjunto interseção e escrevemos
A∩B = {x | x∈ A e x∈ B} .
Veja, naFigura 1.2, a representação gráfica da interseção
de dois conjuntos.
A B
Figura 1.2: Interseção de conjuntos.
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iii) O conjunto produto cartesiano do conjuntoA pelo con-
junto B, o qual é representado porA×B, é o conjunto
A×B = {(x,y) | x∈ A e y∈ B} .
iv) O conjunto diferença entre os conjuntosA e B é for-
mado pelos elementos que pertencem aA e não pertencem
a B. Usamos a notaçãoA−B para o conjunto diferença.
Portanto,
A−B = {x | x∈ A e x 6∈ B}
Veja, naFigura 1.3, a representação gráfica da diferença
A−B, entre os conjuntosA eB.
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�������������A B
Figura 1.3: DiferençaA−B entre conjuntos.
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�Exemplo 1.3
Sejam os conjuntos,
A = {a,b,c,d,e} ,
B = {a,e, i} ;
C = { f ,g} .
Então,
A∪B = {a,b,c,d,e, i} ;
A∩B = {a,e} ;
A−B = {b,c,d} ;
B×C = {(a, f ),(a,g),(e, f ),(e,g),(i, f ),(i,g)} .
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Métodos Determińısticos I | Conjuntos� Quando estamos estudando conjuntos, podemos nos referir
ao conjunto universo representado pela letraU . Numa si-
tuação especificada,U é o conjunto que contém como sub-
conjuntos os conjuntos estudados. Para um certo conjunto
A, escrevemosA⊂U , isto é, o conjuntoA está contido no
conjunto universoU .
Nesta situação, denominamos conjunto complementar do
conjuntoA ao conjunto formado pelos elementos do con-
junto universoU que não pertencem aA. Então, na ver-
dade, este conjunto é representado pela diferençaU −A.
Também é útil a notaçãoAc para representar o conjunto
complementar deA. Assim,
Ac = {x | x∈U e x 6∈ A} .
Veja, naFigura 1.4, a representação deAc.
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A
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Figura 1.4: Conjunto complementar deA.
Exerćıcio 1.2
No diagrama representado naFigura 1.5, assinale, entre as
alternativas a seguir, aquela que representa a parte hachurada.
a) (A∪C)−B b) (B∩C)−A c) (A∩B)−C
d) (A∩C)∪B e) A− (B−C)
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Figura 1.5: Operação entre conjuntos.
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CON -
JUNTO
Um conjunto é ditofinito quando possui um númerofinito n
de elementos. Em caso contrário, o conjunto é chamadoinfinito.
Dados os conjuntos finitosA eB, representamos por
n(A) o número de elementos deA;
n(B) o número de elementos deB;
n(A∪B) o número de elementos da uniãoA∪B;
n(A∩B) o número de elementos da interseçãoA∩B.
Não é difı́cil verificar que a fórmula
n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B) (1.1)
fornece o número de elementos do conjunto união em função
do número de elementos dos conjuntosA e B e do número de
elementos da interseçãoA∩B. Verifique como isto acontece.
Em primeiro lugar, contamos o conjuntoA, obtendon(A),
contamos o conjuntoB, obtendon(B). Agora vai uma pergunta:
em que circunstância é correto escrever:
n(A∪B) = n(A)+n(B)?
A igualdade acima só vale no caso em queA∩B = /0, isto é,
quando a interseção dos conjuntosA e B é o conjunto vazio.
No caso geral, quandoA∩B 6= /0, para encontrar o valorn(A∪
B), devemos retirar da soman(A)+n(B) o valorn(A∩B), para
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Métodos Determińısticos I | Conjuntos
não contar duas vezes a contribuição deA∩B no valorn(A∪
B). Com esta providência, podemos comprovar a validade da
fórmula (1.1).
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�Exemplo 1.4
Considere os conjuntosA = {a,b,c,d,e}, B = {a,e, i}. Va-
mos verificar a validade da fórmula (1.1), para este caso particu-
lar. Acompanhe pelaFigura 1.6. Note quen(A) = 5, n(B) = 3,
n(A∪B)= 6 en(A∩B)= 2. Esses dados levados à fórmula (1.1)
confirmam a igualdade.
A B
a
b
c
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Figura 1.6: Número de elementos do conjunto união.
Mudando levemente de rumo, vamos encontrar agora a fór-
mula que permite calcularn(A×B) que representa o número de
elementos do produto cartesianoA×B. Não é difı́cil provar que
n(A×B) = n(A) ·n(B).
Acompanhe como verificar a validade da fórmula para con-
juntosA e B, respectivamente, com 4 e 5 elementos. Represen-
tando os conjuntos explicitamente, temos que
A = {a1,a2,a3,a4} eB = {b1,b2,b3,b4,b5},
então o conjuntoA×B pode ser lido na tabela que aparece na
Figura 1.7, a seguir, onde na primeira linha aparecem todos os
pares do tipo(a1,b j), j variando de 1 até 5; na segunda linha
aparecem todos os pares do tipo(a2,b j), j variando de 1 até 5
e, assim, sucessivamente, até a última linha. A tabela mostra
todos os pares(ai,b j), os quais representam todos os elementos
deA×B.
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(a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) (a1,b4) (a1,b5)
(a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) (a2,b4) (a2,b5)
(a3,b1) (a3,b2) (a3,b3) (a3,b4) (a4,b5)
(a4,b1) (a4,b2) (a1,b3) (a1,b4) (a1,b5)
Figura 1.7: Representação dos elementos deA×B.
A representação deA×B através de uma matriz retangular
permite o cálculo do número de elementos, simplesmente mul-
tiplicando o número de linhas pelo número de colunas. Vejaque
no caso particular representado naFigura 1.7,
n(A×B) = n(A) ·n(B) = 4×5 = 20
.
De modo geral, como o número de linhas én(A) e o número
de colunas én(B), então vale
n(A×B) = n(A) ·n(B) .� i. o sı́mbolo∈ é usado para relacionar um elemento
e seu conjunto, enquanto o sı́mbolo⊂ é usado para
relacionar dois conjuntos;
ii. o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer con-
junto. Ou seja, /0⊂ A, qualquer que seja o conjunto
A;
iii. todo conjunto é um subconjunto de si próprio. Ou
seja,A⊂ A, qualquer que seja o conjuntoA;
iv. se três conjuntosA, B eC são tais queA⊂ B eB⊂C
entãoA⊂C.
Exerćıcio 1.3
1. Considere os conjuntosA=
{
−1,1, 23, 133
}
eB=
{
0,1, 23,4
}
.
Determine os conjuntosA−B eA× (A−B).
2. Considere os conjuntosA = {1,2,3} e B = {4,5}. Deter-
mine os conjuntosB× (B−A) eA× (A−B).
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Métodos Determińısticos I | Conjuntos
3. Nos exercı́cios seguintes, assinale nos diagramas que apare-
cem naFigura 1.8, os conjuntos indicados:
a) (A∪C)−B
A B
C
Figura 1.8.a.
b) (B∩C)−A
A B
C
Figura 1.8.b.
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