Questão resolvida - Limite com uma raiz cúbica no numerador e raiz quadrada no denominar - cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limite abaixo (Obs: sem usar L'Hospital):
lim
x 64→
- 4
- 8
x
x
 
Resolução:
Subtituindo o limite; = = =lim
x 64→
- 4
- 8
x
x
- 4
- 8
64
64
4 - 4
8 - 8
0
0
 Zero sobre zero não existe, é uma indeterminação, porém, como há raíz cúbica no 
0 
0
numerador e quadrada no numerador, é possível aplicar a diferença de dois cubos e a 
técnica de conjulgado:
 
Diferença de 2 cubos:
 → a – b = a – b ⋅ a + ab + b3 3 ( ) 2 2 - 4 = - 4 ⋅ + ⋅ 4 + 4x
2
( )2 x x
2
x ( )2
O conjugado do termo do denominador, que vamos multiplicas em cima e em baixo para não 
alterar a expressão é → + 8x
 
Reescrevendo o limite com as manipulações citadas, fica:
= ⋅ ⋅lim
x 64→
- 4
- 8
x
x
lim
x 64→
- 4
- 8
x
x
+ ⋅ 4 + 4
+ ⋅ 4 + 4
x
2
x ( )2
x
2
x ( )2
+ 8
+ 8
x
x
 
= ⋅ ⋅lim
x 64→
- 4
- 8
x
x
+ ⋅ 4 + 4
+ ⋅ 4 + 4
x
2
x ( )2
x
2
x ( )2
+ 8
+ 8
x
x
 
= lim
x 64→
- 4 ⋅ + ⋅ 4 + 4 ⋅ + 8
- 8 ⋅ + 8 ⋅ + ⋅ 4 + 16
x x
2
x ( )2 x
x x x
2
x
 
Pela diferença de dois cubos, temos que :
 
 
 
3
3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
3
3 3
3 3
3 3 3
3 3
- 4 ⋅ + ⋅ 4 + 4 = - 4 = x - 64x x
2
x ( )2 x
3
( )3
 
Pelo produto da diferença de dois termos, temos que :
 
- 8 ⋅ + 8 = - 8 = x - 64x x x
2
( )2
 
Voltando para o limite :
 
= =lim
x 64→
x - 64 ⋅ + 8
x - 64 ⋅ + ⋅ 4 + 16
( ) x
( ) x
2
x
lim
x 64→
+ 8
+ ⋅ 4 + 16
x
x
2
x
 
= = = = =
+ 8
+ ⋅ 4 + 16
64
64
2
64
8 + 8
4 + 4 ⋅ 4 + 16( )2
16
16 + 16 + 16
16
48
1
3
 
 
 
 
 
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3