Conceitos Matemáticos: Matrizes e Sistemas Lineares

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· Pergunta 1
0 em 1 pontos
	
	
	
	As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Por exemplo, uma matriz 2x2 pode ter a seguinte formação:
Nessa forma, teremos a seguinte matriz: 
Situação similar podemos pensar para uma matriz 3x3. Assim, assinale a alternativa que apresenta uma matriz 3x3 que obedeça à seguinte lei de formação:
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois você deveria escrever:
Ao olhar os índices de cada elemento, podemos aplicar as condições do problema. Por exemplo, , pois i=j e , já que . Ao fazer a mesma análise para todos os elementos, encontraremos:
 
  
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para calcular determinantes  , apenas multiplicamos, de forma cruzada, os elementos. Para matrizes  , usamos a regra de Sarrus, em que repetimos as duas primeiras colunas e multiplicamos os elementos também de forma cruzada. Para matrizes de ordem maior, usamos o teorema de Laplace. Com base no uso do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor de x não nulo da seguinte equação:
 
 =3
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usou , onde No caso, podemos escolher a linha 1. Assim:
As soluções são  ou 
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que você esteja analisando duas aplicações financeiras. Sua aplicação inicial foi de R$ 20000,00 por um ano em duas aplicações: A e B. A aplicação A rendeu 10% ao ano e a B rendeu 25% ao ano. Sabe-se que o ganho proporcionado pela aplicação B foi superior ao de A em R$ 100,00. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta em R$ a diferença dos valores aplicados em cada investimento.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
8000.
	Resposta Correta:
	 
8000.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois você, primeiramente, deve escrever o sistema linear. Lembre-se de que x seria a aplicação A e B equivale à aplicação y:
 
 
Ao resolver o sistema linear, tem-se:  e 
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Existem várias maneiras de resolver um sistema linear. Por exemplo, podemos usar o método de substituição de variáveis ou colocar os coeficientes das equações em uma forma matricial. Desse modo, considere a seguinte equação linear:
  
 
Esse sistema pode ser escrito na seguinte forma matricial:
 .
 
Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor de z no sistema linear evidenciado.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
-10.
	Resposta Correta:
	 
-10.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, o determinante dos coeficientes deve ter sido igual a -3. Após isso, temos de calcular o seguinte determinante:
 
 
Ao dividir o resultado do determinante apresentado por -3, encontraremos -10.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou substituindo em outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual podemos nos apoiar no conceito de determinante. Por fim, temos o método de escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um sistema de equações lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os elementos pertencentes às linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, assinale a alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada:
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você precisa fazer:
 
Em um primeiro momento, subtraímos os elementos da linha L2 pela metade dos elementos da linha L1. Também subtraímos os elementos da linha L3 pelo sêxtuplo dos elementos da linha L2 (após os cálculos anteriores):
	
	
	
· Pergunta 6
0 em 1 pontos
	
	
	
	Os três axiomas de Eliminação de Gauss são: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Usando o conceito de Eliminação Gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
 
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, temos de deixar a matriz na forma triangular. Para isso, você deve seguir estes passos:
 
 
Em um primeiro momento, substituímos a linha 2 pela linha 2 menos 2 vezes a linha 1. Também pegamos a linha 3 e somamos duas vezes a linha 1. Assim, teremos:
 
Agora, pegamos a linha 3 e somamos com   da linha 1:
 
.
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	A regra de Cramer é um dos métodos para obter soluções de sistemas lineares. A aplicação da regra de Cramer, contudo, poderá ser utilizada apenas para sistemas que apresentam número de equações iguais ao número de incógnitas. Lembre-se de que, nessa regra, usamos o conceito de determinante.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a solução (x,y,z) do seguinte sistema linear:
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
(1, 3, 2).
	Resposta Correta:
	 
(1, 3, 2).
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, identificamos o determinante principal formado por . A partir disso, encontramos que ,  e  Com esses resultados, fazemos as divisões  Encontramos, assim, (1, 3, 2).
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre as duas matrizes, geralmente, não é comutativo,  . A única exceção seria quando  isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à matriz 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte forma:
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas:
O outro sistema que encontramos foi:
Resolvendo esse par de sistemas, temos:
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
 
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deveria utilizar os seguintes passos para resolver o problema:
 
Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1+L2 e -3L1+L2
 
Após isso, na linha 3, faremos:  -2L2+L3
 
Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3:
 
Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu determinante, podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a sua importância no uso de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em matriz   seria a multiplicação pelasdiagonais. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor de  , tal que    .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
-4 e 1.
	Resposta Correta:
	 
-4 e 1.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, colocando os valores de -4 e 1 na matriz, encontraremos: