Oscilador Harmônico Forçado

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
Keith R. Symon 
 
OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO 
OSCILADOR SOB FORÇA EXTERNA DEPENDENTE DO TEMPO 
 
O caso mais importante é o de uma força aplicada que varia senoidalmente 
com o tempo. Se a força aplicada oscilar com a frequência angular 𝜔 e 
amplitude 𝐹0, a equação do movimento será: 
𝑚�̈� + 𝑏�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹0. cos(𝜔𝑡 + 𝜃0) 
𝑚�̈� + 𝑏�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) 
Onde 𝜃0 é uma constante que especifica a fase da força aplicada. Nesta 
equação temos, os termos da Força da segunda Lei de Newton, Força de 
Atrito, Força da Mola e Força Externa. 
Existe muitas soluções para a equação acima, das quais é preciso encontrar 
somente uma. Através de considerações de ordem física, espera-se que 
uma das soluções seja a da coordenada x com a mesma frequência que a 
da força aplicada; 
lembramos que; 
cos(𝜔𝑡 + 𝜃0) = 𝑒
𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
então 
𝑚�̈� + 𝑏�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹0. 𝑒
𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
uma possível solução para esta E.D.O de segunda ordem é resolver pelo 
método de substituição (estamos trabalhando com números imaginários), 
𝑥(𝑡) = 𝐴. 𝑒𝑖𝜔𝑡 �̇�(𝑡) = 𝐴. 𝑖. 𝜔. 𝑒𝑖𝜔𝑡 �̈�(𝑡) = −𝐴. 𝜔2. 𝑒𝑖𝜔𝑡 
substituindo os valores de 𝑥(𝑡) na equação, teremos: 
𝑚. (−𝐴. 𝜔2. 𝑒𝑖𝜔𝑡) + 𝑏. 𝐴. 𝑖. 𝜔. 𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝑘. 𝐴. 𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝐹0. 𝑒
𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
 
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−𝐴. 𝜔2. 𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐴.
𝑏
𝑚
. 𝑖. 𝜔. 𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐴.
𝑘
𝑚
. 𝑒𝑖𝜔𝑡 =
𝐹0
𝑚
. 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
𝐴. 𝑒𝑖𝜔𝑡 (−𝜔2 +
𝑏
𝑚
. 𝑖. 𝜔 +
𝑘
𝑚
) =
𝐹0
𝑚
. 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
sabemos que: 
𝜔0
2 =
𝑘
𝑚
 𝛾 =
𝑏
2𝑚
 2𝛾 =
𝑏
𝑚
 
substituindo, 
𝐴. 𝑒𝑖𝜔𝑡(−𝜔2 + 2. 𝛾. 𝑖. 𝜔 + 𝜔0
2) =
𝐹0
𝑚
. 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
𝐴 =
𝐹0
𝑚
.
𝑒𝑖𝜃0
(−𝜔2 + 2. 𝛾. 𝑖. 𝜔 + 𝜔0
2)
 
multiplicar por: 
[(𝜔0
2 − 𝜔2) − 2. 𝛾. 𝑖. 𝜔]
[(𝜔0
2 − 𝜔2) − 2. 𝛾. 𝑖. 𝜔]
 
então: 
𝐴 =
𝐹0
𝑚
.
𝑒𝑖𝜃0[(𝜔0
2 − 𝜔2) − 2. 𝛾. 𝑖. 𝜔]
[(𝜔0
2 − 𝜔2)2 + 4. 𝛾2. 𝜔2]
 
então a equação da trajetória será: 
𝑥(𝑡) =
𝐹0
𝑚
.
[(𝜔0
2 − 𝜔2) − 2. 𝛾. 𝑖. 𝜔]
[(𝜔0
2 − 𝜔2)2 + 4. 𝛾2. 𝜔2]
𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
nesta equação existe a parte real e parte imaginária, o que nos interessa é 
a parte real, então vamos separar a parte real fazendo algumas aplicações 
algébricas, 
𝑎 + 𝑖. 𝑏 = 𝑟. 𝑒𝑖𝜃 
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑎 = (𝜔0
2 − 𝜔2) 𝑏 = 2. 𝛾. 𝜔 
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑎
𝑏
 
𝑟 = √(𝜔0
2 − 𝜔2)2 + 4𝛾2𝜔2 
Introduzir 𝛽 
 
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𝛽 = 𝑡𝑔−1
𝜔0
2 − 𝜔2
2𝛾𝜔
 
𝜔0 = 𝜔 𝛽 = 0 
𝑠𝑒𝑛𝛽 =
𝜔0
2−𝜔2
√(𝜔0
2−𝜔2)2+4𝛾2𝜔2
 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
2𝛾𝜔
√(𝜔0
2−𝜔2)2+4𝛾2𝜔2
 
Se a equação da trajetória é: 
𝑥(𝑡) =
𝐹0
𝑚
.
[(𝜔0
2 − 𝜔2) − 2. 𝛾. 𝑖. 𝜔]
[(𝜔0
2 − 𝜔2)2 + 4. 𝛾2. 𝜔2]
𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
Então 
𝑥(𝑡) =
𝐹0
𝑚
.
[𝑠𝑒𝑛𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛽]
√(𝜔0
2 − 𝜔2)2 + 4𝛾2𝜔2
𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃0) 
Sabemos que: 
𝑒𝑖𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑖. 𝑠𝑒𝑛𝛽 
−𝑒𝑖𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛽 − 𝑖. 𝑐𝑜𝑠𝛽 parte real 
𝑥(𝑡) =
𝐹0
𝑚
.
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃 + 𝛽)
√(𝜔0
2 − 𝜔2)2 + 4𝛾2𝜔2
 
Temos a equação da trajetória da parte real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espero ter ajudado