Gabatitos detalhado - Unidade V

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Nucleo de Educação a Distância - NEAD 1
GEOMETRIA ANALÍTICA
GABARITO DETALHADO
UNIDADE V - QUÁDRICAS
Alexandre Shuji Suguimoto
Centro Universitário Cesumar
Nucleo de Educação a Distância - NEAD 2
Identifique a quádrica em cada atividade a seguir.
1) Dada a equação
x2
9
+
y2
16
+
z2
25
= 1
obtenha seus traços, isto é, a interseção da superf́ıcies com os planos coordenados xy, xz e
yz.
No plano xy, quando z = 0 temos uma elipse com a seguinte equação
x2
9
+
z2
16
= 1,o mesmo acontece
para os planos xy e yz obtemos as equações
x2
9
+
z2
25
= 1 e
y2
16
+
z2
25
= 1.
Para o plano xy, temos:
Para o plano xz, temos:
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Para o plano yz, temos:
Logo, a quádrica é um elipsoide.
2) Esboce os gráficos das superf́ıcies quádricas das seguintes equações:
a) No plano xy temos uma circunferência de raio 6 com a equação x2 + y2 = 36, para os planos xz
e yz também obtemos uma circunferência de raio 6 com as respectivas equações x2 + z2 = 36 e
y2 + z2 = 36.
Esboçando o gráfico, temos:
Logo, a quádrica é uma esfera.
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b) Para os planos xy, xz e yz temos as respectivas equações
x2
4
+
y2
4
= 1,
x2
4
+
z2
9
= 1 e
y2
4
+
z2
9
= 1.
Note que, a primeira equação é de uma circunferência de raio 2 e as outras duas equações são elipses.
Assim, obtemos o gráfico:
Logo, a quádrica é uma elipsoide.
3) Para cada equação, obtenha os traços nos planos coordenados e esboce o gráfico de sua
superf́ıcie:
a) Para o plano xy, temos a equação
x2
2
+
y2
4
= 1. Assim,
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Para os planos xz e yz temos as equações
x2
2
− z
2
9
= 1 e
y2
4
− z
2
9
= 1 que representam hipérboles:
O gráfico é dado por:
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b) Temos a seguinte equação y2 + z2 = 1 + x2 ⇒ −x2 + y2 + z2 = 1. Para os planos xy e xz temos as
equações −x2 + z2 = 1 e −x2 + z2 = 1 que representam as hipérboles:
No plano yz temos uma circunferência de equação y2 + z2 = 1.
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Assim, obtemos o gráfico:
Temos, que a quádrica tanto no item a) como no item b) é um hiperboloide de uma folha.
4) Considere a equação −x
2
9
− z
2
4
+ y2 = 1, obtenha a interseção nos planos coordenados e
depois sua superf́ıcie.
Nos planos xy e yz temos as equações −x
2
9
+ y2 = 1 e −z
2
4
+ y2 = 1, cujo os gráficos são:
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Para y = k, com |k| > 1 os planos y = k interceptam a superf́ıcie a superf́ıcie segundo uma elipse de
equação:
k2 − 1 = x
2
9
+
z2
4
Então, se k =
√
2 temos uma elipse cuja equação é
x2
9
+
z2
4
= 1. Logo, a superf́ıcie pode ser
representada pelo gráfico:
A quádrica é um hiperboloide de duas folhas.
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5) Construa o gráfico de cada quádrica:
a) Nos planos xy e yz temos respectivamente as equações x2 = 12z e 4y2 = 12z, cujos gráficos são
parábolas com vértice na origem. Em particular para z = 3, temos a seguinte elipse x2 + 4y2 =
12 · 3 ⇒ x
2
36
+
y2
9
= 1. Então, o gráfico é dado por:
Assim, a quádrica é um paraboloide eĺıptico.
b) Nos planos yx e zx temos respectivamente y2 = 18x e z2 = 8x, cujos os gráficos são parábolas com
vértice na origem. Particularmente, no plano x = 2 temos a seguinte elipse:
y2
9
+
z2
4
= 2 · 2 ⇒ y
2
9
+
z2
4
= 4 ⇒ y
2
9 · 4 +
z2
4 · 4 = 1 ⇒
y2
62
+
z2
42
= 1
Assim, a quádrica é um paraboloide eĺıptico.
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6) Dada a equação −x
2
16
+
y2
9
=
z
4
, construa seu gráfico obtendo os traçoos nos planos coor-
denados.
Temos um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z. Nos planos yz e xz temos parábolas cujas
equações são y2 =
9
4
z e x2 = −4z e os gráficos são:
No plano xy temos −x
2
16
+
y2
9
= 0 ⇒ y
2
9
=
x2
16
⇒ y2 = 9x
2
16
, assim temos duas retas y =
3x
4
e y = −3x
4
.
Particularmente, se z = 4 temos uma hipérbole de equação −x
2
16
+
y2
9
= 1.
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Assim, obtemos o gráfico:
Logo, a quádrica é um paraboloide hiperbólico.
7) Represente o gráfico de cada equação:
a) Temos, x2 + y2 = 9z2 ⇒ x
2
32
+
y2
32
= z2. Nos planos xz e yz temos as retas z = ±x
3
e z = ±y
3
.
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Na intersecção do plano z = 1 com a superf́ıcie temos uma circunferência de equação
x2
32
+
y2
32
= 1.
Assim, seu gráfico é representado por:
Temos, que a quádrica é um cone quádrico.
b) Temos −x2 + y
2
25
+
z2
9
= 0 ⇒ y
2
52
+
z2
32
= x2. Nos planos yx e zx temos as retas ±y
5
e x = ±z
3
.
Na intersecção do plano x = 1 com a superf́ıcie temos uma elipse de equação
y2
52
+
z2
32
= 1.
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Assim, o gráfico da quádrica é dado por:
Assim, a quádrica é um cone quádrico.
8) Para cada caso abaixo, obtenha a superf́ıcie ciĺındrica:
a) Note que a equação não possui a variável z, então para qualquer plano z = k temos a parábola
x2 = −14y, cuja a representação no plano xy é dada por:
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Então, a superf́ıcie é um cilindro parabólico.
b) A superf́ıcie ciĺındrica está ao longo do eixo x, no plano zy temos a parábola z2 = 4y. Assim, a
superf́ıcie é um cilindro parabólico.
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c) O gráfico da superf́ıcie está ao longo do eixo z, no plano yx temos a reta y−x = 0 ⇒ y = x. Assim,
temos o gráfico dado por:
d) Como a variável y não aparece na equação a superf́ıcie ciĺındrica está ao longo do eixo y, no plano
zx a equação
z2
9
+
x2
4
= 1 representa uma elipse. Portanto, a superf́ıcie é um cilindro eĺıptico.
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e) A superf́ıcie se encontra ao longo do eixo z, no plano xy temos uma hipérbole de equação x2−4y2 =
16 ⇒ x
2
44
− y
2
22
= 1. Logo, a superf́ıcie é um cilindro hiperbólico.
f) O gráfico da superf́ıcie está ao longo do eixo z, no plano yx temos o cilindro x2 + y2 = 49. Assim,
temos que a superf́ıcie é um cilindro circular.