Questão resolvida - A elipse descrita pela equação x²+3y²=2 tem a mesma excentricidade que a descrita por 3x²+y²=1+2y UFBA_Residuais

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• A elipse descrita pela equação tem a mesma excentricidade que a x² + 3y² = 2
descrita por ?3x² + y² = 1 + 2y
 
Resolução:
 
Vamos encontrar a excentricidade da primeira elipse, a excentricidade e é dada por; e =
c
a
c é a distância focal e a semieixo maior da elpise, há uma relação entre o semieixo maior a o 
semieixo menor b e a distância focal c dada por:
a = b + c2 2 2
Assim, precisamos reduzir a elipse à forma de equação geral:
+ = 1
x
a
2
2
y
b
2
2
Para isso, fazemos; x² + 3y² = 2 x² + 3y² = 2 ÷ 2 + = 1 + = 1→ ( ) →
x²
2
3y²
2
→
x²
2
y²
2
3
+ = 1→
x²
2
2
y²
2
3
2
Com isso, temos que : a = , b =2
2
3
 
Temos, então; = + c 2 = + c c = 2 - c =2
2 2
3
2
2
→
2
3
2
→
2 2
3
→
2 6 - 2
3
c = c = c = c = ⋅ c = c =2
4
3
→
4
3
→
2
3
→
2
3
3
3
→
2 3
3
2
→
2
3
3
Com isso, a excentricidade e é : e = e = ⋅ e =1 1
2
3
3
2
→ 1
2
3
3 1
2
→ 1
2
3
3
2
Agora, vamos encontrar a excentricidade da segunda elipse, primeiro, precisamos reduzir a 
elipse à forma de equação geral:
+ + = 1 equação geral de uma elpise transladada
y - y
a
( 0)
2
2
x - x
b
( 0)
2
2
→
 
 
 com eixo paralelo ao eixo y - a > b
Para isso, fazemos; 3x² + y² = 1 + 2y 3x² + y² - 2y = 1→
 
Devemos usar a técnica de completar quadrados para reduzir o termo: 
y² - 2y = y - 1 - 1( )2
 
A equação da elipse fica: 
3x² + y² - 2y = 1 3x² + y - 1 - 1 = 1 3x² + y - 1 = 1 + 1→ ( )2 → ( )2
3x² + y - 1 = 2 3x² + y - 1 = 2 ÷ 2 + = 1( )2 → ( )2 →
y - 1
2
( )2 3x²
2
+ + = 1 + = 1→
y - 1
2
( )2 x²
2
3
→
y - 1( )2
2
2
x²
2
3
2
Com isso, temos que : a = e b =2
2
3
 
Temos, então que; = + c 2 = + c c = 2 - c =2
2 2
3
2
2
→
2
3
2
→
2 2
3
→
2 6 - 2
3
c = c = c = c = ⋅ c = c =2
4
3
→
4
3
→
2
3
→
2
3
3
3
→
2 3
3
2
→
2
3
3
Com isso, a excentricidade e é : e = e = ⋅ e =2 2
2
3
3
2
→ 2
2
3
3 1
2
→ 2
2
3
3
2
 
Finalmente, podemos concluir que e = e1 2