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Fisiologia 
1 
Resistências dos Materiais 
Paulo César Oliveira Carvalho 
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Resistências dos Materiais 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Texto: Ludmila Amitrano Mannarino 
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes & Christina Corrêa da Fonseca 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliotecária: ELIZABETH FRANCO MARTINS – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedor a 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
 
Resistências dos Materiais 
 
Palavra da reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO EAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo 
momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
 
Seja bem-vindo à UNIVERSO EAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora. 
Resistências dos Materiais 
 
4 
Resistências dos Materiais 
 
5 
 
Sumário 
 
Apresentação da disciplina ................................................................................................ 07 
Plano da disciplina .............................................................................................................. 08 
Unidade 1 – Determinação dos Esforços......................................................................... 11 
Unidade 2 – Tensão x Deformação .................................................................................. 29 
Unidade 3 – Verificação da Segurança ............................................................................ 59 
Unidade 4 – Dimensionamento de Peças ....................................................................... 71 
Unidade 5 – Cisalhamento Puro........................................................................................ 87 
Unidade 6 – Flexão Normal nas Vigas Isostáticas (Diagrama de Momentos Fletor e 
Forças Cortantes)................................................................................................................. 119 
Considerações finais ........................................................................................................... 135 
Conhecendo as autoras ...................................................................................................... 136 
Referências ........................................................................................................................... 137 
Anexos .................................................................................................................................. 139 
Resistências dos Materiais 
 
6 
 
Resistências dos Materiais 
 
7 
Apresentação da disciplina 
 
Caros alunos, 
Preparem-se para uma jornada interessante no mundo dos materiais e suas 
aplicações no campo da Engenharia. A Resistência dos Materiais é uma disciplina 
do ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um 
corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. 
Serão abordados também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua 
estabilidade quando este está submetido a forças externas. No projeto de qualquer 
estrutura ou máquina é fundamental que sejam estudadas não somente as forças 
atuantes, mas também o comportamento do material diante das situações de 
carregamento. Essa conjuntura é essencial para a escolha do material mais 
adequado para uma determinada situação de projeto. As dimensões dos 
elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas internas 
como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos. 
Este livro foi preparado com intuito de ser um importante aliado para o 
enriquecimento do seu conhecimento, contribuindo para sua formação e atuação 
profissional! 
Ao final, seguem as principais referências bibliográficas, que você, nobre 
estudante, deverá consultar caso queira ampliar seus conhecimentos na disciplina. 
 
Sucesso na sua jornada! 
 
Resistências dos Materiais 
 
8 
 
Plano da disciplina 
 
Uma nova etapa se inicia e com ela vamos conquistar novos horizontes. Nesta 
disciplina você terá a oportunidade de conhecer um pouco mais sobre as relações 
entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças 
internas que atuam dentro do corpo, abrangendo também o cálculo das 
deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a 
solicitações externas. 
Em resumo, a Resistência dos Materiais é a divisão da Mecânica dos Corpos 
Sólidos no qual se estuda o equilíbrio dos referidos corpos, considerando os efeitos 
internos, produzidos pela ação das forças externas. 
A origem da resistência dos materiais remontaao início do século XVII, época 
em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e 
vigas feitas de vários materiais. 
Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no 
início do século XVIII. Na época, estudos foram realizados, principalmente na 
França, baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais, denominando-se 
o estudo de Resistência dos Materiais. Atualmente, no entanto, refere-se a esses 
estudos como mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos 
materiais. 
O conteúdo será abordado na seguinte ordem: 
 Unidade 1: Determinação dos esforços; 
 Unidade 2: Determinação das tensões e das deformações a que estão 
sujeitos os corpos sólidos devido à ação dos esforços atuantes; 
 Unidade 3: Verificação da segurança; 
 Unidade 4: Dimensionamento; 
 Unidade 5: Cisalhamento Puro; 
 Unidade 6: Força Cortante e momento Fletor. 
Resistências dos Materiais 
 
9 
Os objetivos deste estudo são: 
Determinação dos esforços, das tensões e das deformações a que estão 
sujeitos os corpos sólidos (barras, vigas, chapas, etc.) devido à ação dos 
carregamentos atuantes. Esta disciplina visa proporcionar o desenvolvimento da 
habilidade do acadêmico na análise crítica e resolução de problemas concretos, 
integrando conhecimentos multidisciplinares e viabilizando o estudo de modelos 
abstratos e sua extensão genérica a novos padrões e técnicas de solução. 
Objetivos fundamentais da Resistência dos Materiais: 
 Hipóteses fundamentais. 
 Sistema real e esquema de análise. 
 Forças Internas. 
 Conceito de Tensão e de Deformação. 
 Tração-Compressão. 
 Critérios de Resistência e Rigidez. 
 Sistemas Isostáticos. Sistemas Estaticamente Indeterminados. 
 Teoria do Cisalhamento Puro. 
 Critérios de Cálculo. 
 Rebites e Juntas Soldadas. 
 Torção. 
 Critérios de Rigidez. 
 Flexão. 
Portanto, esperamos que, ao final desta disciplina, você esteja habilitado a 
identificar os conceitos básicos de Resistências dos Materiais, suas aplicações 
cotidianas e a solução de exercícios que envolvam este assunto. 
 Para que os objetivos sejam alcançados você terá condições de, numa carga de 
trabalho de 60 horas, desenvolver todo o conteúdo teórico da disciplina e 
aplicarem os conhecimentos adquiridos na solução de exercícios. 
Então, dedique tempo para fazer a leitura, as atividades e retirar suas dúvidas. 
Resistências dos Materiais 
 
10 
Sempre que considerar necessário, volte ao texto e refaça as atividades. Não se 
limite a este material, procurando sempre complementar os estudos com a 
bibliografia indicada ao final do material. 
 
Bons estudos! 
 
Resistências dos Materiais 
 
11 
 
Determinação dos 
Esforços 1 
Resistências dos Materiais 
 
12 
 
O projeto da estrutura de qualquer edificação, máquina ou outro elemento 
qualquer é um estudo através do qual a estrutura em si e suas partes componentes 
são dimensionadas de forma que tenham resistência suficiente para suportar os 
esforços para as condições de uso a que serão submetidas. 
Este processo envolve a análise de tensões das partes componentes da 
estrutura e considerações a respeito das propriedades mecânicas dos materiais. A 
análise de tensões, esforços e as propriedades mecânicas dos materiais são os 
principais aspectos da resistência dos materiais. 
A determinação dos esforços e as deformações da estrutura quando as 
mesmas são solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, 
movimentos de seus apoios, etc.) são os principais aspectos da análise estrutural. 
 
Objetivos da unidade: 
 Nesta unidade, faremos uma revisão dos princípios importantes da estática e 
mostraremos como eles são usados para determinar as cargas resultantes internas 
em um corpo. 
Plano da unidade: 
 Cargas externas. 
 Reações do apoio. 
 Equações de equilíbrio. 
 Cargas resultantes internas. 
 
Vamos começar! 
 
Resistências dos Materiais 
 
13 
 
Tipos de Ações 
 
Cargas externas. Um corpo pode ser submetido a vários tipos de cargas 
externas; todavia, qualquer uma delas pode ser classificada como uma força de 
superfície ou uma força de corpo (Figura 1). 
Forças de superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a 
superfície de outro. Em todos os casos, tais forças estão distribuídas pela área de 
contato entre os corpos, logo a força de superfície pode ser idealizada como sendo 
uma única força concentrada, aplicada a um ponto do corpo. 
 
Figura 1 – Equilíbrio de um corpo deformável. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Resistências dos Materiais 
 
14 
Por exemplo, a força do solo sobre as rodas de uma bicicleta pode ser 
considerada uma força concentrada quando estudamos a carga que age sobre a 
bicicleta. Se a carga de superfície for aplicada ao longo de uma área estreita, ela 
pode ser idealizada como uma carga distribuída linear, w(s). Neste caso, a carga é 
medida como se tivesse uma intensidade de força/comprimento ao longo da área, 
e é representada graficamente por uma série de setas ao longo da linha s. 
 
A força resultante FR de w(s) é equivalente à área sob a curva da carga 
distribuída, e essa resultante age no centroide C ou centro geométrico dessa área. 
 A carga ao longo do comprimento de uma viga é um exemplo típico de aplicação 
frequente dessa idealização. 
Figura 2 
 
Fonte: Autor 
 
Reações do apoio. As forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou 
pontos de contato entre corpos são denominadas reações. Para problemas 
bidimensionais, isto é, corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares, os apoios 
mais comuns são mostrados na Tabela 1. Observe cuidadosamente o símbolo 
usado para representar cada apoio e o tipo de reações que cada um exerce sobre o 
elemento de contato. Em geral, sempre podemos determinar o tipo de reação do 
apoio imaginando que o elemento a ele acoplado está sendo transladado ou está 
girando em uma determinada direção. Se o apoio impedir a translação em uma 
determinada direção, então uma força deve ser desenvolvida no elemento naquela 
direção. Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um momento deve ser 
exercido no elemento. Por exemplo, um apoio de rolete só pode impedir 
translação na direção do contato, perpendicular ou normal à superfície. Por 
Resistências dos Materiais 
 
15 
consequência, o rolete exerce uma força normal F sobre o elemento no ponto de 
contato. Como o elemento pode girar livremente ao redor do rolete, não é possível 
desenvolver um momento sobre ele. 
Tabela 1 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Resistências dos Materiais 
 
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Equações de equilíbrio. O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de 
forças, para impedir a translação ou um movimento acelerado do corpo ao longo 
de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o 
corpo gire. Essas condições podem ser expressas matematicamente pelas duas 
equações vetoriais. 
∑ࡲ ൌ ૙ 
∑ࡹ૙ ൌ ૙ 
 
Nessas fórmulas, ΣF representa a soma de todas as forças que agem sobre o corpo, 
e ΣM0 é a soma dos momentos de todas as forças em torno de qualquer ponto O 
dentro ou fora do corpo. 
 
Na prática da engenharia, muitas vezes a carga sobre um corpo pode ser 
representada como um sistema de forças coplanares. Se for esse o caso, e se as 
forças encontrarem-se no plano x-y, então as condições de equilíbrio do corpo 
podem ser especificadas por apenas três equações de equilíbrio escalares, isto é, 
∑ࡲ࢞ ൌ ૙ 
∑ࡲ࢟ ൌ ૙ 
∑ࡹ૙ ൌ ૙ 
 
A aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa 
de todas as forçasconhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. A 
melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar o diagrama de corpo 
livre do corpo. Certamente, se o diagrama de corpo livre for desenhado de maneira 
correta, os efeitos de todas as forças e momentos binários aplicados poderão ser 
levados em conta quando as equações de equilíbrio forem escritas. 
Cargas resultantes internas. Uma das mais importantes aplicações da estática na 
análise de problemas de resistência dos materiais é poder determinar a força e o 
Resistências dos Materiais 
 
17 
momento resultantes que agem no interior de um corpo e que são necessários 
para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas. 
Podemos ver que há, na verdade, uma distribuição de força interna agindo 
sobre a área "exposta" da seção. Essas forças representam os efeitos do material 
que está na parte superior do corpo agindo no material adjacente na parte inferior. 
 
Reações em Vigas 
 
As vigas são estruturas que podem ser classificadas como: 
 
Vigas Hipostáticas: são aquelas que não possuem equilíbrio estático (não são 
estáveis), tendo por isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido. 
 
Fonte: autor 
 
Obs :Caso o carregamento exterior seja apenas vertical a estrutura pode estar em 
equilíbrio. 
Vigas Isostáticas: são aquelas que têm o número de reações estritamente 
necessário para impedir qualquer movimento. 
 
Fonte: autor 
 
Na primeira figura acima (à esquerda), temos o caso de uma estrutura 
isostática com o número de reações de apoio igual ao número de equações de 
Resistências dos Materiais 
 
18 
equilíbrio estático. Já na segunda figura, a estrutura tem um número de reações de 
apoio superior ao número de equações de equilíbrio estático e com uma libertação 
interna garantida pela rótula. A introdução desta rótula garante a isostaticidade 
desta estrutura. 
Vigas Hiperestáticas: são aquelas que têm um número de reações superior ao 
estritamente necessário para impedir qualquer movimento. 
 
Fonte: autor 
 
Observações importantes: 
Resistência dos Materiais é um estudo da relação entre as cargas externas que 
agem sobre um corpo e a intensidade das cargas internas no interior do corpo. 
 
Forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfície 
distribuídas ou concentradas ou como forças de corpo que agem em todo o 
volume do corpo. 
 
Ao aplicarmos as equações de equilíbrio, é importante desenhar o diagrama de 
corpo livre antes, de modo a considerar todos Os termos presentes nas equações. 
 
Um apoio produz uma força em uma determinada direção sobre o elemento a ele 
apoiado se ele impedir a translação do elemento naquela direção e produz um 
momento sobre o elemento se ele impedir a rotação. 
 
Resistências dos Materiais 
 
19 
Exemplos para reforçar a aprendizagem. 
 
1) Determinar as reações nos apoios das vigas a, b, c, d, carregadas conforme 
mostram as figuras a seguir. 
a) Viga solicitada por carga perpendicular. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Obs.: O símbolo à esquerda da figura representa a convenção de sinal adotada 
para calcular o Momento (torque). 
∑ࡹ࡭ ൌ ૙ 
ࡾ࡮ሺࢇ ൅ ࢈ሻ ൌ ࡼ. ࢇ 
ࡾ࡮ ൌ
ࡼࢇ
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ 
 
∑ࡹ࡮ ൌ ૙ 
ࡾ࡭ሺࢇ ൅ ࢈ሻ ൌ ࡼ. ࢈ 
ࡾ࡭ ൌ
ࡼ࢈
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ 
 
 
b)Viga solicitada por carga inclinada. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
20 
A primeira providência a ser tomada, para solucionar este exemplo, é 
decompor a carga de 10kN, visando obter as componentes vertical e horizontal. A 
componente horizontal será obtida através de 10 cos. 53° = 6kN, e a componente 
vertical é obtida através de 10 sen. 53° = 8kN. 
Agora, já temos condição de utilizar as equações do equilíbrio para 
solucionar o exemplo. 
∑ࡹ࡭ ൌ ૙ 
ૠࡾ࡮
ൌ ૞ ൈ૞ ൅ ૡ࢞૛ 
ࡾ࡮ ≅ ૞, ૡ૟ࡷࡺ 
 
∑ࡲࢂ ൌ ૙ 
ࡾ࡭ࢂ ൌ ૡ ൅ ૞ െ ࡾ࡮ 
ࡾ࡭ࢂ ൌ ૡ ൅ ૞ െ ૞,ૡ૟ 
ࡾ࡭ࢂ ൌ ૠ,૚૝ࡷࡺ 
 
∑ࡲࡴ ൌ ૙ 
ࡾ࡭ࡴ ൌ ૟ࡷࡺ 
 
Resultante no apoio A 
ࡾ࡭ ൌ ටࡾ࡭ࢂ૛ ൅ ࡾ࡭ࡴ૛ 
ࡾ࡭ ൌ ඥૠ,૚૝૛ ൅ ૟૛ 
ࡾ࡭ ≅ ૢ,૜૜ࡷࡺ 
 
 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Viga solicitada por carga paralela ao suporte principal. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
21 
∑ࡹ࡭ ൌ ૙ 
૟ࡾ࡮ ൌ ૟࢞૛ 
ࡾ࡮ ൌ ૛ࡷࡺ 
 
∑ࡲࡴ ൌ ૙ 
ࡾ࡭ࡴ ൌ ૟ࡷࡺ 
 
∑ࡲࢂ ൌ ૙ 
ࡾ࡭ࢂ ൌ ࡾ࡮ ൌ ૛ࡷࡺ 
 
Resultante no apoio A 
ࡾ࡭ ൌ ටࡾ࡭ࡴ૛ ൅ ࡾ࡭ࢂ૛ 
ࡾ࡭ ൌ ඥ૟૛ ൅ ૛૛ 
ࡾ࡭ ൌ ૟, ૜૛ࡷࡺ 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
b) Viga solicitada por torque. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
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O binário da figura A pode ser representado conforme a figura acima. 
∑ࡹ࡭ ൌ ૙ 
૚૙ࡾ࡮ ൌ ૚૛૙ 
ࡾ࡮ ൌ ૚૛ࡷࡺ 
 
∑ࡲࢂ ൌ ૙ 
ࡾ࡭ ൌ ࡾ࡮ ൌ ૚૛ࡷࡺ 
 
 
 
Ao finalizar está unidade, esperamos que você estudante tenha compreendido os 
tópicos dos assuntos abordados, lembrando que o referencial bibliográfico é um 
forte aliado para complementação dos seus estudos. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
23 
 
Exercícios – unidade 1 
 
1.Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. 
 
Dado: gs = 77 kN/m3 
 
 
2.Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em 
C da viga mostrada na Figura abaixo. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
24 
3.Calcule V e M nos pontos B e D da viga abaixo. 
 
 
4.Determine a força normal, o esforço cortante interno e o momento fletor nos 
pontos C e D na viga. Assuma que o apoio em B seja um rolete. O ponto C está 
localizado logo à direita da carga de 40 kN. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
a)NC=0N; ND = 0N;VC=-3,333kN;VD=-3,333kN; MC=73,33kN.m; MD=66,67kN.m 
b) NC=10N; ND = 0N;VC=-6,666kN;VD=-3,333kN; MC=73,33kN.m; MD=66,67kN.m 
c) NC=0N; ND = 10N;VC=-3,333kN;VD=-3,333kN; MC=78,33kN.m; MD=66,67kN.m 
d) NC=10N; ND = 0N;VC=-3,333kN;VD=-3,333kN; MC=13,33kN.m; MD=66,67kN.m 
e) NC=0N; ND = 10N;VC=-3,333kN;VD=-13,333kN; MC=13,33kN.m; MD=66,67kN.m 
 
Resistências dos Materiais 
 
25 
5. Calcule a força de tração nos dois cabos da figura. 
 
a)T1 = 2269,2N; T2 = 3730,8N 
b) T1 = 1.000 N; T2 = 5.000 N 
c)T1 = 5.000 N; T2 = 1.000 N 
d) T1 = 3269,2N; T2 = 2730,8N 
 
6.Calcule as reações no apoio da viga em balanço (ou viga cantilever). 
 
a) Hb = 10N ; Vb = 3.000 N; Mb = 1.000N.m 
b) Hb = 0; Vb = 0 N; Mb = 3.000N.m 
c) Hb = 0; Vb = 1000 N; Mb = 3.000N.m 
d) Hb = 0; Vb = 4.000 N; Mb = 3.000N.m 
 
Resistências dos Materiais 
 
26 
 
7.etermine as reações de apoio da viga abaixo. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
a) RB = 3,3 kN; RA = 16,7 kN 
b) RA = 6,6 kN; RB =13,4 kN 
c) RB = 13,3 kN; RA = 6,7 kN 
d) RA = 36,7 kN; RB = 3,3 kN 
 
8.classifique corretamente as vigas abaixo, quanto ao seu tipo de apoio e a 
estaticidade. 
a) 
b) 
Resistências dos Materiais 
 
27 
 
9.Dada a viga abaixo submetida ao carregamento mostrado, determine as 
reações de apoio. 
A B 
 
a) RAH = 1,6 kN; RAV = 1,6 kN; RBV = 1,9 kN 
b) RAH = 2,6 kN; RAV = 0,6 kN; RBV = 0,9 kN 
c) RAH = 0,6 kN; RAV = 1,6 kN; RBV = 1,9 kN 
d) RAH = 2,6 kN; RAV = 3,6 kN; RBV = 0,9 kN 
 
10.Qual das vigas abaixo é hiperestática? 
a) c) 
b) d) 
 
Resistências dos Materiais 
 
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Resistências dos Materiais 
 
29 
 
 
2Tensão x Deformação 
Resistências dos Materiais 
 
30 
Sempre queuma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o 
tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser 
altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados 
equipamentos que façam medições precisas. Por exemplo, uma tira de borracha 
sofrerá uma grande deformação quando esticada. Por outro lado, os elementos 
estruturais de um edifício sofrem apenas leves deformações quando há muitas 
pessoas anelando dentro dele. Também pode ocorrer deformação em um corpo 
quando há mudança de temperatura. Um exemplo típico é a expansão ou 
contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas. 
 
Objetivos da unidade: 
Capacitar o estudante a resolver problemas específicos de dimensionamento 
de peças estruturais, tanto relativamente aos esforços quanto às deformações, 
obedecendo às hipóteses e teorias apresentadas para os tópicos estudados no 
período. Introduzir no estudante o entendimento do funcionamento físico das 
estruturas de engenharia, levando em consideração as condições de carga 
aplicadas. Em engenharia, a deformação de um corpo é especificada pelo conceito 
da deformação normal e por cisalhamento. 
Nesta unidade, definiremos essas quantidades e mostraremos como elas 
podem ser determinadas para vários tipos de problemas. 
 
Plano da unidade: 
 Estudo das Tensões. 
 Tipos de Tensão. 
 Unidade de Tensão. 
 Deformação. 
Bons estudos! 
 
Resistências dos Materiais 
 
31 
 
Estudo das Tensões 
 
Na primeira unidade, dissemos que a força e o momento que agem em um 
ponto específico da área secionada de um corpo (Figura 3a) representam os efeitos 
resultantes da distribuição de forças que agem sobre a área secionada (Figura 3b). 
Obter essa distribuição da carga interna é de suma importância na resistência 
dos materiais. 
Para resolver esse problema, é necessário estabelecer o conceito de tensão. 
 Figura 3a Figura 3b 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Tipos de tensão 
 
 Tensão normal. A intensidade da força ou força por unidade de área, que age 
perpendicularmente à ΔA, é definida como tensão normal, a σ (sigma). Visto 
que ΔFz é normal à área, então: 
࣌ࢠ ൌ ܔܑܕ∆࡭→૙
∆ࡲࢠ
∆࡭ 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
32 
Se a força normal ou tensão tracionar o elemento de área ΔA, como mostra a 
Figura 3a, ela será denominada tensão de tração, ao passo que, se comprimir o 
elemento ΔA, ela será denominada tensão de compressão. Simplificando-se esta 
ideia através das figuras 4 e 5, abaixo representadas. 
 
Figura 4 – Tensão de Tração Figura 5 – Tensão de Compressão 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Unidades de Tensão. 
 
No Sistema Internacional de Unidades de Medidas, ou Sistema SI, os valores 
da tensão normal e da tensão de cisalhamento são especificadas nas unidades 
básicas de newtons por metro quadrado (N/m2). 
Essa unidade, denominada 1 pascal (1 Pa = 1N/m2), é muito pequena, e, em 
trabalhos de engenharia, são usados prefixos como quilo (103), simbolizado por k, 
mega (106), simbolizado por M, ou giga (109), simbolizado por G, para representar 
valores de tensão maiores, mais realistas. Às vezes, a tensão é expressa em 
unidades de N/mm2, em que 1 mm = 10-3 m. Todavia, o SI não permite prefixos no 
denominador de uma fração, portanto é melhor usar a unidade equivalente 1 
N/mm2 = 1 MN/m' = 1 MPa. 
Resistências dos Materiais 
 
33 
 
Tensão Normal Média em uma barra com carga axial. 
Geralmente, elementos estruturais ou mecânicos são compridos e delgados. 
Além disso, estão sujeitos a cargas axiais (cargas que passam pelo eixo da peça) 
que normalmente são aplicadas às extremidades do elemento. Pendurais, 
parafusos e elementos de treliças são exemplos típicos. Nesta seção, 
determinaremos a distribuição de tensão média que age na seção transversal de 
uma barra com carga axial, como aquela cuja forma geral é mostrada na Figura 6a. 
Esta seção define a área da seção transversal da barra e, como todas as outras 
seções transversais são iguais, a barra é denominada prismática. Se desprezarmos o 
peso da barra e da seção conforme é indicado, então, para o equilíbrio do 
segmento inferior (Figura 6b), a força resultante interna que age na área da seção 
transversal deve ter valor igual, direção oposta e ser colinear à força externa que 
age na parte inferior da barra. 
Figura 6 – Tensão Normal Média em Barra com Carga Axial. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Resistências dos Materiais 
 
34 
Antes de determinarmos a distribuição da tensão média que age sobre a área 
da seção transversal da barra, é necessário adotar duas premissas simplificadoras 
em relação à descrição do material e à aplicação específica da carga. 
 
 Primeira. É necessário que a barra permaneça reta antes e depois da 
aplicação da carga; além disso, a seção transversal deve permanecer achatada 
ou plana durante a deformação, isto é, durante o tempo em que ocorrer a 
mudança no volume e na forma da barra. Se isso acontecer, as linhas 
horizontais e verticais da grade aplicada à barra se deformarão uniformemente 
quando a barra for submetida à carga (Figura 6c). Não consideraremos aqui as 
regiões da barra próximas às suas extremidades, onde a aplicação das cargas 
externas pode provocar distorções localizadas. Em vez disso, focalizaremos 
somente a distribuição de tensão no interior da seção média da barra. 
 
 Segunda. Para que a barra sofra deformação uniforme é necessário que P 
seja aplicada ao longo do eixo do centroide da seção transversal e que o 
material seja homogêneo e isotrópico. Materiais homogêneos têm as mesmas 
propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume e materiais isotrópicos 
têm as mesmas propriedades em todas as direções. 
 
 Muitos materiais de engenharia podem ser considerados homogêneos e 
isotrópicos por aproximação, como fazemos neste livro. O aço, por exemplo, 
contém milhares de cristais orientados aleatoriamente em cada milímetro 
cúbico de seu volume, e, visto que a maioria dos problemas que envolvem esse 
material tem um tamanho físico muito maior do que um único cristal, a 
premissa adotada em relação à composição desse material é bem realista. 
 
Resistências dos Materiais 
 
35 
Entretanto, devemos mencionar que o aço pode ser transformado em 
anisotrópico por laminação a frio (isto é, se for laminado ou forjado em 
temperaturas subcríticas). Materiais anisotrópicos têm propriedades diferentes em 
direções diferentes e, ainda que seja esse o caso, se a anisotropia for orientada ao 
longo do eixo da barra, então a barra também se deformará uniformemente 
quando sujeita a uma carga axial. Por exemplo, a madeira, por causa de seus grãos 
ou fibras, é um material de engenharia homogêneo e anisotrópico e, como possui 
uma orientação padronizada de suas fibras, ela se presta perfeitamente à análise 
que faremos a seguir. Distribuição da tensão normal média. Contanto que a barra 
esteja submetida a uma deformação uniforme e constante como já observamos, 
essa deformação é o resultado d e uma tensão normal constante σ Figura 6d. O 
resultado é que cada área ΔA na seção transversal está submetida a uma força ΔF = 
σ.ΔA, e a soma dessas forças que agem em toda a área da seção transversal deve 
ser equivalente à força resultante interna P na seção. Se fizermos ΔA dA e, 
portanto, ΔF dF, então, reconhecendo que σ é constante, tem-se: 
൅↑ ࡲࡾࢠ ൌ ∑ࡲࢠ; 
 
නࢊࡲ ൌ න ࣌ࢊ࡭
࡭
 
ࡼ ൌ 	ોۯ 
 
 
Logo: σ = P/A 
Onde: 
 
σ = tensão normalmédia em qualquer ponto na área da seção transversal. 
P = força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da seção 
transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de 
equilíbrio. 
A = área da seção transversal da barra. 
 
Resistências dos Materiais 
 
36 
A equação σ = P/A dá a tensão normal média na área da seção transversal de 
um elemento quando a seção é submetida a uma força normal resultante interna 
P. Para elementos com carga axial, a aplicação dessa equação exige as etapas 
descritas a seguir: 
Carga interna 
 Secione o elemento perpendicularmente a seu eixo longitudinal no ponto 
onde a tensão normal deve ser determinada e use o diagrama de corpo livre 
e as equações de equilíbrio de forças necessárias para obter a força axial 
interna P na seção. 
 
Tensão normal média 
 Determine a área da seção transversal do elemento na seção analisada e 
calcule a tensão normal média σ = P/A. 
 Sugerimos que a ação de σ seja mostrada sobre um pequeno elemento de 
volume do material localizado em um ponto na seção onde a tensão é 
calculada. Para isso, em primeiro lugar, desenhe-a na face do elemento 
coincidente com a área secionada A. Aqui, σ age na mesma direção que a 
força interna P, uma vez que todas as tensões normais na seção transversal 
agem nessa direção para desenvolverem essa resultante. A tensão normal σ 
que age na face oposta do elemento pode ser desenhada em sua direção 
adequada. 
 
Tensão de cisalhamento 
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age tangente a ΔA, é 
denominada tensão de cisalhamento, τ (tau). Aqui estão as componentes da 
tensão de cisalhamento: 
 
Observe que a notação do índice z em σz é usada para indicar a direção da 
reta normal dirigida para fora, que especifica a orientação da área ΔA (Figura 7). 
São usados dois índices para as componentes da tensão de cisalhamento, τzx e τzy 
Resistências dos Materiais 
 
37 
O eixo z especifica a orientação da área e x e y referem-se às retas que indicam a 
direção das tensões de cisalhamento. 
Figura 7 – Índices de tensões de cisalhamento. 
 
 
Tensão de cisalhamento média 
A tensão de cisalhamento foi definida anteriormente como a componente da 
tensão que age no plano da área secionada. Para mostrar como essa tensão pode 
desenvolver-se, consideraremos o efeito da aplicação de uma força F à barra na 
Figura 8. Se considerarmos apoios rígidos e F suficientemente grande, o material 
da barra irá deformar-se e falhar ao longo dos planos identificados por AB e CD. Um 
diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da barra (Figura 9) 
indica que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada a cada seção para 
manter o segmento em equilíbrio. A tensão de cisalhamento média distribuída 
sobre cada área secionada que desenvolve essa força de cisalhamento é definida 
por: 
࣎࢓éࢊ ൌ
ࢂ
࡭ 
 
Onde, τmédia = tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos ser a 
mesma em cada ponto localizado na seção. 
V = força de cisalhamento interna resultante na seção determinada pelas equações 
de equilíbrio. 
A = área na seção. 
Resistências dos Materiais 
 
38 
 
Figura 8 – Barra submetida à tensão de cisalhamento. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Figura 9 – Diagrama de Corpo Livre do segmento central da barra. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
A ação da distribuição da tensão de cisalhamento média sobre as seções é 
mostrada na Figura 10. Observe que τmédia está na mesma direção de V, uma vez 
que a tensão de cisalhamento deve criar forças associadas e que todas elas 
contribuem para a força resultante interna V na seção analisada. 
 
O caso de carregamento discutido nas Figuras 8, 9 e 10 é um exemplo de 
cisalhamento simples ou direto, visto que o cisalhamento é causado pela ação 
direta da carga aplicada F. Esse tipo de cisalhamento ocorre frequentemente em 
vários tipos de acoplamentos simples que utilizam parafusos, pinos, material de 
Resistências dos Materiais 
 
39 
solda etc. Os acoplamentos mostrados na Figura 11 abaixo ilustram perfeitamente 
isto. 
 
Figura 10 - Diversos tipos de acoplamento que sofrem cisalhamento 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
. 
Figura 11 – Diversos tipos de acoplamento que sofrem cisalhamento. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Quando a junta é construída como mostra a Figura 12.a ou 12.c, duas superfícies de 
cisalhamento devem ser consideradas. Esses tipos de acoplamentos são 
normalmente denominados juntas de dupla superposição. Se fizermos um corte 
entre cada um dos elementos, os diagramas de corpo livre do elemento central 
serão como os mostrados na Figura 12.b e 12.d. Temos, neste caso, uma condição 
de cisalhamento duplo. Por consequência, V = F/2 age sobre cada área secionada, 
e esse cisalhamento deve ser considerado quando aplicarmos τmédia = V/A. 
Resistências dos Materiais 
 
40 
 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
Deformação 
 
Em física e engenharia, a deformação de um corpo contínuo (ou de uma 
estrutura) é qualquer mudança da configuração geométrica do corpo que leve a 
uma variação da sua forma ou das suas dimensões após a aplicação de uma ação 
externa (solicitação), a exemplo de uma tensão ou variação térmica que altere a 
forma de um corpo. 
Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o 
tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser 
Resistências dos Materiais 
 
41 
altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados 
equipamentos que façam medições precisas. Por exemplo, uma tira de borracha 
sofrerá uma grande deformação quando esticada. Por outro lado, os elementos 
estruturais de um edifício sofrem apenas leves deformações quando há muitas 
pessoas anelando dentro dele. Também pode ocorrer deformação em um corpo 
quando há mudança de temperatura. Um exemplo típico é a expansão ou 
contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas. 
As deformações por tensão podem ser classificadas basicamente em três 
tipos: 
 Deformação transitória ou elástica. 
 Deformação permanente ou plástica. 
 Ruptura. 
Na deformação elástica, o corpo retorna ao seu estado original após cessar o 
efeito da tensão. Isso acontece quando o corpo é submetido a uma força que não 
supere a sua tensão de elasticidade (Lei de Hooke). 
 
Lei de Hooke 
Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no ano de 
1678, constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga 
normal, sofre variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área da seção 
transversal inicial. 
Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou alongamento, 
constatando que: 
Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior 
o alongamento, e que, quanto maior a área da seção transversal e a rigidez do 
material, medido através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, 
resultando daí a equação: 
 
Resistências dos Materiais 
 
42 
∆र ൌ ࡲ	.र࡭	. ࡱ 
 
Como σ = F/A podemos escrever a Lei de Hooke: 
∆र ൌ ࣌	.रࡱ 
 
Na deformação permanente, o corpo não retorna ao seu estado original, 
permanece deformado permanentemente. Isso acontece quando o corpo é 
submetido à tensão de plasticidade, que é maior daquela que produz a deformação 
elástica. 
 
Onde: 
Δl - alongamento da peça [m]; 
σ - tensão normal [Pa]; 
F - carga normal aplicada [N]; 
A - área da seção transversal [m2]; 
E - módulo de elasticidade do material [Pa]; 
L - comprimento inicial da peça [m]; 
 
O alongamentoserá positivo, quando a carga aplicada tracionar a peça, e será 
negativo quando a carga aplicada comprimir a peça. 
É importante observar que a carga se distribui por toda área da seção 
transversal da peça. 
 
Resistências dos Materiais 
 
43 
 
Figura 13 – Alongamento. 
 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Onde: 
lf - comprimento final da peça [m; mm...] 
l - comprimento inicial da peça [m; mm...] 
Δl - alongamento [m; mm...] 
 
A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação longitudinal () e 
a deformação transversal (t). 
 
Resistências dos Materiais 
 
44 
 
Deformação longitudinal () 
 
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (u.c) 
de uma peça submetida à ação de carga axial. 
Sendo definida através das relações: 
 
Figura 14 – Deformação longitudinal. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Deformação transversal ( t) 
Determina-se através do produto entre a deformação unitária () e o 
coeficiente de Poisson (ࣰ). 
 
Figura 15 – Deformação transversal. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Resistências dos Materiais 
 
45 
 
Como  = Δl/l = σ / E, podemos escrever: 
ࢿ࢚ ൌ	െ࢜ࢿ 
 
ࢿ࢚ ൌ 	
࢜࣌
ࡱ 
 
ou ࢿ࢚ ൌ െ࢜	 ∆रर 
 
 
Onde: 
 t - deformação transversal adimensional 
σ - tensão normal atuante [Pa; MPa , GPa ] 
E - módulo de elasticidade do material [P a;...] 
t - deformação longitudinal adimensional (sem dimensão). 
ࣰ - coeficiente de Poisson adimensional 
Δl - alongamento [m; cm; mm] 
l - comprimento inicial [m; cm;...] 
Na deformação por ruptura o corpo rompe-se em duas ou mais partes. A 
ruptura acontece quando um corpo recebe uma tensão inicialmente maior 
daquela que produz a deformação plástica; essa tensão tende a diminuir após o 
início do processo. 
A forma de aplicação das tensões varia em relação à reação de apoio ou inércia 
do corpo; elas podem ocorrer por tração, compressão, cisalhamento, flexão e 
torção: 
 
Tração: Solicitação que tende a alongar o corpo e ocorre no sentido inverso ao 
apoio ou inércia resultante do sistema de forças (semelhante aos cabos de aço de 
um guindaste); 
Compressão: Solicitação que tende a encurtar o corpo e ocorre no mesmo sentido 
da reação de apoio ou inércia resultante do sistema de forças (semelhante às 
colunas de uma construção); 
Resistências dos Materiais 
 
46 
Cisalhamento ou corte: Solicitação que tende a cortar o corpo e ocorre com o 
deslocamento paralelo em sentido oposto de duas seções contíguas (semelhante 
ao corte de uma tesoura ou guilhotina); 
 
Flexão: Solicitação que tende a girar um corpo e ocorre quando a tensão tende a 
uma rotação angular no eixo geométrico do corpo e tangencial ao apoio ou inércia 
(semelhante a um trampolim de piscina); 
 
Torção: Solicitação que tende a torcer o corpo; ocorre quando a tensão tende a 
uma rotação angular sobre o eixo geométrico do corpo e axial ao apoio ou inércia 
(semelhante ao eixo cardã dos caminhões). 
 
Diagrama Tensão X Deformação 
A resistência de um material depende da sua capacidade de suportar carga 
sem deformações excessivas ou ruptura. Essa propriedade é própria do material e 
deve ser determinada experimentalmente. O teste mais importante para a 
obtenção de propriedades mecânicas do material é o teste de tração ou 
compressão axial. 
Esse teste é utilizado principalmente para a obtenção da relação entre a 
tensão média e a deformação normal média. O teste é realizado através da 
conformação do material selecionado em corpos de prova de dimensões 
padronizadas por normas. Uma máquina de teste, especialmente projetada para 
tal função, é utilizada para aplicar-se uma carga de compressão ou tração no corpo 
de prova em teste. Essa carga é aplicada a uma taxa muito lenta e constante até 
que o material atinja o ponto de ruptura. 
Os dados da carga aplicada são registrados sem intervalos frequentes assim 
como o alongamento ou encurtamento do corpo de prova. O valor desse 
alongamento é utilizando então para calcular a deformação do corpo de prova e a 
carga aplicada, juntamente com propriedades da seção transversal do corpo de 
prova, para calcular a tensão, obtendo-se assim, ao final do teste, o diagrama 
tensão-deformação para o material ensaiado. 
Resistências dos Materiais 
 
47 
O diagrama tensão-deformação é um gráfico bidimensional no qual se relacionam 
a tensão σ, ordenada, com a deformação , abscissa, obtidos pelo ensaio. Cada 
ponto do gráfico identifica uma leitura de tensão-deformação feita pela máquina 
de testes durante o ensaio. O último ponto caracteriza a ruptura do material. 
 
Exemplo: 
Seja o Diagrama Tensão deformação do aço ABNT 1020, mostrado abaixo, 
ensaiado conforme normas específicas. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Onde: 
Ponto O- Início de ensaio carga nula; 
Ponto A - Limite de proporcionalidade; 
Ponto B - Limite superior de escoamento; 
Ponto C - Limite inferior de escoamento; 
Ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material; 
Ponto E - Limite máximo de resistência; 
Ponto F - Limite de ruptura do material. 
A partir do diagrama tensão-deformação é possível se obter diversas 
propriedades do material ensaiado. 
Resistências dos Materiais 
 
48 
Os materiais são classificados como dúcteis e frágeis, dependendo das suas 
características de tensão e deformação. 
Materiais dúcteis são aqueles que apresentam grandes deformações antes de 
se romperem como, por exemplo, o aço, borracha, alumínio. A madeira pode ser 
considerada como um material moderadamente dúctil, pois suas características 
variam muito de uma espécie para outra. 
 
Materiais frágeis são aqueles que se rompem bruscamente apresentando 
pequenas deformações como, por exemplo, o concreto. Outra característica é que 
não possuem tensão de ruptura à tração bem definida e sua resistência a esse 
esforço normalmente é baixa. Essa indefinição é causada pela existência de 
imperfeições e microtrincas no material. A consequência é que o aparecimento de 
trincas iniciais seja bem aleatório. Essas imperfeições ou microtrincas são próprias 
da natureza do material. 
O material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de tração não 
apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica para o 
rompimento. 
Ex.: concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, cristal, acrílico, baquelite etc. 
Diagrama tensão deformação do material frágil 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Resistências dos Materiais 
 
49 
 
Onde: 
Ponto O - Início de ensaio carga nula; 
Ponto A - limite máximo de resistência, ponto de ruptura do material. 
 
Figura 16 – Tensão X Deformação para vários tipos de materiais. 
 
Fonte: adaptado. 
 
Conforme os gráficos da figura 16 observam-se em: a vê-se um material dúctil 
típico, como um aço de baixo carbono recozido. Entre os materiais dúcteis existem 
aqueles que não mostram claramente o patamar de escoamento, como em b. As 
figuras c e d mostram possíveis curvas de comportamento para materiais frágeis. 
No caso c aparece um comportamento não linear em baixos níveis de tensão, que é 
característica dos ferros fundidos. Já em d o comportamento é elástico e linear até 
próximo da ruptura, característica de materiais cerâmicos e ligas fundidas de 
elevada dureza. 
 
Resistências dos Materiais 
 
50 
 
Figura 17.a – Fratura de material frágil. Figura 17.b – Fratura de material dúctil 
 
Fonte: adaptado. 
 
Importante! 
 
Observação: a classificação de materiais dúcteis e frágeis não é rígida, pois um 
material pode mudar suas característicasde comportamento, por influência de 
vários fatores como, por exemplo, a temperatura de trabalho. Altas temperaturas 
tendem a promover o comportamento dúctil. Baixas temperaturas tendem a 
promover o comportamento frágil. Então um material de comportamento frágil em 
temperatura ambiente poderá se tornar dúctil em altas temperaturas, ou um 
material dúctil se tornar frágil em baixas temperaturas. 
 
No ensaio de tração, à medida que aumentamos a intensidade de carga normal 
aplicada, observamos que a peça apresenta alongamento na sua direção 
longitudinal e uma redução na seção transversal. 
Na fase de deformação plástica do material, essa redução da seção transversal 
começa a se acentuar, apresentando estrangulamento da seção na região de 
ruptura. Essa propriedade mecânica é denominada estricção, sendo determinada 
através da expressão: 
 
Resistências dos Materiais 
 
51 
 
࣐ ൌ	࡭૙ െ ࡭ࢌ࡭૙ 	 . ૚૙૙% 
 
Onde: φ - estricção [%] 
Ao - área da seção transversal inicial [mm2; cm2; ] 
Af - área da secção transversal final [mm2; cm2; ] 
 
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com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e consulte 
sempre a biblioteca do seu polo. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Resistências dos Materiais 
 
52 
 
Exercícios – unidade 2 
 
1.Um fio de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm2 e apresenta uma 
estricção de 77%. Calcule: 
 
a) a tensão verdadeira de ruptura; 
 
b) a deformação verdadeira εv na ruptura. 
 
2.Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 
mm. A haste e tensionada, de forma que a distancia entre os traços passa a ser 56,7 
mm. Calcule a deformação sofrida pela haste de latão. 
 
 
 
3.Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal e 
esticada 1 mm quando uma massa de 225 kg e pendurada em sua extremidade 
inferior. Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o modulo de Young para a barra. 
a) 1,76 x 1011 N/m2 
b) 176 x 1013 N/mm2 
c) 0,176 x 1011 N/mm2 
d) 1,76 x 106 N/m2 
e) 3,76 x 1011 N/m2 
 
Resistências dos Materiais 
 
53 
 
4. A haste ABCD, mostrada na figura abaixo, é feita de alumínio, com E = 70 GPa. 
Determinar, para as cargas indicadas, desprezando o peso próprio: 
a) O deslocamento do ponto B. 
b) O deslocamento do ponto D. 
 
Fone: HIBBELER, R. C. 2010. 
 
 
a) B = 5,71mm e D = 0,781mm 
b) B = 0,781mm e D = 5,71mm 
c) B = 1,781mm e B = 5,71mm 
d) B = 0,57mm e B 0,781mm 
e) B = 0,781mm e B = 3,81mm. 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
54 
 
5. Uma barra circular possui d = 32 mm, e o seu comprimento l = 1,6 m. Ao ser 
tracionada por uma carga axial de 4kN, apresenta um alongamento l = 114 µm. 
Qual o material da barra? Consulte o quadro abaixo para dar a resposta. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Material 
Módulo de 
elasticidade 
E [GPa] 
Material 
Módulo de 
elasticidade 
E [GPa] 
Aço 210 Latão 117 
Alumínio 70 Ligas de alumínio 73 
Bronze 112 Ligas de chumbo 17 
Cobre 112 Ligas de estanho 41 
Chumbo 17 Ligas de magnésio 45 
Estanho 40 Ligas de titânio 114 
Fofo 100 Magnésio 43 
Fofo Modular 137 Monel (liga níquel) 179 
Ferro 200 Zinco 96 
 
a)Bronze 
b) aço 
c) Alumínio 
d) Cobre 
e) Ferro. 
Resistências dos Materiais 
 
55 
 
6.Uma barra de AI possui seção transversal quadrada com 60 mm de lado e, o 
seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 36 kN. Determinar 
a tensão normal atuante na barra e o seu alongamento. 
a) 5 MPa e 114 mm 
b) 10 MPa e 11,4 mm 
c) 10 MPa e 114μm 
d) 10 GPa 
e)1,14 mm. 
 
7.Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra 
prismática de comprimento L= 5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5 
cm e Módulo de Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de 
tração P=30 kN. 
 
 
a) 15,3 MPa e 0,0764 % 
b) 7,15 MPa e 7,64 % 
c) 30,6 MPa e 0,00764% 
d) 5,30 MPa e 1,0764% 
 
Resistências dos Materiais 
 
56 
 
8. No diagrama de ensaio de tração (tensão x deformação) para materiais dúcteis, o 
limite superior de escoamento, representa o ponto de: 
 
a) Ruptura 
b) O início da deformação plástica 
c) Limite máximo de resistência 
d) Limite de proporcionalidade 
e) O início da estricção 
 
Resistências dos Materiais 
 
57 
9.Dado o gráfico Tensão x Deformação abaixo, indicar o que significa a etapa 1 
do mesmo, definindo-a corretamente conforme a teoria estudada. 
Tensão 
 
Deformação 
a)Ruptura 
b) Estricção 
c) Início da região plástica 
d) Tensão máxima. 
 
10. Determine a deformação da barra de aço sob a ação das cargas indicadas. 
Dado: E=210 GPa. 
 
a) δ=2,75×10-3m = 2,75 mm 
b) δ=5,50 ×10-3m = 4,75 mm 
c) δ=27,5×10-3m = 275 mm 
d) δ=2,75×106m = 27,5 mm 
Resistências dos Materiais 
 
58 
 
Resistências dos Materiais 
 
59 
 
Verificação da Segurança 3
Resistências dos Materiais 
 
60 
O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou 
mecânicos deve restringir a tensão do material a um nível seguro, portanto, deve 
usar uma tensão segura ou admissível. 
Em Engenharia, uma estrutura ou máquina em uso contínuo deve ser 
analisada periodicamente para que se verifiquem quais ·cargas adicionais seus 
elementos ou partes podem suportar. Portanto, vale ressaltar, é necessário fazer os 
cálculos usando-se uma tensão segura ou admissível. 
 
Objetivos da unidade: 
Ao final desta unidade, o aluno (a) conhecerá a utilização do coeficiente de 
segurança e sua aplicação no dimensionamento dos elementos de construção, 
visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo. 
 
Plano da unidade: 
 Coeficiente de Segurança 
 Carga Estática 
 Carga Intermitente 
 Carga Alternada 
 Tensão Admissível 
 
Bons estudos! 
 
Resistências dos Materiais 
 
61 
 
Coeficiente de Segurança. 
 
Para se garantir a segurança, é preciso escolher uma tensão admissível que 
restrinja a carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode 
suportar totalmente. Há várias razões para isso. Por exemplo, a carga para a qual o 
elemento é projetado pode ser diferente das cargas realmente aplicadas. As 
dimensões estipuladas no projeto de uma estrutura ou máquina podem não ser 
exatos por causa de erros de fabricação ou cometidos na montagem de seus 
componentes. É possível ocorrer problemas com vibrações, impactos ou cargas 
acidentais desconhecidas, que não tenham sido contemplados no projeto. 
Corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste provocado por exposição a 
intempéries tendem a deteriorar os materiais em serviço. 
 
Coeficiente de Segurança k 
O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de 
construção, visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu 
custo. 
O projetista poderá obter o coeficiente em normas ou calcular em função das 
circunstâncias apresentadas. 
Os esforços são classificados em 3 tipos: 
 
Resistências dos Materiais 
 
62 
 
Carga Estática 
 
A carga é aplicada na peça e permanece constante; como exemplos, podemos 
citar: 
 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Um parafuso prendendo uma luminária. 
Uma corrente suportando um lustre.Carga Intermitente 
 
Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que o seu 
esforço atinja o máximo, utilizando para isso um determinado intervalo de tempo. 
Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo 
de tempo utilizado para se atingir o máximo, fazendo com que a tensão atuante 
volte à zero. E assim sucessivamente. 
 
Resistências dos Materiais 
 
63 
 
Ex.: o dente de uma engrenagem. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Carga Alternada 
 
Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça (f(tensão) varia de máximo 
positivo para máximo negativo ou vice-versa, constituindo-se na pior situação para 
o material). 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Ex.: eixos, molas, amortecedores etc. 
Obs.: para cisalhamento substituir σ por τ. 
Resistências dos Materiais 
 
64 
 
Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias 
apresentadas, deverá ser utilizada a expressão a seguir: 
࢑ ൌ ࢞		.		࢟	.		ࢠ	.		࢝ 
 
Onde: 
x é o fator do tipo de material. 
Ex. x = 2; para materiais comuns. 
 x = 1,5; para aços de qualidade e aços liga. 
y é o fator do tipo de solicitação. 
y = 1 para carga constante 
y = 2 para carga intermitente 
y = 3 para carga alternada. 
.z é o fator do tipo de carga. 
z = 1 para carga gradual 
z = 1,5 para cargas leves 
z = 2,0 para cargas bruscas. 
.w é o fator que prevê possíveis falhas de fabricação. 
w = 1,0 a 1,5 para aços. 
w = 1,5 a 2,0 para ferro fundido. 
OBS: Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ k ≤ 3 aplicado a σe (tensão de 
escoamento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σr para o material 
frágil. 
 
Onde σr é a tensão de ruptura do material. 
 
A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias 
apresentadas. Geralmente, essa tensão deverá ser mantida na região de 
deformação elástica do material. 
Resistências dos Materiais 
 
65 
A tensão admissível é determinada através da relação σe (tensão de 
escoamento) coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, σr (tensão de 
ruptura) coeficiente de segurança para os materiais frágeis. 
 
࣌ഥ ൌ 	࣌࢘࢑ Para materiais dúcteis. 
Para materiais dúcteis. 
࣌ഥ ൌ 	࣌࢘࢑ Para materiais frágeis. 
Para materiais frágeis. 
 
Em projetos de porte, é necessário levar em conta, no dimensionamento dos 
elementos de construção, o peso próprio do material, que será determinado 
através do produto entre o peso específico do material e o volume da peça, 
conforme nos mostra o estudo a seguir. 
 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
0 ≤ y ≤ ℓ 
Pp = γAy 
Resistências dos Materiais 
 
66 
Na secção AA 
Y = 0  Pp = 0 
Na secção BB 
Y = ℓ  Pp = Máx. 
ࡼ࢖࢓á࢞ ൌ 	ࢽ	.		࡭	.		र 
 
Ao final desta unidade, lembramos a você, querido aluno(a), de revisar os 
conteúdos aqui abordados, resolvendo outros exercícios do referencial 
bibliográfico recomendados. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Resistências dos Materiais 
 
67 
 
Exercícios – unidade 3 
 
1.O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como 
mostrado na figura. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro, 
determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do 
disco necessários para suportar uma carga de 20 kN. A tensão normal 
admissível da haste é σadm = 60 MPa, e a tensão de cisalhamento admissível 
do disco é τadm = 35 MPa. 
 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010 adaptado. 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
68 
 
2.Determine o coeficiente de segurança para uma situação em que se 
Pretende fabricar um tirante de aço que irá suportar uma carga constante de 
tração, aplicada gradualmente quando ao final da montagem. 
Nota: O tirante é uma peça estrutural composta por um ou mais elementos, e que tem por 
função resistir a esforços, forças ou tensões, de tração. Geralmente são feitos com aço 
comum. 
 
 
3.A coluna está submetida a uma força axial de 8 kN no seu topo. Supondo 
que a seção transversal tenha as dimensões mostradas na figura, determinar a 
tensão normal média que atua sobre a seção a-a. Mostrar essa distribuição de 
tensão atuando sobre a área da seção transversal. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010 adaptado. 
 
Resistências dos Materiais 
 
69 
 
4.O punção circular B exerce uma força de 2 kN no topo da chapa A 
Determinar a tensão de cisalhamento média na chapa devida a esse carregamento. 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. 2010 adaptado. 
 
Resistências dos Materiais 
 
70 
 
Resistências dos Materiais 
 
71 
 
4Dimensionamento de Peças 
Resistências dos Materiais 
 
72 
 
Durante aplicações práticas, em engenharia, a determinação de tensões é um 
importante passo para o desenvolvimento de dois estudos relacionados a: 
Análise de estruturas e máquinas existentes, com o objetivo de prever o seu 
comportamento sob condições de cargas especificadas. 
Projeto de novas máquinas e estruturas, que deverão cumprir determinadas 
funções de maneira segura e econômica. 
 
Objetivos da unidade: 
Ao final desta unidade, o aluno (a) deverá prever o comportamento de uma 
estrutura ou equipamentos, quando estes estiverem sob condições de 
carregamento ou tensões repentinas, de modo a projetá-los corretamente. 
 
Plano da unidade: 
 Peças de Secção Transversal 
 Peças de Secção Transversal Qualquer 
 Peças de Secção Transversal Circular. 
 Dimensão de correntes. 
 
Bons estudos! 
 
Resistências dos Materiais 
 
73 
 
Peças de Seção Transversal 
 
Peças de Seção Transversal Qualquer 
 
Área Mínima. 
࡭࢓࢏࢔ ൌ 	
ࡲ
࣌ഥ 
 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Onde: 
Amin - Área mínima da secção transversal [m2: ... ]. 
F - Carga axial aplicada [N]. 
ߪത - Tensão admissível do material [Pa]. 
 
Resistências dos Materiais 
 
74 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Peças de Seção Transversal Circular 
Diâmetro da Peça 
 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
ߪത = F/A como a área do círculo é A =  d2/4, temos que: 
ߪത= 4 F/ d2, portanto, 
ࢊ ൌ 	ඨ૝ࡲ࣊࣌ഥ	 
Onde: 
 
D - Diâmetro da peça [m]. 
Resistências dos Materiais 
 
75 
F - Carga axial aplicada [N]. 
ߪത- Tensão admissível do material [Pa]. 
 - Constante trigonométrica 3,141516... 
 
Dimensionamento de Correntes. 
 
A carga axial em uma corrente se divide na metade para cada seção 
transversal do elo, conforme demonstrado na figura abaixo: 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Tem-se então que: 
࣌ഥ ൌ 	 ࡲࢉ૛࡭ 
 
 Como a área do círculo é A =  d2/4, temos que: 
࣌ഥ ൌ 	 ૝ࡲࢉ૛࣊ࢊ૛ ൌ 	
૛ࡲࢉ
࣊ࢊ૛ portanto, ࢊ ൌ 	ඨ
૛ࡲࢉ
࣊࣌ഥ	 
 
Resistências dos Materiais 
 
76 
Onde: 
d - diâmetro da barra do elo [m). 
Fc - Força na corrente [N). 
 - Constante trigonométrica 3, 1415.... 
0= - Tensão admissível [Pa). 
Tabelas de algumas propriedades mecânicas. 
Tabela 1 - Coeficiente de Poisson (v) 
Material v Material v 
Aço 0,25 - 0,33 Latão 0,32 - 0,42 
Alumínio 0,32 - 0,36 Madeira compensada 0,07 
Bronze 0,32 - 0,35 Pedra 0,16 - 0,34 
Cobre 0,31 - 0,34 Vidro 0,25 
Fofo -0,23 - 0,27 Zinco 0,21 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Obs: A sigla “fofo” significa ferro fundido. 
Tabela 2 - Características elásticas dos materiais. 
Material 
Módulo de 
elasticidade 
E [GPa] 
Material 
Módulo de 
elasticidade 
E [GPa] 
Aço 210Latão 117 
Alumínio 70 Ligas de alumínio 73 
Bronze 112 Ligas de chumbo 17 
Cobre 112 Ligas de estanho 41 
Chumbo 17 Ligas de magnésio 45 
Estanho 40 Ligas de titânio 114 
Fofo 100 Magnésio 43 
Fofo Modular 137 Monel (liga níquel) 179 
Ferro 200 Zinco 96 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
77 
Obs.: É comum encontrar-se o módulo de elasticidade em MPa (megapascal) 
Exemplos: 
Eaço 5 = 2,1 x 10 MPa 
EAl= 7,0 X 104 MPa 
ECu= 1,12 x 105 MPa 
Tabela 3 - Peso especí fico dos materiais. 
Material Peso Específico ࢽ [ N / m3 ] Material 
Peso Específico 
ࢽ [ N / m3 ] 
Aço 7,70 x 104 Gasolina 15ºC 8,3 x 103 
Água destilada 4ºC 9,8 x 103 Gelo 8,8 x 103 
Alvenaria tijolo 1,47 x 104 Graxa 9,0 x 103 
Alumínio 2,55 x 104 Latão 8,63 x 104 
Bronze 8,63 x 104 Leite (15ºC) 1,02 x 104 
Borracha 9,3 x 103 Magnésio 1,72 x 104 
Cal hidratado 1,18 x 104 Níquel 8,50 x 104 
Cerveja 1,00 x 104 Ouro 1,895 x 105 
Cimento em pó 1,47 x 104 Papel 9,8 x 103 
Concreto 2,00 x 104 Peroba 7,8 x 103 
Cobre 8,63 x 104 Pinho 5,9 x 103 
Cortiça 2,4 x 103 Platina 2,08 x 105 
Chumbo 1,1 x 105 Porcelana 2,35 x 104 
Diamante 3,43 x 104 Prata 9,80 x 104 
Estanho 7,10 x 104 Talco 2,65 x 104 
Ferro 7,70 x 104 Zinco 6,90 x 104 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
78 
 
Tabela 4 - Coeficiente de dilatação linear dos materiais. 
Material Coeficiente de dilatação linear Material 
Coeficiente de 
dilatação linear 
 ߙ	[ºC]-1 ߙ	[ºC]-1 
Aço 1,2 x 10-5 Latão 1,87 x 10-5 
Alumínio 2,3 x 10-5 Magnésio 2,6 x 10-5 
Baquelite 2,9 x 10-5 Níquel 1,3 x 10-5 
Bronze 1,87 x 10-5 Ouro 1,4 x 10-5 
Borracha [20ºC] 7,7 x 10-5 Platina 9 x 10-6 
Chumbo 2,9 x 10-5 Prata 2 x 10-5 
Constantan 1,5 x 10-5 Tijolo 6 x 10-6 
Cobre 1,67 x 10-5 Porcelana 3 x 10-6 
Estanho 2,6 x 10-5 Vidro 8 x 10-6 
Ferro 1,2 x 10-5 Zinco 1,7 x 10-5 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Tabela 5 - Módulo de Elasticidade Transversal. 
Material Módulo de Elasticidade Transversal G [GPa] 
Aço 80 
Alumínio 26 
Bronze 50 
Cobre 45 
Duralumínio 14 28 
Fofo 88 
Magnésio 17 
Nylon 10 
Titânio 45 
Zinco 32 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
79 
Tabela 6 – Tensões. 
Materiais 
Tensão de 
escoamento 
de [Mpa] 
Tensão de 
ruptura 
[Mpa] 
Aço Carbono 
ABNT 1010 - L 220 
 - T 380 
ABNT 1020 - L 280 
 - T 480 
ABNT 1030 - L 300 
 - T 500 
ABNT 1040 - L 360 
 - T 600 
ABNT 1050 - L 400 
Aço Liga 
ABNT 4140 - L 650 
 - T 700 
ABNT 8620 - L 440 
 - T 700 
Ferro Fundido 
Cinzento - 
Branco - 
Preto - F - 
 - P - 
Modular - 
 
Materiais 
Tensão de 
escoament
o de [Mpa] 
Tensão de 
ruptura 
[Mpa] 
Materiais 
não ferrosos 
 
Alumínio 30 – 120 70 – 230 
Duralumínio 14 100 – 420 200 – 500 
Cobre Telúrio 60 – 320 230 – 350 
Bronze de níquel 120 – 650 300 – 750 
Magnésio 140 – 200 210 – 300 
Titãnio 520 600 
Zinco - 290 
Materiais 
não metálicos 
 
Borracha - 20 – 80 
Concreto - 0,8 – 7 
Madeiras 
Peroba - 100 – 200 
Pinho - 100 – 120 
Eucalipto - 100 – 150 
Plásticos 
Nylon - 80 
Vidro 
Vidro plano - 5 – 10 
 
L - laminado T - trefilado F - ferrítico P - perlítico 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Finalizamos mais uma unidade, novamente não se esqueça de refazer os 
exercícios do referencial recomendado. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
Resistências dos Materiais 
 
80 
 
Exercícios – unidade 4 
 
1.A barra circular representada na figura é de aço, possui d = 20 mm e 
comprimento l =0,8m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN. 
Pede-se determinar para a barra: 
a) Tensão normal atuante (). 
b) O alongamento (l). 
c) A deformação longitudinal (). 
d) A deformação transversal ( t). 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
81 
 
2.Determinar o diâmetro da barra 1 da construção representada na figura. O 
material da barra é o ABNT 1010L com e = 220 MPa, e o coeficiente de segurança 
indicado para o caso é k=2. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
3.A figura dada representa duas barras de aço soldadas na seção BB. A carga 
de tração que atua na peça é 4,5 kN. A seção 1 da peça possui d1 = 15 mm e 
comprimento. l 1 = 0,6 m, sendo que a seção 2 possui d2 = 25 mm e l 2 = 0,9 m. 
Desprezando o efeito do peso próprio do material, pede-se determinar para as 
seções 1 e 2. 
 
a) A tensão normal (1 e 2) 
b) O alongamento (l 1 e l 2) 
c) A deformação longitudinal (1 e 2) 
d) A deformação transversal (t1 e t2) 
e) O alongamento total da peça (l) 
Dados: Eaço = 210 GPa aço = 0,3 
Resistências dos Materiais 
 
82 
 
4.Uma barra circular possui d = 32 mm, e o seu comprimento l = 1,6 m. Ao ser 
tracionada por uma carga axial de 4kN, apresenta um alongamento l = 114μm. 
Qual o material da barra? 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
5.O lustre da figura pesa 120N, estará preso ao teto através do ponto A, por 
uma corrente de aço. Determinar o diâmetro do arame da corrente, para que 
suporte com segurança K = 5, o peso do lustre. O material do arame é o ABNT 
1010L com e = 220 MPa. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
83 
6.Uma barra de AI possui secção transversal quadrada com 60mm de lado e, o 
seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 36 kN. Determinar 
a tensão normal atuante na barra e o seu alongamento. 
EAl = 0,7 X 105 MPa 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
7.A coluna da figura dada suporta uma carga de 240 kN. Considerando o peso 
próprio do material, determinar as tensões atuantes nas seções AA; SS; CC. A 
coluna é de concreto, sendo que o bloco 1 tem h1 = 2m e área da seção transversal 
A1 = 0,24 m2, o bloco 2 tem h2 = 2m e área da seção transversal A2 = 0,36 m2. 
Dados:  concreto = 2 x 104 N/ m3 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Resistências dos Materiais 
 
84 
8.A viga AB absolutamente rígida suporta o carregamento da figura, suspensa 
através dos pontos AB, pelas barras 1 e 2 respectivamente. A barra 1 é de aço, 
possui comprimento l e área de seção transversal A1. A barra 2 é de Al, possui 
também comprimento l e área de seção transversal A2. Determinar a relação entre 
as áreas das secções transversais das barras, sabendo-se que a viga AB permanece 
na horizontal após a aplicação das cargas. Dados: Eaço = 210 GPa ; EAl = 70 GPa. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
 
9.Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal e 
esticada 1 mm quando uma massa de 225 kg e pendurada em sua extremidade 
inferior. Considerando g = 9,8m/s2, calcule o modulo de Young para a barra. 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
85 
 
10.Uma peça que pesa 123.000 kgf apoia-se sobre quatro peças de aço de baixa 
estatura, como indicado no desenho abaixo. Identifique as dimensões que a peça 
deve ter. As peças de apoio têm as seguintes medidas a x 5a. 
 
Fone: BOTELHO, M. H. C. 2013. 
 
Obs.: O peso próprio da estrutura só deve ser considerado nos cálculos 
quando o seu valor for significativo. No caso deste problema não será considerado. 
 
Resistências dos Materiais 
 
86 
 
 
Resistências dos Materiais 
 
87 
 
5 Cisalhamento Puro 
Resistências dos Materiais 
 
88 
Um elemento de construção submete-se a esforço de cisalhamento,quando 
sofre a ação de uma força cortante. Além de provocar cisalhamento, a força 
cortante dá origem a um momento fletor, que por ser de baixíssima intensidade, 
será desconsiderado neste capítulo. 
O cisalhamento está mais presente em nossas vidas do que se imaginamos: ao 
cortar uma folha, um pedaço de queijo ou aparas do papel com guilhotina, entre 
muitos outros exemplos. No caso de metais, podemos praticar o cisalhamento com 
tesouras, prensas de corte, dispositivos especiais ou simplesmente aplicando 
esforços que resultem em forças cortantes. Ao ocorrer o corte, as partes se 
movimentam paralelamente, por escorregamento, uma sobre a outra, separando-
se. A esse fenômeno damos o nome de cisalhamento. 
 
Objetivos da unidade: 
Ao final desta unidade, o aluno (a) deverá compreender os esforços de 
cisalhamento em um elemento de junta (rebite, parafusos, solda ou pinos), quando 
esta junta estiver sob tração ou compressão. 
 
Plano da unidade: 
 Força Cortante Q 
 Tensão de Cisalhamento () 
 Deformação do Cisalhamento 
 
Bons estudos! 
 
Resistências dos Materiais 
 
89 
 
Tensão de cisalhamento 
 
Tensão de cisalhamento ou tensão tangencial, ou ainda tensão de corte ou 
tensão cortante é um tipo de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos 
iguais ou opostos, em direções semelhantes, mas com intensidades diferentes no 
material analisado. Um exemplo disso é a aplicação de forças paralelas, mas em 
sentidos opostos, ou a típica tensão que gera o corte em tesouras. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Força Cortante Q. 
 
Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a área 
de seção transversal da peça. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Resistências dos Materiais 
 
90 
 
Tensão de Cisalhamento (). 
 
A ação da carga cortante sobre a área da seção transversal da peça causa nesta 
uma tensão de cisalhamento, que é definida através da relação entre a intensidade 
da carga aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento. 
࣎ ൌ 	 ࡽ࡭ࢉ࢏࢙ 
Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento, utiliza-
se o somatório das áreas das seções transversais para o dimensionamento. Se os 
elementos possuírem a mesma área de seção transversal, basta multiplicar a área 
de seção transversal pelo número de elementos(n). 
Tem-se então: 
࣎ ൌ 	 ࡽ࢔	.࡭ࢉ࢏࢙ 
 
onde: 
 = tensão de cisalhamento [Pa, ...] 
Q = carga cortante [N] 
Acis = área da seção transversal da peça [m2] 
n - número de elementos submetidos a cisalhamento [adimensional]. 
Se as áreas das seções transversais forem desiguais, o esforço atuante em 
cada elemento será proporcional a sua área de seção transversal. 
 
Resistências dos Materiais 
 
91 
 
Deformação do Cisalhamento 
 
Supondo-se o caso da seção transversal retangular da figura, observa-se o 
seguinte: 
Ao receber a ação da carga cortante, o ponto C desloca-se para a posição C', e 
o ponto D para a posição D', gerando o ângulo denominado distorção. A distorção 
é medida em radianos (portanto adimensional), através da relação entre a tensão 
de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade. 
A distorção é medida em radianos (portanto adimensional), através da relação 
entre a tensão de cisalhamento atuante () e o módulo de elasticidade transversal 
do material (G). 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Onde: 
 - distorção [rad.]; 
 - tensão de cisalhamento atuante [Pa]; 
G - módulo de elasticidade transversal do material [Pa]. 
Resistências dos Materiais 
 
92 
Tensão Normal () e Tensão de Cisalhamento () 
A tensão normal atua na direção do eixo longitudinal da peça, ou seja, 
perpendicular à seção transversal, enquanto que a tensão de cisalhamento é 
tangencial à seção transversal da peça. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Pressão de Contato d 
No dimensionamento das juntas rebitadas, parafusadas, pinos, chavetas etc., 
torna-se necessária a verificação da pressão de contato entre o elemento e a 
parede do furo na chapa (nas juntas). 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
A carga Q atuando na junta tende a cisalhar a secção AA (ver figura acima). 
Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento (parafuso 
ou rebite) e a parede do furo (região AB ou AC). A pressão de contato, que pode 
Resistências dos Materiais 
 
93 
acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é definida através da 
relação entre a carga de compressão atuante e a área da seção longitudinal do 
elemento, que é projetada na parede do furo. 
Tem-se então que: Região de contato AB e AC. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Pressão de Contato (Esmagamento). 
 
Quando houver mais de um elemento (parafuso ou rebite) utiliza-se: 
࣌ࢊ ൌ 	
ࡽ
࢔	. ࡭࢖࢘࢕࢐ ൌ
ࡽ
࢔ࢊ࢚ 
 
Resistências dos Materiais 
 
94 
 
Onde: 
(d) - pressão de contato [Pa] 
Q - carga cortante aplicada na junta [N] 
n - número de elementos [adimensional] 
d - diâmetro dos elementos [m] 
t - espessura da chapa [m] 
Distribuição ABNT NB14 (Norma). 
As distâncias mínimas estabelecidas pela norma e que deverão ser observadas 
no projeto de juntas são: 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
a) Na região intermediária, a distância mínima entre centros dos rebites deverá 
ser três vezes o diâmetro do rebite. 
b) Da lateral da chapa até o centro do primeiro furo, a distância deverá ter 
duas vezes o diâmetro do rebite na direção da carga. 
c) Da lateral da chapa até o centro do primeiro furo, no sentido transversal da 
carga, a distância deverá ter 1,5 (uma vez e meia) o diâmetro do rebite. 
Resistências dos Materiais 
 
95 
Para o caso de bordas laminadas, permite-se reduzir as distâncias d + 6mm 
para rebites com d < 26mm; d + 10mm para rebites com d > 26mm. 
Tensão Admissível e Pressão Média de Contato ABNT NB14- Material Aço 
ABNT 1020. 
 
Rebites 
Tração: ߪത = 140 MPa 
Corte: ߬̅ = 105 MPa 
Pressão média de contato (cisalhamento duplo): 
d = 280 MPa 
Pressão média de contato (cisalhamento simples): 
d = 105 MPa 
 
Parafusos 
Tração:  =140 MPa 
Corte: parafusos não ajustados ߬ ̅= 80 MPa 
Parafusos ajustados ߬ ̅= 105 MPa 
Pressão de contato média (cisalhamento simples): 
d = 225 MPa 
Pressão de contato média (cisalhamento duplo): 
d = 280 Mpa 
 
Resistências dos Materiais 
 
96 
 
Pinos 
Flexão: ߪത = 210 MPa 
Corte: ߬̅ = 105 MPa 
 
Pressão média de contato (cisalhamento simples): 
d = 225MPa 
 
Pressão média de contato (cisalhamento duplo): 
d = 280 MPa 
Em geral, a tensão admissível de cisalhamento é recomendável em torno de 
0,6 a 0,8 da tensão admissível normal. 
࣎ത ൌ ૙,૟	ࢇ	૙,ૡ࣌ഥ 
Exemplos 
1) Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
Solução: 
A tensão de cisalhamento atuante no plano A, é definida através da 
componente horizontal da carga de 300 kN, e área da seção A. 
Resistências dos Materiais 
 
97 
Tem-se então que: 
࣎ ൌ ૜૙૙.૙૙૙	 ൈ 	ࢉ࢕࢙	૜ૠ
࢕
૛૙૙	 ൈ 	૚૙	ି૜ ൈ 	૚૛૙	 ൈ 	૚૙ି૜ 
࣎ ൌ ૚૙ࡹࡼࢇ 
 
2) O conjunto representado na figura é formado por: 
a) Parafuso sextavado M12. 
b) Garfo com haste de espessura 6 mm. 
c) Arruela de pressão. 
d) Chapa de aço ABNT 1020 espessura 8 mm. 
e) Porca M12. 
 
Fonte: MELCONIAN, S. 1999. 
 
Supor que não haja rosca no parafuso, nas regiões de cisalhamento e 
esmagamento. 
A carga Q que atuará no conjunto é de 6 kN. Determinar: 
a) a tensão de cisalhamento atuante. 
Resistências dos Materiais 
 
98 
b) a pressão de contato na chapa intermediária. 
c) a pressão de contato nas hastes