Gabarito da lista 6 de Matemática para Administração (MAC 119)

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Gabarito da lista 6 de Matema´tica para Administrac¸a˜o (MAC 119)
Professor: Daniel Souza
Exerc´ıcio 1. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫ (
x7 + 9x4 + 3x2 + x + 5
)
dx =
x8
8
+
9x5
5
+ x3 +
x2
2
+ 5x + C.
(b)
∫ (
x8 + cosx
)
dx =
x9
9
+ sen x + C.
(c)
∫
5dx = 5x + C.
(d)
∫
(ex + 3sen x) dx = ex − 3 cosx + C.
(e)
∫
sen x√
1 + cosx
dx. Fazendo u = 1 + cosx temos que dudx = −sen x
e, portanto, −du = sen xdx. Da´ı,
∫
sen x√
1 + cosx
dx =
∫ −1√
u
du =
−2√u + C = −2√1 + cosx + C.
(f)
∫
e7xdx =
e7x
7
+ C.
(g)
∫
1√
x
dx =
∫
x−
1
2dx =
x−
1
2
+1
−12 + 1
+ C =
x
1
2
1
2
+ C = 2
√
x + C.
(h) Vamos usar substituic¸a˜o para calcular
∫
1
(2x + 1)2
dx. Seja u = 2x+1.
Temos que dudx = 2 e, portanto, dx =
du
2 . Assim,
∫
1
(2x + 1)2
dx =∫
1
2u2
du = − 1
2u
+ C = − 1
4x + 2
+ C.
(i)
∫
sen x
cos5 x
dx. Fazendo u = cosx temos que dudx = −sen x e, portanto,
−du = sen xdx. Da´ı,
∫
sen x
cos5 x
dx =
∫ −1
u5
du =
1
4u4
+C =
1
4 cos4 x
+
C.
(j)
∫
sen(2x)
1 + 3sen2x
dx. Fazendo u = 1+3sen2x temos que dudx = 6sen x cosx =
3sen(2x) e, portanto, du3 = sen(2x)dx. Da´ı,
∫
sen(2x)
1 + 3sen2x
dx =
∫
1
3u
du =
1
3
log |u|+ C = 1
3
log
∣∣1 + 3sen2x∣∣+ C = 1
3
log
(
1 + 3sen2x
)
+ C.
2
(k)
∫
cos (
√
x)√
x
dx. Fazendo u =
√
x temos que dudx =
1
2
√
x
e, portanto,
2du = dx√
x
. Da´ı,
∫
cos (
√
x)√
x
dx =
∫
2 cosudu = 2sen u + C =
2sen
(√
x
)
+ C.
(l)
∫
lnx
x
dx. Fazendo u = lnx temos que dudx =
1
x e, portanto, du =
dx
x .
Da´ı,
∫
lnx
x
dx =
∫
udu =
u2
2
+ C =
(lnx)2
2
+ C.