Questão resolvida - Utilizando a integração por substituição, resolva as integrais que seguem_ - Cálculo II - UNIAVAN

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• Considerando e duas funções tais que . Supondo que g seja F x( ) f x( ) F' x = f x( ) ( )
outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de f, então, 
pela regra da cadeia temos que:
 
F g x ' = F' g x ⋅ g' x = f g x ⋅ g' x[ ( ( ))] ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
 
Isto significa que é uma primitiva de .F g x( ( )) f g x ⋅ g' x( ( )) ( )
 
Temos, então, que:
 
f g x ⋅ g' x dx = F g x + c∫ ( ( )) ( ) ( ( ))
 
 Fazendo , e substituindo em I, obtemos que:u = g x( ) du = g' x( )
 
f g x ⋅ g' x dx = f u du = F u + c∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) ( )
 
Utilizando a integração por substituição, resolva as integrais que seguem:
 
a sen 2x + 1 dx)∫ ( )
 
b x + 5 dx)∫( )3
 
c e dx)∫ 4x
 
Resolução:
 
a)
Fazemos a seguinte substituição: u = 2x + 1 du = 2dx 2dx = du dx =→ → →
du
2
 
Substituindo na integral e resolvendo fica;
 
 
 
(1)
sen 2x + 1 dx = sen u = -cos u + c∫ ( ) ∫ ( )du
2
1
2
( ( ))
Como , temos que:u = 2x + 1
 
sen 2x + 1 dx = - cos 2x+ 1 + c∫ ( ) 1
2
( )
 
b)
 
Fazemos a seguinte substituição: u = x + 5 du = dx dx = du→ →
 
Substituindo na integral e resolvendo fica;
 
x + 5 dx = u du = + c∫( )3 ∫ 3 u
4
4
Como , temos que:u = x + 5
 
x + 5 dx = + c∫( )3 x+ 5
4
( )4
 
c)
 
Fazemos a seguinte substituição: u = 4x du = 4dx 4dx = du dx =→ → →
du
4
 
Substituindo na integral e resolvendo fica;
 
e dx = e = + c∫ 4x ∫ u du
4
e
4
u
Como , temos que:u = 4x
 
e dx = + c∫ 4x e
4
4x
 
 
(Resposta )
(Resposta )
(Resposta )