Aulas AV2

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1 
PROBABILIDADE 
6 
1 - CONCEITOS PRELIMINARES 
Em geral, um experimento 
determinístico, ao ser observado e 
repetido sob um mesmo conjunto 
específico de condições conduz 
invariavelmente ao mesmo resultado. 
Existem experimentos que 
apresentam um novo resultado a 
cada realização, mesmo que sob 
condições idênticas. 
A variabilidade no resultado destes 
experimentos estatísticos é objeto de 
estudo da Teoria de Probabilidade. 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 Um experimento é dito 
aleatório quando o seu 
resultado não for previsível 
antes da sua realização, ou 
seja, é um experimento cujos 
resultados estão sujeitos 
unicamente ao acaso. 
 
EXEMPLOS 
1. No lançamento de um dado honesto, observe 
o número da face voltada para cima. 
2. No lançamento de uma moeda por quatro 
vezes, observe o número de caras obtido. 
3. Uma lâmpada ao ser fabricada e ensaiada. 
Observe o seu tempo de vida. 
4. Observe o tempo de espera de uma 
determinada pessoa numa fila para 
atendimento. 
5. Peças são fabricadas até que 10 peças 
perfeitas sejam produzidas. O número total 
de peças é observado. 
2 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 Espaço amostral é o conjunto de 
todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. Geralmente é 
denotado como S. 
EXEMPLOS 
1. No lançamento de um dado honesto, observe o 
número da face voltada para cima. 
 
2. No lançamento de uma moeda por quatro vezes, 
observe o número de caras obtido. 
 
3. Uma lâmpada ao ser fabricada e ensaiada. 
Observe o seu tempo de vida. 
 
4. Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas 
sejam produzidas. O número total de peças é 
observado. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
S = {0, 1, 2, 3, 4} 
S = {t  R | t  0} 
S = {10, 11, 12, 13,….} 
EXEMPLOS 
EXEMPLO: 
Lançamento de dois dados. 
 1 2 3 4 5 6 
1 11 12 13 14 15 16 
2 21 22 23 24 25 26 
3 31 32 33 34 35 36 
4 41 42 43 44 45 46 
5 51 52 53 54 55 56 
6 61 62 63 64 65 66 
EXEMPLOS 
EXEMPLO: Baralho de 52 cartas. 
 
 
 
 
Às, 
2 ... 10 
 Rei, Dama, Valete 
 
Às, 
2 ... 10 
 Rei, Dama, Valete 
Às 
2 ... 10 
Rei, Dama, Valete 
Às 
2 ... 10 
Rei, Dama, Valete 
3 
DIAGRAMA DE ÁRVORE 
EXEMPLO: Um experimento consiste em se 
jogar uma moeda e jogá-la pela segunda vez, 
caso ocorra uma cara. Se uma coroa ocorre no 
primeiro lançamento, então um dado é lançado 
uma única vez. Listar os elementos de S. 
 
EVENTOS 
 
 É qualquer subconjunto 
de um espaço amostral. 
Geralmente denotado por 
uma letra maiúscula. 
 Dizemos que o evento A 
ocorre se qualquer um 
dos resultados de E 
ocorre. 
 
EXEMPLOS 
Considere a jogada de um dado e observe o 
número da face voltada para cima. 
O espaço amostral é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
O evento A = número par é o conjunto: 
A = {2, 4, 6} 
 
O evento B = número maior que 5 é o conjunto: 
B = {6} 
4 
EVENTOS 
 EVENTO SIMPLES: 
formado apenas por um elemento do 
 espaço amostral 
 
Ex.:  = lançamento de um dado 
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 C = sair face 4 
 C = { 4 } 
 EVENTO COMPOSTO: 
formado por dois ou mais elementos 
do espaço amostral 
 
Ex.: 
 = lançamento de um dado 
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
D = sair face maior que 3 
 
EVENTOS 
D = { 4, 5, 6 } 
Evento Certo 
EVENTOS 
ocorre em qualquer das 
realizações do experimento 
 
Ex.: 
 = lançamento de um dado 
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
E = sair face menor que 7 
 
 EVENTO IMPOSSÍVEL: 
não ocorre em qualquer realização do 
experimento 
Ex.: 
 = lançamento de um dado 
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
F = sair face maior que 6 
 
EVENTOS 
5 
OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Evento União: (A  B) 
 
S 
OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Evento Interseção: A ∩ B 
 
S 
OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Evento complementar: AC 
 
S Ac 
OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Eventos Mutuamente Exclusivos 
S 
6 
EXEMPLOS 
Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço 
amostral e os eventos: 
a) faces iguais; 
b) cara na 1ª. moeda; 
c) coroa na 2ª. e 3ª. moedas. 
 C K 
C CC CK 
K KC KK 
 CC CK KC KK 
C CCC CCK CKC CKK 
K KCC KCK KKC KKK 
2 MOEDAS 
3 MOEDAS 
a) A = { ccc ; kkk } 
b) B = { ccc ; cck ; ckc ; ckk } 
c) C = { ckk ; kkk } 
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 P ( A ) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A 
 N. º total de casos possíveis 
Retira-se uma carta de um baralho completo 
de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um 
Às? 
AXIOMAS 
 0  P(A) 1, para todo A 
 
 P(S) = 1 
 
 P( ) = 0 
 
 
7 
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Seja  = jogar uma moeda duas vezes e observar o resultado. 
Qual a probabilidade de se obter pelo menos 1 cara ? 
Um dado é construído de tal forma que um número par é 
duas vezes mais provável de acontecer do que um ímpar. 
Seja A = um número menor que 4 ocorre. 
Calcular P(A) 
Seja o mesmo dado do exercício anterior 
B - um número par ocorre 
C - um número divisível por três ocorre 
Calcular: 
a) P(B  C) 
b) P(B  C) 
TEOREMA DA SOMA 
P (A+B) = P (A) + P(B) - P (A  B) , se A  B   
P (A+B) = P (A) + P(B) , se A  B =  
Retira-se uma carta de um baralho completo 
de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei 
ou uma carta de espadas? 
EXEMPLO 
Uma caixa com bolas contém 6 vermelhas, 4 azuis e três pretas. 
Se uma pessoa escolhe aleatoriamente 1 destas bolas, ache a 
probabilidade de escolher: 
a) 1 vermelha 
b) 1 azul ou 1 preta 
A probabilidade de Paulo passar em Matemática é 2/3 e a 
probabilidade de passar em Inglês é 4/9. Se a probabilidade de 
Paulo passar em ambas as disciplinas é 1/4, qual a probabilidade 
de que Paulo passe em pelo menos uma das duas disciplinas? 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Sendo A e B eventos, define-se a probabilidade 
condicional do evento A dado que B ocorreu 
(ou probabilidade de A sabendo-se que B 
ocorreu) por: P(A / B) 
 
 )B(P
)BA(P
 P(A/B)


 , se P(B)  0 
 
Beventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
BAeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
)B/A(P

 
8 
EXEMPLO 
Seja o experimento lançar um dado e verificar o resultado. 
Sejam os eventos: 
A= {sair o número 3} e B = {sair um número ímpar} 
Calcular P(A), dado que já ocorreu o evento B. 
Dois dados são lançados. Considere os eventos: 
A= {(x1, x2) | x1 + x2 = 10} 
B = {(x1, x2) | x1 > x2} 
Determinar: 
a) P(A) 
b) P(B) 
c) P(A/B) 
d) P(B/A) 
EXEMPLO 
Sendo P(A) = 1/3 , P(B) = ¾ e P(A U B) = 11/12 , calcular 
P(A/B). 
Numa dada cidade, tem-se a seguinte situação: 
Qual a probabilidade de um homem ser escolhido, dado 
que está empregado? 
EXEMPLO 
A probabilidade de um voo regular partir no horário é P (D) = 0,83 ; a 
probabilidade deste voo chegar no horário é P(A) = 0,82; a probabilidade de que 
parta e chegue no horário P(D∩A) = 0,78. Calcule: 
a) A probabilidade do voo chegar no horário tendo saído no horário e 
b) A probabilidade do voo ter saído no horário dado que chegou no horário. 
9 
EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 Se A e B são independentes, então: 
 
 
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) 
 
EXEMPLO 
Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável 
Sejam A = {1, 2} B = {2, 3} C = {4}, três eventos de S. 
Verificar quais eventos são independentes. 
EXEMPLO 
Lança-se um par de dados não-viciados. 
Determine: 
 
a) A probabilidade de ocorrer face dois em qualquer um 
deles. 
 
b) A probabilidade da soma das faces ser 6. 
 
c) Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a 
face 2 em qualquer um deles? 
 
d) Os eventos soma é 6 e face 2 em qualquer um deles, 
são independentes? 
TEOREMA DO PRODUTO 
 
 P(A  B) = P(A). P(B/A)  se A e B forem 
 dependentes 
 P(A  B) = P(A). P(B)  se A e B forem 
 independentes 
 
10 
EXEMPLO 
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são 
retiradas, uma após a outra,sem reposição. Qual a probabilidade 
de que ambas sejam boas? 
Um saco contém 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. Um segundo 
saco contém 3 bolas brancas e 5 pretas. Uma bola é retirada do 
primeiro saco e colocada no segundo. Qual a probabilidade de 
se retirar uma bola preta do segundo saco? 
Uma pequena cidade tem um extintor de incêndio e uma 
ambulância disponíveis para emergências. A probabilidade do 
extintor estar disponível quando necessário é de 0,98 e a 
probabilidade da ambulância estar disponível quando chamada é 
de 0,92. No caso de um acidente com vítimas resultante de um 
incêndio em um edifício, qual a probabilidade de que tanto o 
extintor como a ambulância estejam disponíveis ? 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 Supondo que os eventos A1 , A2 , ... , Ai, 
constituam uma partição de S, então: 
 
P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An) = P(Ai).P(B/Ai) 
 
EXEMPLO 
Em uma fábrica, 3 máquinas B1, B2 e B3 fazem, 
respectivamente, 30%, 45% e 25% dos produtos. Sabe-se de 
experiências passadas que 2%, 3% e 2%, respectivamente 
dos produtos fabricados são defeituosos. 
Suponha que um produto seja escolhido ao acaso. Qual a 
probabilidade de ele ser defeituoso ? 
 
TEOREMA DE BAYES 
Seja B um evento desse espaço amostral. Sejam conhecidas P(A) e 
P(B/A). Então: 
 
11 
EXEMPLO 
No exemplo anterior, um produto foi escolhido ao acaso e 
verificou-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de ter 
sido fabricado pela máquina B3 ? 
 
 
EXEMPLO 
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola 
também ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual 
a probabilidade da bola ter vindo da urna 1 ? E da urna 2 ? 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
1 
 
GABARITOS 
 
1) a) 50% b) 16,67% c) 50% 
2) a) 80% b) 70% c) 50% 
3) P(A) = 57,14% P(B) = 28,57% P(C) = 14,29% P(B U C) = 42,86% 
4) a) 
 
1 2 3 4 5 6
c 1c 2c 3c 4c 5c 6c
k 1k 2k 3k 4k 5k 6k 
b) A = { 2c, 4c, 6c } 
 B = { 2c, 2k, 3c, 3k, 5c, 5k } 
 C = { 1k, 3k, 5k } 
c) A ou B = { 2c, 2k, 3c, 3k, 4c, 5c, 5k, 6c } 
 A e B = { 2c } 
 somente B = { 2k, 3c, 5c } 
d) Somente A e C são mutuamente exclusivos. 
5) 
I – 
1
60
77
5
1
4
1
3
1
2
1

 logo, I não é função de probabilidades 
II – 
 
4
1
aP 3 
 é um número negativo, logo, II não é função de probabilidades 
III – os valores são não negativos e a soma das probabilidades é igual a 1, logo, III é função de 
probabilidades 
IV – os valores são não negativos e a soma das probabilidades é igual a 1, logo, IV é função de 
probabilidades 
6) 40% 
7) A e B são independentes, A e C são independentes e B e C são dependentes 
8) 25,45% 
9) 8,33% 
10) a) 3,7% b) 40,54% 
11) a) P(a1) = 
18
7
 b) P(a1) = 
3
1
 e P(a2) = 
6
1
 
12) 66,67% 
13) P(A/B) = 22,22% 
14) P(A ∪ B) = 62,5% 
15) i) 12,16% ii) 8,11% iii) 48,65% iv) 15,38% 
16) a) 34% b) 18,18% 
17) a) 7,95% b) 29,3% c) 3,3% d) 70,7% 
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2 
18) a) S = { 0, 1, 2, 3, ..., n } onde n = no. máximo de peças produzidas 
 b) S = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } 
 c) 
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE 
d) 
B AB
C AC
D AD
E AE
A BA
C BC
D BD
E BE
A CA
B CB
D CD
E CE
A DA
B DB
C DC
E DE
A EA
B EB
C EC
D ED
A
B
C
D
E
 
19) a) A afirmação é verdadeira, P(A) = P(B) = 80% 
b) A e B são dependentes pois não há reposição dos elementos selecionados. 
20) a) 30% b) 68% 
21) a) 50% 
 N = não pretende continuar os estudos 
 M = Classe Média 
 N e M são dependentes pois P(N)= 0,60  P(N/M) = 0,50 
b) 12,5% 
 C = pretende continuar os estudos 
 B = Classe Baixa 
 C e B são dependentes pois P(B)= 0,375  P(B/C) = 0,3125 
22) a) 25,5% b) 14,71% c) 20,83% 
23) a) 32% b) 24,5% 
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3 
24) 40% 25) 83,33% 26) 60% 27) 4% 28) 13,33% 29) 71,58% 
30) a) S = { x, 0  x  100} onde x = notas obtidas 
 b) S = {passar, não passar} 
 c) S = { x, 1  x  6} onde x = peso de recém nascidos 
 d) S = 
 
1 2 3 4 5 6
c 1c 2c 3c 4c 5c 6c
k 1k 2k 3k 4k 5k 6k 
 c = cara k = coroa 
 e) S= 
 FF FM MF MM 
FF FFFF FFFM FFMF FFMM 
FM FMFF FMFM FMMF FMMM 
MF FMFF FMFM FMMF FMMM 
MM FMFF FMFM FMMF FMMM 
 
 F = feminino M = masculino 
 f) S = 
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE 
31) a – b – c - f 
32) a) 50% b) 75% c) 75% d) 0 
33) a) 16,67% b) 83,33% c) 41,67% d) 50,00% e) 20% f)16,67% g)0 
34) 5% 
35) a) 55% b) 46,67% c) 28,33% d) 64,29% e) 62,96%Um 
36) 0,1% - 99,9% 
37) a) 6,25% b) 5% c) 60%d) 15% 
38) 60% 
39) a) 65% b) 36,67% c) 20,83% d) 32,05% e)44,17% f) Sim 
40) 24,8% 41) 30% 
42) a) 34,2% b) 12,7% c) 3,8% d) 16,5% e) 41,8% f)54,4% 
43) a) 12,5% b) 37,5% 
44) a) 33,33% b) 16,67% c) 50% d) 66,67% e) 83,33% f) 75% 
45) a) 62,5% b) 37,5% c) 20,83% d) 55,55% 
46) a) 40% b) 30% c) 10% d) 60% 
 
 
 
1
VARIÁVEL ALEATÓRIA
7
VARIÁVEL ALEATÓRIA
S
característica
qualitativa
quantitativa
discreta
contínua
Definição: 
VARIÁVEL ALEATÓRIA é a função 
que associa cada elemento de S a um 
número real.
Xv.a.
VARIÁVEL ALEATÓRIA
S
CC
KC
CK
KK
X: número de caras em 2 lances de moeda
0 1 2
X = 0 ⇔ KK
X = 1 ⇔ KC ∪ CK
X = 2 ⇔ CC
P(X = 0) = P(KK)
P(X = 1) = P(KC ∪ CK)
P(X = 2) = P(CC)
(imagem)
Experimento: jogar 1 moeda 2 vezes e observar o resultado
(C = cara e K = coroa)
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Definição: 
Uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis 
(imagem) for finito ou infinito numerável.
P(X = xi) ≥ 0 para todo i
1
( ) 1i
i
P X x
∞
=
= =∑
Função de Probabilidade
( ) ( )f x P X x= =
EXEMPLOS
a) jogar dados
X: ponto obtido no dado
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X: = 1 se ponto for igual a 6
X: = 0 caso contrário
X = {0, 1}
b) jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes)
X: número de caras em 5 lances
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
EXEMPLOS
Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição,
de uma caixa que contém 4 bolas vermelhas e 3 pretas.
Seja X a variável aleatória “número de bolas vermelhas
retiradas no experimento” Quais os valores assumidos por
“X” ?
Quais são DISCRETAS e quais são CONTÍNUAS?
• número de dias chuvosos em um mês
• precipitação diária medida no pluviômetro
• número de alunos presentes na sala de aula
• vazão em uma dada seção do rio
• idade dos alunos de uma sala
• peso dos alunos desta sala
• número de disciplinas cursadas por aluno
• evaporação mensal de um açude
• velocidade do vento
2
EXEMPLOS
É possível que o próprio resultado do experimento já possa
ser expresso como uma VA?
Sim. Exemplo, VA resultado da jogada de um dado. 
Pode-se a um experimento associar-se mais de uma VA?
Sim. Por exemplo, no caso das moedas, seja X uma VA que
representa o número de caras do experimento e Y uma VA que
representa o número de coroas.
VALOR ESPERADO
• → se X for discreta 
• → se X for contínua
∑
=
==
n
i
ii xXPxXE
1
)()(
∫
∞
∞−
= dxxfxXE )(.)(
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
•
• VARDP =
( ) ( )[ ]
( ) in
i
pXXE
onde
XEXEXVAR
∑
=
=
−=
1
22
22
,
)(
EXEMPLOS
Seja um sistema de teste de celulares. Cada celular tem 80%
de chance de ser reprovado em um teste. Em um
experimento, três equipamentos são testados. Supondo que
cada equipamento é independente do outro, estabeleça a
distribuição de probabilidade do número X de equipamentos
que são reprovados e calcule a média e o desvio padrão
dessa v.a.
EXEMPLOS
O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa
peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade:
a) Calcule o tempo médio de processamento.
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00
mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha
$0,50 em cada minutopoupado. Por exemplo, se ele processa a
peça em quatro minutos, ganha a quantia adicional de $1,00.
Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia em
$ ganha por peça.
t 2 3 4 5 6 7
P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
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1 
GABARITO 
1) 27,8% 
 
 
2) a) 
X 0 1 2 3 
P(x) 8/27 12/27 6/27 1/27 
b) E(X) = 1 
 
 
3) R$ 100,00 
 
4) a) 
X 0 1 2 
P(x) 7/26 14/26 5/26 
b) P(X  1)=21/26 
 
5) 2,7 
 
6) a) 
X -17 -14 -11 3 5 7 
P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
b) E(X)= R$-4,5 
 
7) (R$ 9,21) 
 
8) a) 
Resultados Probabilidade X 
PP 6/15 0 
PV 4/15 1 
VP 4/15 1 
VV 1/15 2 
 
b) 
X 0 1 2 
P(x) 6/15 8/15 1/15 
 
 
9) 2,5 é a média do salário médio amostral e 0,791 é o desvio padrão do salário médio amostral 
 
10) Se João apostar diversas vezes, espera-se que ele tenha um lucro de R$2,50. Como ele apos-
ta sempre R$3,00, não é vantagem João apostar. 
 
11) a) 
X -5 0 5 
P(x) 4/6 1/6 1/6 
b) E(X) = R$-2,50 
 
1 
MODELOS TEÓRICOS 
DISCRETOS 
8 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Experimento binomial é o experimento que consiste em : 
O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, 
um número finito de vezes (n); 
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o 
resultado de uma não deve afetar os resultados das 
sucessivas. 
Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis 
resultados: sucesso e fracasso. 
No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso 
e a probabilidade q = 1 – p do fracasso serão constantes. 
 
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade 
de se obterem x sucessos em n tentativas. 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
  xnxqp
x
n
xXP 





 onde x=0,1,2,...,n 
sendo: 
  !!
!
xnx
n
x
n







 
 
  qpnXDP
qpnXVAR
npXE
..
..



P(X= x) a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas; 
p a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – 
sucesso; 
q a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa 
prova – fracasso; 
com: Medidas 
descritivas 
EXEMPLOS 
1. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e 
 independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 
 3 caras nessas 5 provas? 
2 
EXEMPLOS 
2. Jogando‐se um dado três vezes, determine a 
 probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes. 
EXEMPLOS 
3. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. 
 Encontre a probabilidade do time A : 
a) ganhar 4 jogos; 
b) ganhar dois ou três jogos; 
c) ganhar pelo menos um jogo. 
EXEMPLOS 
4. Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de 
 certa máquina, que apresenta 10% de peças 
 defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos 
 dois deles? 
EXEMPLOS 
5. Você tem uma carteira com 15 ações. No pregão de 
 ontem 75% das ações na bolsa de valores caíram de 
 preço. Supondo que as ações que perderam valor têm 
 distribuição binomial: 
a) Quantas ações da sua carteira você espera que tenham 
caído de preço? 
b) Qual o desvio padrão das ações que tem na carteira? 
c) Qual a probabilidade que as 15 ações da carteira tenham 
caído? 
d) Qual a probabilidade que tenham caído de preço exatamente 
10 ações? 
e) Qual a probabilidade que treze ou mais ações tenham caído 
de preço? 
3 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 Depois da binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de 
probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser aplicada a 
muitos casos práticos nos quais interessa o número de vezes que 
um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de 
tempo ou num determinado ambiente físico, denominados área de 
oportunidade (comprimento, tempo, superfície, etc.), por exemplo: 
 
 O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano; 
 O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia 
em um mês; 
 Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante 
um período de 15 minutos 
 Defeitos por unidade (cm, m, etc.) por peça fabricada 
 Erros tipográficos por página, em um material impresso 
 Usuários de computador ligados à Internet 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Nos exemplos, não há como determinar‐se a probabilidade de 
ocorrência de um sucesso, mas sim a frequência média de sua 
ocorrência, como, por exemplo, dois suicídios por ano. 
 
Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a 
ocorrência de eventos ao longo de intervalos especificados. 
 
A variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo. 
 
Os intervalos podem ser de tempo, distância, área, volume ou alguma 
unidade similar. 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
!x
e
xXP
x


Onde: 
X  é o número de ocorrências 
e  é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828) 
  é a taxa média por unidade 
 
  



XVAR
XE
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 
Medidas 
descritivas 
EXEMPLOS 
1. Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 
 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste 
 PABX não receber nenhuma chamada durante um 
 intervalo de 1 minuto? 
4 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial 
nestes aspectos fundamentais: 
 
A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e 
pela probabilidade p, enquanto que a distribuição de Poisson é 
afetada apenas pela média ; 
 
Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável 
aleatória x são 0; 1; 2; ...; n, mas a distribuição de Poisson tem os 
valores de x de 0; 1; 2; ..., sem qualquer limite superior. 
 
Obs: 
O parâmetro λ é usualmente referido como taxa de ocorrência. 
EXEMPLOS 
2. O número de mulheres que entram diariamente em uma 
 clínica de estética para bronzeamento artificial 
 apresenta distribuicão de Poisson, com média de 5 
 mulheres por dia. Qual a probabilidade de que em um 
 dia particular, o número de mulheres que entram nesta 
 clínica de estética para bronzeamento artificial, seja: 
 
a) Igual a 2? 
b) Inferior ou igual a 2? 
EXEMPLOS 
3. Considere a v.a. X = número de projetos que um 
 engenheiro executa. No mês em curso relativo ao 
 último ano obteve-se uma média de 6,5 projetos 
 executados por semana (5 dias). Qual é a probabilidade 
 de que, durante uma semana qualquer: 
 
a) Não execute nenhum projeto 
b) Execute ao menos um projeto 
c) Execute mais de um projeto 
d) Não executar nenhum projeto no período de um dia 
EXEMPLOS 
4. A experiência passada indica que um número médio de 
 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa 
 bomba. 
 
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer 
hora? 
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em 
qualquer hora? 
c) Qual é o valor esperado, a média, e o desvio padrão para 
esta distribuição? 
5 
EXEMPLOS 
5. Um departamento de polícia recebe em média 5 
 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber 2 
 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente? 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
1 
GABARITO 
 
1) a) 53,14% b) 46,86% c) 11,43% d) 88,57% e) 1,59% 
 
2) a) 1,02% b) 98,98% c) 33,70% 
 
3) 63,31% 
 
4) a) 87,04% b) R$522.240,00 
 
5) 67,78% 
 
6) a) 34,56% b) 97,44% c) 47,52% 
 
7) a) E(X) = 15 e Var(X) = 14,55 b) 1.500 parafusos 
 
8) 19,54% 
 
9) a) 1,83% b) 7,33% c) 14,65% d) 90,84% 
 
10) a) 59,87% b) 1,16% 
 
11) a) 44,93% b) 14,38% 
 
12) 19,01% 
 
13) a) 91,97% b) 6,13% c) 8,03% 
 
14) 18,04% 
 
15) 23,44% 
1 
MODELOS TEÓRICOS 
CONTÍNUOS 
9 
Médias, desvios e sinos … 
 Uso da curva normal 
Freqüência 
Variável X 
Média 
Alta frequência 
Baixa 
frequência 
Área sob a curva permite obter 
as probabilidades 
CARACTERÍSTICAS DA CURVA 
 Na teoria, prolonga-se de: 
 – infinito a + infinito 
Área sob toda a curva igual a 100% 
 Simétrica 
 Área de cada lado igual a 50% 
2 
DISTRIBUIÇÃONORMAL PADRÃO 
A distribuição normal padrão é uma distribuição 
de probabilidade normal com média (μ) igual a 0 
e desvio padrão (σ) igual a 1. 
AINDA BEM! 
 Mas … ainda bem as áreas já 
estão calculadas em tabelas 
padronizadas 
 Tabelas permitem obter de 
forma rápida e simples os 
valores das áreas sob a 
curva 
 Para isso …. é preciso 
calcular valores 
padronizados da variável 
NA TABELA … 
Z = +1,25 
1
,2
0
 
0,05 
Z 0,04 0,05 0,06 
0,00 0,0160 0,0199 0,0239 
0,10 0,0557 0,0596 0,0636 
... ... ... ... 
1,10 0,3729 0,3749 0,3770 
1,20 0,3925 0,3944 0,3962 
1,30 0,4099 0,4115 0,4131 
Área = 39,44% 
Tabelas facilitam os cálculos 
(Entre a 0 e Z) 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,00 0 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
Para Z =0,64 
0,2389 
3 
Como a curva é simétrica … 
 O que vale para 
o lado positivo 
vale para o lado 
negativo Z 0,00 0,01 0,02 
0,00 (0,0000) 0,0040 0,0080 
0,10 0,0398 0,0438 0,0478 
1,50 0,4332 0,4345 0,4357 
NA TABELA … 
Z = -1,50 
1
,5
0
 
0,00 
Área = 43,32% 
Para encontrar o valor da probabilidade, 
primeiro desenhe um gráfico, sombreie a 
região desejada e pense em uma maneira 
de achar a área correspondente. 
 
 P(a<z<b): 
probabilidade do escore z estar entre a e b 
 P(z>a): 
probabilidade do escore z ser maior que a 
 P(z<a): 
probabilidade do escore z ser menor que a 
ENCONTRANDO PROBABILIDADES EXEMPLO 
 P(-1,28 < Z < 0) 
 P(0 < Z < 1,48) 
 P(-0,85 < Z < 2,18) 
 P(Z < 2,15) 
 P(Z > 1,22) 
 P(Z > -1,76) 
 P(Z < -0,43) 
 P(Z=2) 
 P(1,78 < Z < 2,15) 
 P( -2,31  Z  -1,41) 
 
 
4 
EQUIVALÊNCIA ENTRE NORMAL E 
NORMAL PADRÃO 
A área em qualquer distribuição normal limitada 
por um escore x é igual à área limitada pelo 
escore z equivalente na distribuição normal 
padrão. 
CONVERTENDO A VARIÁVEL 
ORIGINAL 



x
Z
x 
Suponha um consultor investigando o 
tempo que os trabalhadores de uma 
fabrica levam para montar determinada 
peça. Suponha que analises da linha de 
produção tenham calculado o tempo médio 
de 75 segundos e desvio padrão de 6 
segundos. 
a) Qual a probabilidade de um trabalhador 
levar um tempo entre 75 e 81 segundos 
para montar uma peça? 
APLICAÇÃO 
Suponha um consultor investigando o 
tempo que os trabalhadores de uma 
fabrica levam para montar determinada 
peça. Suponha que analises da linha de 
produção tenham calculado o tempo médio 
de 75 segundos e desvio padrão de 6 
segundos. 
a) Qual a probabilidade de um 
 trabalhador levar um tempo entre 75 
 e 81 segundos para montar uma 
 peça? 
APLICAÇÃO 
5 
b) Qual a probabilidade de um trabalhador 
montar uma peca entre 69 e 81 
segundos? 
c) Qual a probabilidade de um trabalhador 
montar uma peca em menos de 62 
segundos? 
d) Qual a probabilidade de um trabalhador 
montar uma peca entre 62 e 69 
segundos? 
APLICAÇÃO 
INVERTENDO A ORDEM DA PROCURA 
Em algumas 
situações, com base 
na probabilidade é 
preciso obter os 
valores de X 
Alguns cuidados são 
necessários … 
e) Em qual intervalo de tempo 99,7% dos 
trabalhadores montam um peca? 
f) Qual o tempo que separa os 90% mais 
rápidos dos 10% mais lentos ? 
APLICAÇÃO 
Um marinheiro recebe um telegrama 
avisando que sua esposa deu a luz naquele 
dia, 308 dias apos sua última visita. Sendo 
que os prazos de gravidez tem distribuição 
normal com media de 268 dias e desvio 
padrão de 15 dias, pergunta-se: o 
marinheiro deve se preocupar...? 
APLICAÇÃO 
6 
As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem 
distribuição aproximadamente normal com 
média 170cm e desvio padrão de 5cm. 
a) Qual o número esperado de alunos com 
altura superior a 165cm? 
b) Qual o intervalo simétrico em torno da média 
que conterá 75% das alturas dos alunos? 
EXEMPLOS 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
1 
GABARITO 
 
1) 15,87% 
 
2) a) 40,13% b) 19,33% 3) a) 8.413 alunos b) de 164,25cm à 175,75cm 
 
4) O aparelho D2 de ser preferível. O aparelho D1 de ser preferível. 
 
5) a) 442 estudantes b) 100 estudantes 
 
6) 30,83% 
 
7) a) 2,28% 99,96% 54,35% 0 85,51% 
b) 9,75 cm3/min 
 
8) a) 2,87% b) 0 c) 62,54% 
 
9) 425,6g 10) Sim. 11) a) 4,75% b) 10 pessoas c) 54,02 
 
12) a) 21,19% b) 68,26% c) 11,55% d) 113 
 
13) a) 38,3% b) 50% c) 69,15% d) 30,85% 
e) 22,66% 
 
14) a) 67 b) 773 c) 296 
 
15) a) 2,28% b) R$ 3.880,00 
 
16) A-acima de 62,8 B-entre 56,7 e 62,8 C-entre 43,3 e 56,7 
D-entre 37,2 e 43,3 F-abaixo de 37,2 
 
17) a) 42,86% b) 43% c) 16,6ºC 
 
18 ) a) 41,92% b) 45,99% c) 27,34% d) 27,34% e) 83,01% f) 14,52% 
 g) 68,26% h) 95,44% i) 99,74% j) 38,49% k) 31,59% l) 44,52% 
 m) 42,79% n) 16,28% o) 42,51% p) 47,78% q) 32,27% r) 15,86% 
 s) 15,72% t) 57,01% u) 7,30% v) 86,23% 
 
19) a) 1,96 b) 0,86 c) - 1,12 d) 0,85 e) - 1,645 f) 1,645 
 g) 2,575 h) 0 i) 1,10 
 
20) 6,68% 21) 4,75% 
 
22) a) 77,34% b) 91,15% c) 19,04% d) 54,57% e) 86,12% 
 
23) 15,96% 24) a) 43,32% b) 53,28% 
 
25) a) 84,13% b) 0,99% c) 121 pneus d) 126 pneus 
 
Distribuição Normal Padronizada 
_ , _ _ 
a , b c 
a = número inteiro lido na primeira coluna 
b = número decimal lido na primeira coluna 
c = número centesimal lido na primeira linha 
O valor de z será encontrado na intersecção entre a coluna e a linha. 
Áreas sob a curva normal padrão. Para os valores negativos de z as áreas são obtidas por simetria. 
 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
 
 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
 
 
 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
 
 
 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
 
 
 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
 
 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4965 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
 
 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,49 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
 
 
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
 
 
3,9 0,500 
 
 
 
 
	Apostila 6 - Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA
	Apostila 6 - Probabilidades - Gabarito
	Apostila 7 - Variável Aleatória - TRANSPARÊNCIAS DE AULA
	Apostila 7 - Variável Aleatória - Gabarito
	Apostila 8 - Modelos Discretos de Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA
	Apostila 8 - Modelos Discretos de Probabilidade - Gabarito
	Apostila 9 - Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA
	Apostila 9 - Modelos Contínuos de Probabilidade - Gabarito
	Tabela Normal Padronizada