probabilidade - passo a passo - Daniela Arboite

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Experimentos Aleatórios 
São os experimentos que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos 
com certeza. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral conseguimos 
descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de 
experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais 
denominamos acaso. 
Exemplos: 
• Lançamento de um dado. 
• Lançamento de uma moeda. 
 
Espaço Amostral 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Exemplos: 
• Lançar um dado e observar o número na face que está voltada para cima. 
Assim, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(U) = 6. 
• Lançar, sucessivamente, duas moedas e observar a face voltada para cima em cada uma delas. 
Assim, U = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} e n(U) = 4. 
 
Evento 
Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é U. Chamaremos de evento todo subconjunto de U. 
Exemplos: 
• Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento A: ocorrência de número ímpar 
A = {1, 3, 5} 
Evento B: ocorrência de número maior que quatro 
B = {5, 6} 
 
 
Definição de Probabilidade 
Seja um experimento aleatório cujo espaço amostral é U e n(U) o número de seus elementos. Seja um evento A e n(A) 
o número de seus elementos. Define-se probabilidade de ocorrer o evento A como: 
)U(n
)A(n
)A(P = 
Em outras palavras, a probabilidade de ocorrer o evento A é igual ao número de casos favoráveis dividido pelo 
número de casos possíveis. Ou seja, 
Probabilidade = 
possíveiscasosdenúmero
favoráreiscasosdenúmeros
 
 
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Exemplos: 
1. (LEGALLE) A quantidade de pacotes de biscoitos 
produzidos em um dia em uma empresa é 
apresentada na tabela abaixo: 
 
 Biscoito 
Sabor Maria Maisena 
Chocolate 850 500 
Baunilha 1.150 1.500 
 
Percebe-se que ao total, são produzidos 4.000 
pacotes por dia. Um funcionário selecionaria um 
pacote ao acaso para doá-lo a uma instituição. A 
probabilidade desse pacote selecionado ser de 
biscoito Maria de Chocolate é de: 
(A) 20%. 
(B) 21,25%. 
(C) 22,5%. 
(D) 27,5%. 
(E) 28,75%. 
 
COMENTÁRIO: 
Espaço amostral: 4.000 pacotes produzidos no dia 
 
Evento: selecionar biscoito Maria de Chocolate 
n(A) = 850 
Probabilidade = 
possíveiscasosdenúmero
favoráreiscasosdenúmeros
 
P = 
850
4000
 = 21,25% 
ALTERNATIVA B 
 
2. (OBJETIVA) Ao lançar simultaneamente duas 
moedas e um dado cúbico, qual a probabilidade de 
se obter 2 caras e um número 6 nas faces voltadas 
para cima? 
a) 1/24 
b) 1/18 
c) 1/12 
d) 1/6 
e) 2/46 
 
COMENTÁRIO: 
c: cara e k: coroa 
 
Espaço amostral para o lançamento de duas 
moedas: 
U = {cc, ck, kc, kk} 
 
Evento: obter 2 caras 
A = {cc} 
 
Probabilidade de se obter duas caras: 
1
4
 
 
 
Espaço amostral para o lançamento de um dado 
cúbico: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Evento: obter o número 6. 
A = {6} 
 
Probabilidade de se obter o número 6: 
1
6
 
 
Qual a probabilidade de se obter 2 caras e um número 6 
nas faces voltadas para cima? 
1
4
 × 
1
6
= 
1
24
 
ALTERNATIVA A 
 
 
3. (LA SALLE) Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7, 9}. Ao sortear, ao acaso e aleatoriamente, 
um elemento do conjunto A, qual a probabilidade desse elemento pertencer ao conjunto A  B? 
A) 20%. 
B) 40%. 
C) 60%. 
D) 80%. 
E) 100%. 
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COMENTÁRIO: 
O conjunto A  B é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e pertencem ao conjunto B (intersecção). 
 
A = {0, 1, 2, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7, 9} 
A  B = {2, 7, 9} 
 
 
Ao sortear, ao acaso e aleatoriamente, um elemento do conjunto A, qual a probabilidade desse elemento pertencer ao 
conjunto A  B? 
Número de resultados possíveis: 5 (número de elementos do conjunto A) 
Número de resultados favoráveis: 3 (número de elementos do conjunto A  B) 
 
Probabilidade = 
possíveiscasosdenúmero
favoráreiscasosdenúmeros
 
Probabilidade = 
3
5
 = 60% 
ALTERNATIVA C 
 
 
4. (LA SALLE) Mariana utiliza dois computadores, A e B, em seu serviço. A probabilidade do computador A 
travar é de 20%, enquanto a probabilidade do computador B travar é de 15%. Sabendo que os computadores 
que Mariana utiliza operam independentemente, é correto afirmar que a probabilidade de ambos os 
computadores travarem é igual a: 
A) 3%. 
B) 5%. 
C) 10%. 
D) 17%. 
E) 30%. 
 
COMENTÁRIO: 
Eventos independentes: P(A  B) = P(A)  P(B) 
P(A travar) = 20% 
P(B travar) = 15% 
A probabilidade de ambos os computadores travarem é igual a: 
P(A  B) = 20%  15% = 0,20  0,15 = 3% 
ALTERNATIVA A 
 
 
 
5. Em uma urna escura estão 5 bolas brancas, 7 bolas azuis e 8 bolas vermelhas. 
A) Sorteando ao acaso uma bola desta urna, qual a probabilidade de que seja uma bola azul? 
 
 
 
 
 
 
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B) Sorteando ao acaso uma bola desta urna, qual a probabilidade de que seja uma bola vermelha? 
 
 
 
 
 
C) Sorteando ao acaso duas bolas desta urna, COM reposição, qual a probabilidade de que as duas sejam 
vermelhas? 
 
 
 
 
D) Sorteando ao acaso duas bolas desta urna, SEM reposição, qual a probabilidade de que as duas sejam 
vermelhas? 
 
 
 
 
E) Sorteando ao acaso duas bolas desta urna, com reposição, qual a probabilidade de que a primeira seja azul 
e a segunda seja vermelha? 
 
 
 
 
 
F) Sorteando ao acaso duas bolas desta urna, com reposição, qual a probabilidade de sortear pelo menos uma 
bola vermelha? 
 
 
 
 
6. Considere que a probabilidade de Ana ser aprovado no concurso é de 60%, e a de Bia é de 70%. 
A) Considerando que a aprovação de Ana e de Bia são independentes entre si, qual é a probabilidade de que 
Ana seja aprovada e Bia reprovada? 
 
 
 
B) Considerando que a aprovação de Ana e de Bia são independentes entre si, qual é a probabilidade de que 
Ana e Bia sejam reprovadas? 
 
 
 
 
C) Considerando que a aprovação de Ana e de Bia são independentes entre si, qual é a probabilidade de que 
pelo menos uma das duas seja aprovada? 
 
 
 
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5. Em uma urna escura estão 5 bolas brancas, 7 bolas azuis e 8 bolas vermelhas. 
A) Sorteando ao acaso uma bola desta urna, qual a probabilidade de que seja uma bola azul? 
P(Azul) = 
bolasdetotal
azuisbolasdeºn
 
P(Azul) = %35%100
20
7
20
7
== 
 
 
B) Sorteando ao acaso uma bola desta urna, qual a probabilidade de que seja uma bola vermelha? 
P(vermelha) = 
bolasdetotal
vermelhasbolasdeºn
 
P(vermelha) = %40%100
20
8
20
8
== 
 
 
C) Sorteando ao acaso duas bolas desta urna, COM reposição, qual a probabilidade de que as duas sejam 
vermelhas? 
P(Vermelha) = %40
20
8
= 
1ª vermelha e 2ª vermelha → P(A  B) = P(A).P(B) 
40%  40% = 
%40
100
40

= 16% 
 
 
D) Sorteando ao acaso duas bolas desta urna, SEM reposição, qual a probabilidade de que as duas sejam 
vermelhas? 
1ª vermelha e 2ª vermelha → P(A  B) = P(A).P(B) 
Na primeira retirada, são 8 bolas vermelhas, num total de 20 bolas. 
Na segunda retirada, como é sem reposição, são 7 bolas vermelhas, num total de 19 bolas. 
P(Vermelha) = 
95
14
19
7
20
8
= (Simplifiquei o 8 e o 20 por 4.) 
 
E) Sorteando ao acasoduas bolas desta urna, com reposição, qual a probabilidade de que a primeira seja azul 
e a segunda seja vermelha? 
P(Azul) = %35
20
7
= 
P(vermelha) = %40
20
8
= 
1ª azul e 2ª vermelha → P(A  B) = P(A).P(B) 
35%  40% = %40
100
35
 = 14% 
 
 
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F) Sorteando ao acaso duas bolas desta urna, com reposição, qual a probabilidade de sortear pelo menos uma 
bola vermelha? 
DICA: Calcular o que não serve e complementar. 
Não serve: 1ª não ser vermelha e 2ª não ser vermelha 
 
1ª não vermelha → P(outras cores) = %60
20
12
= 
2ª não vermelha → P(outras cores) = %60
20
12
= 
 
60%  60% = 36% (Esta é a probabilidade de que nenhuma das duas bolas seja vermelha.) 
Logo, a probabilidade de que pelo menos uma das bolas seja vermelha é: 
100% − 36% = 64% 
 
 
 
Outra maneira, dividindo em casos. 
Para calcular a probabilidade de que pelo menos uma seja vermelha, há 3 casos a considerar: 
CASO 1: 1ª vermelha e 2ª não 
1ª vermelha → P(Vermelha) = %40
20
8
= 
2ª não vermelha → P(outras cores) = %60
20
12
= 
40%  60% = 24% 
 
 
CASO 2: 1ª não vermelha e 2ª vermelha 
1ª não vermelha → P(outras cores) = %60
20
12
= 
2ª vermelha → P(Vermelha) = %40
20
8
= 
60%  40% = 24% 
 
 
CASO 3: 1ª vermelha e 2ª vermelha 
1ª vermelha → P(Vermelha) = %40
20
8
= 
2ª vermelha → P(Vermelha) = %40
20
8
= 
40%  40% = 16% 
 
Total: 24% + 24% + 16% = 64% 
 
 
 
 
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6. Considere que a probabilidade de Ana ser aprovado no concurso é de 60%, e a de Bia é de 70%. 
A) Considerando que a aprovação de Ana e de Bia são independentes entre si, qual é a probabilidade de que 
Ana seja aprovada e Bia reprovada? 
P(Ana aprovada) = 60% 
P(Bia aprovada) = 70% → P(Bia reprovada) = 30% 
 
Ana aprovada e Bia reprovada → P(A  B) = P(A).P(B) 
60%  30% = 18% 
 
 
B) Considerando que a aprovação de Ana e de Bia são independentes entre si, qual é a probabilidade de que 
Ana e Bia sejam reprovadas? 
P(Ana aprovada) = 60% → P(Ana reprovada) = 40% 
P(Bia aprovada) = 70% → P(Bia reprovada) = 30% 
 
Ana reprovada e Bia reprovada → P(A  B) = P(A).P(B) 
40%  30% = 12% 
 
 
C) Considerando que a aprovação de Ana e de Bia são independentes entre si, qual é a probabilidade de que 
pelo menos uma das duas seja aprovada? 
DICA: Calcular o que não serve e complementar. 
Não serve: Ana reprovada e Bia reprovada 
 
P(Ana aprovada) = 60% → P(Ana reprovada) = 40% 
P(Bia aprovada) = 70% → P(Bia reprovada) = 30% 
 
Ana reprovada e Bia reprovada → P(A  B) = P(A).P(B) 
40%  30% = 12% (Esta é a probabilidade de que nenhuma das duas seja aprovada.) 
Logo, a probabilidade de que pelo menos uma das duas seja aprovada: 
100% − 12% = 88%