Resumo de Conteúdo - Integrais de Linha de Campos Vetoriais

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RESUMO DE CONTEÚDO 
CAPÍTULO 16.2 - INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS 
 
Suponha que 𝑭 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤 seja um campo de força contínuo em ℝ³. Queremos calcular o 
trabalho exercido por essa força ao mover uma partícula ao longo de uma curva lisa C. Para isso, 
dividimos C em subarcos 𝑃𝑖−1, 𝑃𝑖 com comprimentos ∆𝑠𝑖 dividindo o intervalo do parâmetro [a, b] 
em subintervalos de mesmo tamanho. 
Escolha 𝑃∗
𝑖
(𝑥∗
𝑖
, 𝑦∗
𝑖
, 𝑧∗
𝑖
) no i-ésimo subarco correspondente ao valor do parâmetro 𝑡∗
𝑖
. Se ∆𝑠𝑖 é pequeno, 
o movimento da partícula de 𝑃𝑖−1 para 𝑃𝑖 na curva ocorre aproximadamente na direção de 𝐓 (𝑡∗
𝑖
), 
vetor tangente unitário a 𝑃∗
𝑖
. Então, o trabalho feito pela força F para mover a partícula de 𝑃𝑖−1 para 
𝑃𝑖 é aproximadamente 
 
e o trabalho total executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente 
 
onde 𝐓(𝑥, 𝑦, 𝑧) é o vetor tangente unitário no ponto (x, y, z) sobre C. Intuitivamente, podemos ver 
que essas aproximações devem melhorar quando n aumenta. Portanto, definimos o trabalho W feito 
por um campo de força F como o limite da soma de Riemann dada por (11), ou seja, 
 
A Equação 12 nos diz que o trabalho é a integral em relação ao comprimento do arco da 
componente tangencial da força. 
Com isso, temos que a Integral de Linha de qualquer Campo Vetorial contínuo pode ser definida da 
seguinte forma: 
 
Onde 𝐅(𝐫(𝑡)) é uma abreviação para 𝐅(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) e 𝐅(𝐫(𝑡)) deve ser calculada tomando 𝑥 =
 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡)𝑒 𝑧 = 𝑧(𝑡) na expressão de 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧). 
 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010