Exercícios de Logaritmos e Funções Logarítmicas

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Centro Universitário UNA – Instituto Politécnico 
Cálculo Diferencial - Prof. Ronald Buere 
Exercícios – Lista 6 – Logaritmos e Funções Logarítmicas 
 
 
 
 
Logaritmos 
Seja a, um número real positivo, diferente de 1 ( Ra ∈ , 0>a e 1≠a ) e x, um número 
real positivo ( Rx ∈ e 0>x ). O número real y tal que xa
y
= é denominado logaritmo 
de x na base a e é denotado por )(log xy
a
= . 
 
)(log xy
a
= se e somente se xa y = 
 
 
 
Consequências da definição: 
 
 
Propriedades: Sejam x e y, reais positivos. 
1) yxxy
aaa
loglog)(log += 2) yx
y
x
aaa logloglog −=





 
3) xrx
a
r
a
log)(log = 4) 
a
x
x
b
b
a
log
log
log = , mudança de base. 
 
1) Exprima em termos de expoentes. 
a) 110log10 = b) 38log 2 = 
c) 2
25
1
log5 −= d) 3216log 6 = 
 
2) Exprima em termos de logaritmos. 
a) 1642 = b) 8134 = 
c) 981 5,0 = d) 1632 5/4 = 
 
3) Expresse y como um único logaritmo. 
a) 2ln4ln2 −=y b) cbay lnln2ln −+= 
c) )ln(5ln3 abay −= d) xxy ln2)1ln( 2 ++= 
 
4) Calcular, usando as propriedades dos logaritmos, o valor de y. 
a) 5log80log 22 −=y b) )2(loglog2log 835,0 −=y 
c) 25,0log25log6,1log 422 −+=y d) 2log48log6log 333 −+=y 
e) 2ln3ey = f) 
)5log2(log 333
+
=y 
 
01log =
a
 1log =a
a
 
xa
xa =
log
 xa x
a
=log 
 
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Exercícios – Lista 6 – Logaritmos e Funções Logarítmicas 
 
 
 
 
5) Resolva as equações. 
 
a) 1ln2 =x b) 3)23(log2 =+x 
c) 2)25(log 2 =− x d) 43 =
x 
e) 98 2 =− x f) 0)3.(52 =−
xx 
g) xx 10)3.(6 = h) 8
3
=
x
e 
i) 9
26
=
− x
e 
 
6) Determine o domínio das funções. 
a) )4(log2 += xy b) )4(log
2
3 xy −= 
c) 
1
ln
−
=
x
x
y d) 
4
ln
2
−
=
x
x
y 
 
7) Esboce o gráfico das funções. 
a) xy 2log2 −= b) )4(log2 += xy 
c) 1)9(log3 −−= xy 
 
8) A intensidade M de um terremoto medida na escala Richter é um número que varia 
de M=0 até M=8,9 para o maior terremoto conhecido. M é dada pela fórmula empírica 
0
10log
3
2
E
E
M = 
onde E é a energia liberada no terremoto em kilowatt-hora e kWhE 30 107
−
×= . Calcule 
a energia liberada em um terremoto de intensidade 6. 
 
9) Estudos demográficos feitos em certo país estimaram que sua população daqui a t 
anos será tP )036,1(5,17= milhões de habitantes. Determine em quanto tempo a 
população atingirá os 35 milhões de habitantes. 
 
10) Decaimento radioativo: substâncias decaem pela emissão espontânea de radiação. A 
massa remanescente da massa inicial após um tempo t é determinada por ktemtm 0)( = . 
Considere uma amostra de 100 mg de uma substância que decai à metade em 1590 
anos. Determine uma expressão para )(tm . Qual deve ser a massa remanescente da 
amostra se 000.4=t anos? 
 
 
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Respostas 
3 - a) 8ln y = b) 







=
c
ab
ln y 
2
 c) 





=
52a
1
ln y 
b
 d) )(xln y 42 x+= 
 
4 - a) 4y = b) 2y = c) 5y = d) 1y = e) 1y = f) 10y = 
 
5 - a) ex = b) 2x = c) 2/1x = d) 4 log x 3= e) 3 log x 8−= 
 f) 
3ln -2ln 
5ln 
 x = g) 
3 log-1
6 log
 x = h) 2lnx = i) 3ln 3 x −= 
 
6 - a) { }4)( −>∈= xIRxfD b) { }22)( <<−∈= xIRxfD 
 c) { }10)( ><∈= xouxIRxfD d) { }212)( >−<<−∈= xouxIRxfD 
 
7 - a) { }0)( >∈= xIRxfD , não há intercepto y, intercepto x em 4x = , 
quando +→ 0 x , ∞→ y , quando +∞→ x , ∞→ - y . 
 
b) { }4)( −>∈= xIRxfD , intercepto y em 2=y , intercepto x em 0x = , 
quando +−→ 4 x , ∞→ - y , quando ∞+→ x , ∞+→ y . 
 
c) { }9)( <∈= xIRxfD , intercepto y em 1=y , intercepto x em 6x = , 
quando −→ 9 x , ∞→ - y , quando ∞−→ x , ∞+→ y . 
 
8 - 
2/3
0 10.
M
EE = , kWhE 000.000.7107
6
0 =×= 
 
9 - 6,19≅t anos 
 
10 - 00043594,0−≅k , mgm 49,17)4000( ≅