continuidade_2010

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Cálculo Diferencial e Integral I – Engenharia Mecânica – Prof.a. Ivete Baraldi 1
Continuidade 
Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas. 
(a) f é definida em a; 
(b) existe; )(lim xf
ax→
(c) = f(a) . )(lim xf
ax→
Exemplos: 
1 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Sejam 
1
1)(
2
−
−=
x
xxf em x = 1 e .
1,1
1,
1
1
)(
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
−
=
xse
xse
x
x
xg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Engenharia Mecânica – Prof.a. Ivete Baraldi 2
3 – seja 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠=
0,0
0,
||)(
xse
xse
x
x
xf em x = 0. 
 
 
 
 
 
 
Propriedades das funções contínuas 
Apresentaremos agora algumas propriedades das funções contínuas, que já foram apresentadas na 
seção das propriedades dos limites de funções. 
1. Sejam f e g definidas no intervalo [a,b]. Se f e g são contínuas em um ponto x em [a,b], então 
também o são as funções: f + g, f – g, f · g e f ÷ g, desde que g = g(x) seja não nula. 
2. As funções polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, são contínuas 
em todos os pontos de seus domínios, os quais podem ser intervalos fechados, semi-abertos, abertos 
ou infinitos. 
3. Seja f contínua em [a,b] e Im(f) = [c,d]. Se f admite inversa g, esta inversa g será contínua em 
[c,d]. 
4. Se x a implica que e a função f é contínua em b, então: bxg
ax
=→ )(lim
).(lim))((lim)(lim,)()(lim xgfxgfxfogsejaoubfxfog
axaxaxax →→→→ === 
5. Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a função composta fog é contínua em a. 
 
Teorema do Valor Intermediário (TVI) 
Se f é contínua no intervalo fechado [a,b] e L é um 
número real tal que f(a) ≤ L ≤ f(b) ou f(b) ≤ L ≤ f(a), 
então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que 
f(c) = L. (veja a figura) 
 
 
 
 
Há uma conseqüência do Teorema do valor Intermediário que é muito utilizada na obtenção de 
zeros (raízes) de funções reais em Análise numérica. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Engenharia Mecânica – Prof.a. Ivete Baraldi 3
 
Conseqüência do Teorema do Valor Intermediário 
Se f é contínua em [a,b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos, 
então existe pelo menos um número real x = c entre a e b tal 
que f(c) = 0. 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (e) 
 
 
2 – Construa o gráfico e analise a continuidade d
 
as seguintes funções: