MUDANÇA GERAL DE VARIÁVEIS - cálculo III

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A MUDANÇA GERAL DE VARIÁVEIS 
Suponhamos que um domínio D do plano xy seja transformado em um domínio 𝜴 do plano uv, 
por meio de uma transformação biunívoca dada por equações da forma 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) e 𝑦 = 𝑦(𝑢, 
𝑣). Suponhamos, ainda, que as funções que definem a transformação sejam contínuas, com 
derivadas contínuas, e que, além disso, tenhamos J, o Jacobiano da transformação, diferente 
de zero em 𝜴, isto é, 
J = 
∂(x, y)
∂ (u, v)
= det (
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
) ≠ 0 
Dessa forma, temos 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) |𝐽|
𝛺𝐷
𝑑𝑢𝑑𝑣. 
EXEMPLO 
Se D é a região do primeiro quadrante cuja fronteira é constituída pelos eixos coordenados e 
pela reta 𝑥 + 𝑦 = 2, vamos calcular, sobre D, a integral dupla da função 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑦−𝑥
𝑥+𝑦 , 
usando a mudança de variáveis dada pelas equações 𝑢 = 𝑦 − 𝑥 e 𝑣 = 𝑥 + 𝑦. 
Realizando o trabalho por etapas, devemos observar que 
1. se 𝑢 = 𝑦 − 𝑥 e 𝑣 = 𝑥 + 𝑦, então, evidentemente 
𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) = 𝑓(𝑢, 𝑣) = 𝑒
𝑢
𝑣 
2. para calcularmos o Jacobiano, precisamos das equações da mudança expressando 𝑥 e 
𝑦 em termos de 𝑢 e 𝑣: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) e 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣). 
 
Como a mudança de variáveis foi fornecida por meio de equações que expressam 𝑢 e 
𝑣 em termos de 𝑥 e 𝑦, 𝑢 = 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 e 𝑣 = 𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦, então precisamos 
trabalhar com essas equações para obtermos as expressões desejadas: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) 
e 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣). 
Temos 
Cálculo II 
 
 
{
𝑢 = 𝑦 − 𝑥
𝑣 = 𝑥 + 𝑦 → 𝑢 + 𝑣 = 2𝑦 → 𝑦 = 
𝑢 + 𝑣
2
 𝑒 𝑣 − 𝑢 = 2𝑥 
→ 𝑥 =
𝑣 − 𝑢
2
 
 
 
Assim, como 𝑥 =
𝑣−𝑢
2
 𝑒 𝑦 = 
𝑢+𝑣
2
 , segue que 
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= −
1
2
,
𝜕𝑥
𝜕𝑣
=
1
2
,
𝜕𝑦
𝜕𝑢
=
1
2
 ,
𝜕𝑦
𝜕𝑣
=
1
2
 e , 
portanto , 
 
J = 
∂(x, y)
∂ (u, v)
= det (
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
) = det (
−
1
2
1
2
1
2
1
2
) = −
1
2
 
 
3. precisamos, finalmente, determinar as equações das curvas que definem a 
fronteira da região 𝜴 no plano 𝑢𝑣. 
 
 
Para tanto, devemos aplicar a mudança de variáveis dada nas equações 𝑥 = 0, 𝑦 
= 0 e 𝑥 + 𝑦 = 2, que são as curvas que determinam a fronteira da região D no 
plano 𝑥𝑦. 
 
Assim, como 
 𝑥 =
𝑣−𝑢
2
 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑥 = 0 → 
𝑣−𝑢
2
= 0 → 𝑣 = 𝑢. 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 0 ↔ 𝑣 = 𝑢 
 
Além disso, como 
 𝑦 =
𝑢+𝑣
2
 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 0 → 
𝑢+𝑣
2
= 0 → 𝑣 = − 𝑢. 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = −𝑢 
 
Finalmente, 𝑥 + 𝑦 = 2 → 
𝑣−𝑢
2
+
𝑢+𝑣
2
= 2 → 𝑣 = 2 , 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑥 + 𝑦 = 2 ↔ 𝑣 = 2 
 
Temos, 
 
∬ 𝑒
𝑦−𝑥
𝑥+𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 
1
2
 ∫ ( ∫ 𝑒
𝑢
𝑣
𝑣
−𝑣
 𝑑𝑢) 𝑑𝑣.
2
0𝐷
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral ∫ 𝑒
𝑢
𝑣
𝑣
−𝑣
 𝑑𝑢 requer uma substituição. Fazendo 𝛼 = 𝑢/𝑣, segue que 
𝑑α = 
1
𝑣
 e, 
então 
 
∫ 𝑒
𝑢
𝑣
𝑣
−𝑣
 𝑑𝑢 = 𝑣 ∫ 𝑒
𝑢
𝑣
𝑣
−𝑣
1
𝑣
 𝑑𝑢 = 𝑣 ∫ 𝑒α
𝑣
−𝑣
 𝑑α = 𝑣 (𝑒 −
1
𝑒
 ) . Logo, 
 
∬ 𝑒
𝑦−𝑥
𝑥+𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 
1
2
 ∫ ( ∫ 𝑒
𝑢
𝑣
𝑣
−𝑣
 𝑑𝑢) 𝑑𝑣.
2
0𝐷
 
 
= 
1
2
 (𝑒 −
1
𝑒
 ) ∫ 𝑣 𝑑𝑣.
2
0
 
 
= 
1
2
(𝑒 −
1
𝑒
 ) 
𝑣2
2
|
0
2
= 𝑒 −
1
𝑒