Avaliação Final (Discursiva) - Cálculo Avançado Números Complexos e Equações Diferenciais

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Avaliação Final (Discursiva) - Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais (EMC101)
1- Uma propriedade que surge das funções complexas que não existia nas funções reais é a analiticidade da função. Toda a teoria de integração de funções complexas está fundamentada pelas funções analíticas. Pensando nisso, responda:
a) Qual a definição de uma função analítica? 
b) Qual a diferença entre uma função analítica, uma função holomorfa e uma função inteira?
Resposta Esperada:
A) Uma função é analítica num ponto se existe uma bola aberta centrada nesse ponto tal que a função é derivável em todos os
pontos dessa bola. Se a função é derivável em todos os pontos do seu domínio ela é analítica.
B) Uma função holomórfica equivale a dizer que é analítica e os dois nomes têm a mesma definição. A diferença de função
Analítica e inteira é seu domínio, e toda função completa é analítica. Para uma função inteira, deve ser uma função analítica, mas seu domínio deve ser composto por todos os números complexos.
2- Com relação às equações diferenciais, podemos classificá-las segundo algumas propriedades. Sobre esses itens, responda:
a) O que significa a ORDEM de equação diferencial? 
b) Qual a diferença entre uma equação diferencial ordinária e uma equação diferencial parcial? 
c) O que significa dizer que uma equação diferencial é linear? 
d) Dê um exemplo de uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem.
Resposta Esperada:
A) Uma equação diferencial tem derivadas de várias ordens de uma função, a maior ordem dessas derivadas é chamada de ordem da equação diferencial, ou seja, é a maior derivada que aparece. 
B) Uma equação diferencial ordinária é uma equação com a penas uma variável e só aparece derivadas dessa variável. Uma equação diferencial parcial tem mais de uma variável e as derivadas que aparecem são derivadas parciais.
C) Uma equação diferencial é dita linear quando a função e suas derivadas que aparecem na equação são do primeiro grau.
D) Existem infinitos exemplos de equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, um deles é y'' + y' + y = 0