Geometria Analítica Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário

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1. Pergunta 1
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Com o intuito de se calcular a distância entre planos, tal como as retas, é necessário discutir as possíveis posições relativas entre eles. Ao se determinar as posições relativas entre os planos, algumas conclusões podem ser tiradas e as manipulações algébricas podem ser executadas de modo a se calcular a distância entre planos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre planos, pode-se dizer que os planos coincidentes e os planos concorrentes têm a mesma distância porque:
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1. 
ambos se intersecionam, ou seja, a distância entre eles é nula.
Resposta correta
2. 
ambos são casos específicos de planos paralelos.
3. 
ambos possuem um produto escalar nulo.
4. 
o produto misto de ambos é nulo.
5. 
ambos possuem um produto vetorial perpendicular.
2. Pergunta 2
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Em Geometria Analítica, conhecendo algumas informações algébricas dos objetos matemáticos estudados, é possível calcular posições relativas entres esses objetos. Os planos, por exemplo, possuem duas posições relativas, descritas pela representação geométrica abaixo:
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Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre classificação dos planos, é correto afirmar que as informações algébricas que distinguem cada uma das posições relativas dos planos podem se referir à quantidade de pontos pertencentes a eles porque:
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1. 
em ambas representações, a quantidade de pontos pertencentes a ambos é nula.
2. 
a primeira representação refere-se ao paralelismo, que indica 0 pontos pertencentes a ambos, e a segunda representa infinitos pontos.
Resposta correta
3. 
a primeira representação algébrica tem 0 pontos pertencente a eles, enquanto a segunda tem cerca de 3 pontos.
4. 
a primeira representação algébrica refere-se a planos coplanares que têm 0 pontos pertencente a ambos, e a segunda a infinitos pontos.
5. 
a primeira representação refere-se ao paralelismo entre eles, enquanto a segunda refere-se ao coplanarismo, tendo infinitos pontos pertencentes.
3. Pergunta 3
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A distância entre uma reta e um plano pode ser entendida e calculada de diversas maneiras algébricas. Por exemplo, é possível calcular a distância de uma reta a um plano, considerando um ponto do plano e a equação da reta estudada. Além disso, há outra maneira de se efetuar esse mesmo cálculo com objetos matemáticos diferentes.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre reta e plano, pode-se afirmar que se pode calcular a distância entre reta e plano considerando um ponto da reta e a equação do plano porque:
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1. 
pode-se calcular outro ponto no plano e calcular a distância entre eles pelo vetor normal a eles.
2. 
o ponto e o plano serão concorrentes, sendo a distância entre eles nula.
3. 
utiliza-se a fórmula da distância entre um ponto e um plano para efetuar o cálculo da distância.
Resposta correta
4. 
pode-se calcular a distância entre o ponto da reta e uma reta pertencente ao plano estudado.
5. 
pode-se calcular o vetor normal da reta calculada no ponto que resultará na distância entre eles.
4. Pergunta 4
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Os objetos geométricos são definidos por meio de diversos tipos de equações. Dessas equações são extraídas informações para que se consiga calcular, por exemplo, as posições relativas entre esses objetos. Considere as duas equações abaixo, sendo a primeira referente a uma reta (r), e a segunda referente a um plano (ᴨ).
r: X=(1,1,1)+ λ(-1,-1 ,0)
ᴨ : y+z=0 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulo entre retas e planos, pode-se afirmar que é possível calcular o ângulo entre eles porque:
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1. 
é possível determinar o vetor normal do plano e o vetor paralelo à reta.
Resposta correta
2. 
o produto escalar entre esses objetos resulta em um número negativo.
3. 
o produto vetorial entre esses objetos resulta em um número positivo.
4. 
os valores presentes em cada uma das equações são diferentes de zero.
5. 
os objetos matemáticos são perpendiculares, o que torna possível o cálculo.
5. Pergunta 5
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A distância de alguns objetos matemáticos pode ser calculada por meio de outros objetos matemáticos. Um exemplo disso é o cálculo da distância entre duas retas que pode considerar um ponto pertencente a uma reta e a outra reta como referência. Apenas com esses elementos já é possível mensurar a distância entre eles.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre planos, pode-se afirmar que a distância entre dois planos paralelos pode ser mensurada da mesma forma porque:
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1. 
consideram-se no cálculo um ponto de um plano e a equação do outro plano.
Resposta correta
2. 
os vetores diretores das retas pertencentes a cada um dos planos são perpendiculares.
3. 
calcula-se a distância entre duas retas pertencentes ao mesmo plano.
4. 
calcula-se a distância entre um ponto e uma reta pertencentes ao mesmo plano.
5. 
consideram-se no cálculo os dois vetores normais de ambos os planos.
6. Pergunta 6
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Os planos são objetos geométricos que podem ser definidos por diversos tipos de equações. As equações cartesianas dos planos auxiliam na determinação de outros objetos geométricos importantes, por exemplo, para o cálculo do ângulo entre dois planos. Reconhecer quais são esses objetos e conseguir calcular o ângulo por meio do algoritmo é extremamente importante para o estudo desse tema.
Tendo em vista a relação supracitada e o conteúdo estudado sobre ângulo entre planos, analise e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a se obter a o ângulo entre dois planos:
( ) Encontrar as coordenadas dos vetores normais.
( ) Calcular a razão entre o módulo do produto escalar e o produto das normas dos vetores.
( ) Calcular o arco cosseno do valor encontrado.
( ) Calcular o produto das normas de cada um dos vetores normais.
( ) Calcular o produto escalar dos vetores normais.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
2, 4, 1, 5, 3.
2. 
2, 1, 3, 4, 5.
3. 
1, 2, 3, 5, 4.
4. 
3, 4, 2, 1, 5.
5. 
1, 4, 5, 3, 2.
Resposta correta
7. Pergunta 7
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O conhecimento acerca das posições relativas entre duas retas é fundamental para que se determine qual abordagem algébrica utilizar para calcular, por exemplo, a distância entre elas. No caso das retas reversas, a manipulação algébrica envolve conceitos matemáticos mais avançados.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre retas, afirma-se que o cálculo da distância entre retas reversas envolve conceitos mais avançados porque:
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1. 
trabalha-se com o conceito de produto vetorial e com a norma dos vetores utilizados.
2. 
utiliza-se uma conjunção de fórmulas de distâncias entre objetos geométricos.
3. 
ele envolve o conceito de norma de um vetor, e de vetor unitário, tópicos avançados em Geometria Analítica.
4. 
ele envolve a utilização do produto misto, que é uma manipulação algébrica que une o produto vetorial e o produto escalar de vetores.
Resposta correta
5. 
calcula-se a norma dos vetores utilizados, o que demanda uma manipulação algébrica avançada.
8. Pergunta 8
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Os pontos são os objetos geométricos utilizados como base para definir toda a Geometria Analítica. A partir deles, consegue-se definir, por exemplo, retas (dois pontos) e planos (3 pontos não colineares). Portanto, encontrar informações acerca desses objetos é fundamental para o desenvolvimento da geometria. Considere dois pontos arbitrários A e B, de coordenadas dadas.
A: (3,2,2)
B: (0,0,0)
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre distância entre pontos, pode-se afirmar que a distância entre os pontos é possível de ser calculada porque:
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1. 
o produto escalar entre esses objetos resulta em um número positivo, correspondente a distância entre eles.
2. 
a distância entre pontos é definida através do cálculoda raiz quadrada da soma das diferenças quadradas de suas coordenadas.
Resposta correta
3. 
a distância entre os pontos é uma medida que pode ser definida por meio de suas coordenadas cilíndricas.
4. 
é possível encontrar um vetor normal para cada um dos pontos, possibilitando o cálculo da distância.
5. 
os valores presentes nas coordenadas dos pontos são positivos ou nulos.
9. Pergunta 9
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Para se efetuar o cálculo da distância entre retas é necessário, de antemão, realizar a discussão de algumas possibilidades. Distinguir entre retas paralelas, concorrentes ou reversas, por exemplo, pode exigir tipos diferentes de abordagens algébricas. Em outras palavras, conhecer os tipos de retas delimitam a maneira com que será efetuado, ou não, o cálculo da distância entre elas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de distância entre retas, pode-se afirmar que a distância entre duas retas r1 e r2 concorrentes é nula porque:
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1. 
os vetores normais das retas são perpendiculares entre si, o que resulta na distância nula.
2. 
o produto vetorial entre seus vetores diretores é positivo, o que resulta em sua distância ser nula.
3. 
as retas concorrentes são também perpendiculares, o que resulta na distância nula entre elas.
4. 
retas concorrentes têm um ponto em comum, e a distância de um ponto para ele mesmo é nula.
Resposta correta
5. 
o produto escalar entre esses objetos resulta em um número positivo, correspondente à distância entre eles.
10. Pergunta 10
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Os planos são objetos de estudos importantes para a Geometria Analítica, tal como retas, pontos e outros objetos geométricos. Desse modo, eles possuem, também, equações que os descrevem. Por meio dessas equações, por exemplo, é possível estudar suas posições relativas, ou seja, qual a posição ou inclinação de um plano com relação a outro plano.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulo entre planos, pode-se dizer que o ângulo entre dois planos é definido com base em vetores porque:
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1. 
o ângulo entre os planos é calculado com base no ângulo formado pelos vetores normais desses planos.
Resposta correta
2. 
os planos possuem equações definidas em termos de retas paralelas, o que permite o cálculo do ângulo entre eles por meio de retas perpendiculares.
3. 
as retas perpendiculares auxiliam na mensuração da distância entre um ponto e um plano, o que torna capaz a mensuração do ângulo em questão.
4. 
as retas perpendiculares têm equações semelhantes aos planos, o que torna possível a mensuração do ângulo em questão.
5. 
os planos são perpendiculares entre eles, tal como as retas são perpendiculares entre elas.