Exerccio_semana3-Junho-Mat021

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UNIFEI
Instituto de Matemática e Computação
MAT 021-EDO I
Gabarito Exercı́cios
Perı́odo: 3a Semana-Junho
Prof. José Vidarte
1 Capı́tulo 3 , Seção 3.6 , Exercı́cio 13
Para a equação
t2y′′ − 2y = 3t2 − 1, t > 0 (1)
verifique que as funções y1(t) = t2, y2(t) = t−1 satisfazem a equação homogênea associada, depois
encontre uma solução particular da equação não-homogênea.
Solução:A verificação de que as funções y1(t) e y2(t) são soluções da equação homogênea associada
é imediata (o discernente é obrigado a fazer os detalhes), bastando substituir as funções na equação
homogênea. Calculando
W(y1, y2)(s) =
∣∣∣∣∣ y1(s) y2(s)y′1(s) y′2(s)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ s2 1s2s − 1s2
∣∣∣∣∣∣ = −3.
Substituindo essa expressão na equação não-homogênea e indicando por g(t) = t−2(3t2 − 1). Usando,
a o método da variação de parâmetros, devemos procurar uma solução do tipo
Y(t) = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t),
onde
u′1(t) = −
y2(t)g(t)
W(y1, y2)(t)
, u′2(t) =
y1(t)g(t)
W(y1, y2)(t)
.
Tendo en conta que g(t) = t−2(3t2 − 1) a não-homogeneidade, calculamos u1(t).
u′1(t) = −
y2(t)g(t)
W(y1, y2)(t)
integrando ambos lados
u1(t) =
∫
−
y2(t)g(t)
W(y1, y2)(t)
dt Substituindo os valores e simplificando
u1(t) =
∫ (
t−1 −
s−3
3
)
ds = ln t +
t−2
6
.
Similarmente para u2(t). temos,
u′2(t) =
y1(s)g(s)
W(y1, y2)(s)
integrando ambos lados
u2(t) =
∫
y1(t)g(t)
W(y1, y2)(s)
ds Substituindo os valores e simplificando
u2(t) =
∫ (1
3
− s2
)
ds =
t
3
−
t3
3
.
Portanto, a solução particular é:
Y(t) =
(
ln t + t
−2
6
)
y1(t) +
(
t
3 −
t3
3
)
y2(t) = t2 ln t + 12 −
t2
3 .
Desde que y1(t) = t2 é uma solução da equação homogênea associada, consideremos a solução particular:
Y(t) = t2 ln t + 12 .
	 Capítulo 3 , Seção 3.6 , Exercício 13