Sabendo que a função f(x) = x3 + 3x− 2 tem uma raiz no intervalo I = [0, 1], calcule as 3 primeiras iterações utilizando: (a) o Método da Biss...

(a) Para o Método da Bisseção, temos a função f(x) = x^3 + 3x - 2 e o intervalo I = [0, 1]. Inicialmente, definimos a0 = 0 e b0 = 1. 1ª iteração: - Calculamos o ponto médio c0 = (a0 + b0) / 2 = (0 + 1) / 2 = 0,5. - Avaliamos f(c0) = f(0,5) = (0,5)^3 + 3(0,5) - 2 = -0,375. - Como f(a0) * f(c0) < 0, sabemos que a raiz está no intervalo [a0, c0]. - Portanto, atualizamos b1 = c0 = 0,5. 2ª iteração: - Calculamos o novo ponto médio c1 = (a1 + b1) / 2 = (0 + 0,5) / 2 = 0,25. - Avaliamos f(c1) = f(0,25) = (0,25)^3 + 3(0,25) - 2 = -0,609375. - Como f(a1) * f(c1) < 0, a raiz continua no intervalo [a1, c1]. - Atualizamos b2 = c1 = 0,25. 3ª iteração: - Calculamos o novo ponto médio c2 = (a2 + b2) / 2 = (0 + 0,25) / 2 = 0,125. - Avaliamos f(c2) = f(0,125) = (0,125)^3 + 3(0,125) - 2 = -0,484375. - Como f(a2) * f(c2) < 0, a raiz está no intervalo [a2, c2]. - Atualizamos b3 = c2 = 0,125. Portanto, após 3 iterações, o Método da Bisseção nos fornece uma aproximação da raiz no intervalo [0,125, 0,25]. (b) Para o Método do Ponto Fixo, temos x0 = 0,5 e ϕ(x) = 2/3 - (x^3)/3. 1ª iteração: - Calculamos x1 = ϕ(x0) = 2/3 - (0,5^3)/3 = 0,4166667. 2ª iteração: - Calculamos x2 = ϕ(x1) = 2/3 - (0,4166667^3)/3 = 0,3950617. 3ª iteração: - Calculamos x3 = ϕ(x2) = 2/3 - (0,3950617^3)/3 = 0,3929537. Portanto, após 3 iterações, o Método do Ponto Fixo nos fornece uma aproximação da raiz de aproximadamente 0,3929537. (c) Para o Método de Newton, temos x0 = 1. 1ª iteração: - Calculamos f(x0) = f(1) = 1^3 + 3(1) - 2 = 2. - Calculamos f'(x0) = 3(1)^2 + 3 = 6. - Aplicamos a fórmula de Newton: x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) = 1 - 2 / 6 = 0,6666667. 2ª iteração: - Calculamos f(x1) = f(0,6666667) = (0,6666667)^3 + 3(0,6666667) - 2 = -0,1975309. - Calculamos f'(x1) = 3(0,6666667)^2 + 3 = 4,6666667. - Aplicamos a fórmula de Newton: x2 = x1 - f(x1) / f'(x1) = 0,6666667 - (-0,1975309) / 4,6666667 = 0,7078189. 3ª iteração: - Calculamos f(x2) = f(0,7078189) = (0,7078189)^3 + 3(0,7078189) - 2 = -0,0001234. - Calculamos f'(x2) = 3(0,7078189)^2 + 3 = 4,9999999. - Aplicamos a fórmula de Newton: x3 = x2 - f(x2) / f'(x2) = 0,7078189 - (-0,0001234) / 4,9999999 = 0,707826. Portanto, após 3 iterações, o Método de Newton nos fornece uma aproximação da raiz de aproximadamente 0,707826. (d) Para o Método das Secantes, temos x0 = 0,5 e x1 = 1. 1ª iteração: - Calculamos f(x0) = f(0,5) = (0,5)^3 + 3(0,5) - 2 = -0,375. - Calculamos f(x1) = f(1) = 1^3 + 3(1) - 2 = 2. - Aplicamos a fórmula das secantes: x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0)) = 1 - 2 * (1 - 0,5) / (2 - (-0,375)) = 0,6666667. 2ª iteração: - Calculamos f(x1) = f(1) = 1^3 + 3(1) - 2 = 2. - Calculamos f(x2) = f(0,6666667) = (0,6666667)^3 + 3(0,6666667) - 2 = -0,1975309. - Aplicamos a fórmula das secantes: x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1)) = 0,6666667 - (-0,1975309) * (0,6666667 - 1) / (-0,1975309 - 2) = 0,7078189. 3ª iteração: - Calculamos f(x2) = f(0,6666667) = (0,6666667)^3 + 3(0,6666667) - 2 = -0,1975309. - Calculamos f(x3) = f(0,7078189) = (0,7078189)^3 + 3(0,7078189) - 2 = -0,0001234. - Aplicamos a fórmula das secantes: x4 = x3 - f(x3) * (x3 - x2) / (f(x3) - f(x2)) = 0,7078189 - (-0,0001234) * (0,7078189 - 0,6666667) / (-0,0001234 - (-0,1975309)) = 0,707826. Portanto, após 3 iterações, o Método das Secantes nos fornece uma aproximação da raiz de aproximadamente 0,707826. (e) Para calcular o erro, utilizamos |f(xk)|, onde xk é a aproximação obtida em cada método. - No Método da Bisseção, |f(xk)| = |f(c2)| = |-0,484375|. - No Método do Ponto Fixo, |f(xk)| = |f(x3)| = |-0,0001234|. - No Método de Newton, |f(xk)| = |f(x3)| = |-0,0001234|. - No Método das Secantes, |f(xk)| = |f(x4)| = |-0,0001234|. Comparando os erros, podemos ver que o Método das Secantes apresenta o menor erro absoluto, indicando uma melhor aproximação da raiz. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.