22. (a) Utilize a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob a curva y = x3 de 0 a 1 como um limite. (b) A fórmula a seguir para a s...

(a) Para encontrar a expressão para a área sob a curva y = x³ de 0 a 1 como um limite, podemos utilizar a Definição 2 do cálculo de integrais. Essa definição nos diz que a área sob a curva é dada pelo limite da soma das áreas de retângulos infinitesimais. Dividindo o intervalo de 0 a 1 em n subintervalos de largura Δx, podemos representar cada retângulo infinitesimal como um retângulo de base Δx e altura f(xi), onde xi é um ponto no subintervalo i. A área de cada retângulo é dada por ΔA = f(xi)Δx = (xi)³Δx. Somando todas as áreas dos retângulos, temos: A = lim(n→∞) Σ[(xi)³Δx] = lim(n→∞) Σ[(i/n)³(1/n)]. Podemos reescrever essa soma como uma soma de Riemann: A = lim(n→∞) Σ[(i/n)³(1/n)] = lim(n→∞) [(1/n)³ Σ(i³)]. (b) Agora, podemos usar a fórmula 13 + 23 + 33 + ... + n³ = (n(n + 1)2)² para calcular o limite da parte (a). Substituindo a soma dos cubos dos primeiros n inteiros na expressão da parte (a), temos: A = lim(n→∞) [(1/n)³ Σ(i³)] = lim(n→∞) [(1/n)³ (n(n + 1)2)²]. Simplificando, temos: A = lim(n→∞) [(n(n + 1)2)²/n³]. Podemos calcular esse limite substituindo n por infinito: A = lim(n→∞) [(n(n + 1)2)²/n³] = lim(n→∞) [(n²(n + 1)²)/n³] = lim(n→∞) [(n + 1)²/n]. Agora, substituindo n por infinito, temos: A = lim(n→∞) [(n + 1)²/n] = lim(n→∞) [(n² + 2n + 1)/n] = lim(n→∞) (n + 2 + 1/n) = ∞. Portanto, o limite da área sob a curva y = x³ de 0 a 1 é infinito.