b) Mostre que a função r está bem definida em todo o aberto U = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 < 1}. Esboce algumas das curvas de nível de r para valores p...

Para mostrar que a função r está bem definida em todo o aberto U = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 < 1}, precisamos verificar se a função possui um valor único para cada ponto em U. Nesse caso, a função r é definida como r(x, y) = y2 − x2. Para esboçar as curvas de nível de r, podemos fixar diferentes valores de r e traçar as curvas correspondentes. Para valores positivos maiores que 1, as curvas de nível serão elipses com centro na origem. Para valores iguais a 1, a curva de nível será a equação de uma hipérbole. Para valores menores que 1, não haverá curvas de nível, pois a condição y2 − x2 < 1 não será satisfeita. Os valores regulares de r são aqueles para os quais a função é diferenciável. Nesse caso, a função r é diferenciável em todo o aberto U, pois suas derivadas parciais existem e são contínuas em U. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.