Mostre que a matriz abaixo é uma matriz diagonalizavel. Encontre uma matriz P invertível tal que D = P−1AP seja diagonal. A =  1 2 −2 0 1 0 0 2 3 

Para mostrar que a matriz A é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Para isso, precisamos encontrar os autovalores de A. Resolvendo a equação característica det(A - λI) = 0, temos: det(A - λI) =  1-λ 2 −2 0 1-λ 0 0 2 3-λ  = (1-λ) [(1-λ)(3-λ) - 4] - 4[2(1-λ)] = (1-λ) [(λ² - 4λ - 1)] - 8(1-λ) = (1-λ) [(λ² - 4λ - 9)] = -(λ-3)(λ-2)(λ+1) Portanto, os autovalores de A são λ1 = 3, λ2 = 2 e λ3 = -1. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema homogêneo (A - λI)x = 0 para cada autovalor: Para λ1 = 3, temos:  -2 2 -2 0 -2 0 0 2 0  x1 = [1 0 1]T Para λ2 = 2, temos:  -1 2 -2 0 -1 0 0 2 1  x2 = [-2 0 1]T Para λ3 = -1, temos:  2 2 -2 0 2 0 0 2 4  x3 = [1 0 1]T Como os autovetores correspondentes a cada autovalor são linearmente independentes, podemos formar a matriz P com esses autovetores como colunas: P = [x1 x2 x3] =  1 -2 1 0 0 0 1 1 1  Para encontrar a matriz diagonal D, basta calcular D = P^-1AP: D = P^-1AP =  1/2 1/2 0 -1/2 1/2 0 -1/2 -1/2 1   3 0 0 0 2 0 0 0 -1   1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2 -1/2 0 0 1  Portanto, a matriz A é diagonalizável e pode ser escrita como A = PDP^-1, onde D é a matriz diagonal e P é a matriz formada pelos autovetores de A.