Determine o valor da integral 2 seny+3 arcsen (y)+2y+k,k real 2 tg y+3 arctg (y)+y+k,k real 2 tg y - arctg (y)-2y+k,k real f(x) = (x2 − 3)ex 2 c...

Vamos calcular cada integral separadamente: 1) ∫(2sen(y) + 3arcsen(y) + 2y + k)dy Usando as identidades trigonométricas, podemos reescrever a integral como: ∫(2sen(y) + 3arcsen(y))dy + ∫(2y + k)dy A primeira integral pode ser resolvida por partes, escolhendo u = arcsen(y) e dv = sen(y)dy. Então, temos: ∫(2sen(y) + 3arcsen(y))dy = -2cos(y) + 3yarcsen(y) + 2∫cos(y)dy Integrando a segunda parte, obtemos: ∫cos(y)dy = sen(y) + C1 Substituindo na primeira integral, temos: ∫(2sen(y) + 3arcsen(y))dy = -2cos(y) + 3yarcsen(y) + 2(sen(y) + C1) Simplificando, temos: ∫(2sen(y) + 3arcsen(y))dy = 2sen(y) + 3yarcsen(y) + C2 A segunda integral é simplesmente: ∫(2y + k)dy = y^2 + ky + C3 Portanto, a integral completa é: ∫(2sen(y) + 3arcsen(y) + 2y + k)dy = 2sen(y) + 3yarcsen(y) + y^2 + ky + C 2) ∫(2tg(y) + 3arctg(y) + y + k)dy Usando as identidades trigonométricas, podemos reescrever a integral como: ∫(2tg(y) + 3arctg(y))dy + ∫(y + k)dy A primeira integral pode ser resolvida por partes, escolhendo u = arctg(y) e dv = tg(y)dy. Então, temos: ∫(2tg(y) + 3arctg(y))dy = 2ln|cos(y)| + 3yarctg(y) - 2∫ln|cos(y)|dy Integrando a segunda parte, obtemos: ∫ln|cos(y)|dy = yln|cos(y)| + sen(y) + C4 Substituindo na primeira integral, temos: ∫(2tg(y) + 3arctg(y))dy = 2ln|cos(y)| + 3yarctg(y) - 2(yln|cos(y)| + sen(y) + C4) Simplificando, temos: ∫(2tg(y) + 3arctg(y))dy = -2yln|cos(y)| + 3yarctg(y) - 2sen(y) + C5 A segunda integral é simplesmente: ∫(y + k)dy = y^2/2 + ky + C6 Portanto, a integral completa é: ∫(2tg(y) + 3arctg(y) + y + k)dy = -2yln|cos(y)| + 3yarctg(y) - 2sen(y) + y^2/2 + ky + C 3) ∫(2tg(y) - arctg(y) - 2y + k)dy Usando as identidades trigonométricas, podemos reescrever a integral como: ∫(2tg(y) - arctg(y))dy - ∫(2y - k)dy A primeira integral pode ser resolvida por partes, escolhendo u = arctg(y) e dv = tg(y)dy. Então, temos: ∫(2tg(y) - arctg(y))dy = 2ln|cos(y)| - yarctg(y) + 2∫ln|cos(y)|dy Integrando a segunda parte, obtemos: ∫ln|cos(y)|dy = yln|cos(y)| + sen(y) + C7 Substituindo na primeira integral, temos: ∫(2tg(y) - arctg(y))dy = 2ln|cos(y)| - yarctg(y) + 2(yln|cos(y)| + sen(y) + C7) Simplificando, temos: ∫(2tg(y) - arctg(y))dy = 4yln|cos(y)| + sen(y) - yarctg(y) + C8 A segunda integral é simplesmente: ∫(2y - k)dy = y^2 - ky + C9 Portanto, a integral completa é: ∫(2tg(y) - arctg(y) - 2y + k)dy = 4yln|cos(y)| + sen(y) - yarctg(y) + y^2 - ky + C