Determine os valores de a e b, de tal forma que o polinômio P(x) = x^3 + x^2 + ax + b, quando dividido por D(x) = x^2 - 5x + 4, forneça resto R(x) ...

Para determinar os valores de a e b, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um divisor D(x) é igual a P(x) - Q(x) * D(x), onde Q(x) é o quociente da divisão. Nesse caso, temos que o resto R(x) = 4x - 2. Então, podemos escrever: P(x) - Q(x) * D(x) = 4x - 2 Substituindo os polinômios P(x) e D(x), temos: x^3 + x^2 + ax + b - Q(x) * (x^2 - 5x + 4) = 4x - 2 Desenvolvendo a multiplicação do quociente Q(x) pelo divisor D(x), temos: x^3 + x^2 + ax + b - (Q1 * x^2 - Q2 * x + Q3) = 4x - 2 Agrupando os termos semelhantes, temos: x^3 + (1 - Q1) * x^2 + (a + 5Q1 - Q2) * x + (b - 4Q1 + Q3) = 4x - 2 Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos o seguinte sistema de equações: 1 - Q1 = 0 a + 5Q1 - Q2 = 4 b - 4Q1 + Q3 = -2 Resolvendo o sistema, encontramos: Q1 = 1 Q2 = a + 5 Q3 = b - 4 Substituindo os valores de Q1, Q2 e Q3 na segunda equação do sistema, temos: a + 5 - (a + 5) = 4 Essa equação não tem solução, o que significa que não é possível encontrar valores de a e b que satisfaçam a condição dada. Portanto, a alternativa correta é: E) a = -22 e b = 21