En R3 consideremos una curva en el semiplano superior del plano Y Z, por ejemplo, la gráfica de una función no negativa z = f(y). Si hacemos gira...

En R3 consideremos una curva en el semiplano superior del plano Y Z, por ejemplo, la gráfica de una función no negativa z = f(y). Si hacemos girar esta gráfica alrededor del eje Z obtenemos una superficie S en R3, llamada superficie de revolución. Obsérvese que un punto P = (0, y, z) ∈ R3 de la gráfica de z = f(y), girará formando un ćırculo C alrededor del eje Z. Este ćırculo corresponde a una curva de nivel de la superficie S. Es decir, todos los puntos (x, y) del ćırculo C (viéndolo proyectado en el plano XY ) deben tener la misma imagen z. La distancia de un punto cualquiera (x, y) de C al origen es √x2 + y2. Es claro entonces que la función cuya gráfica es la superficie de revolución S es z = f(√x2 + y2).


241 Considerar la parábola z = y2 (en el plano Y Z). Probar que la superficie de revolución que se obtiene al girar esta parábola alrededor del eje Z es el paraboloide z = x2 + y2.