Determina un vector unitario n de modo que la derivada direccional de la función f(x, y, z) = 1−xyz en el punto (1, 1, 1) y en la dirección pedida ...

Para determinar um vetor unitário n que satisfaça a condição dada, podemos utilizar o gradiente da função f(x, y, z) = 1 - xyz. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função em um determinado ponto. Primeiro, calculamos o gradiente da função f(x, y, z): ∇f(x, y, z) = (-yz, -xz, -xy) Em seguida, substituímos as coordenadas do ponto (1, 1, 1) na expressão do gradiente: ∇f(1, 1, 1) = (-1, -1, -1) Agora, precisamos encontrar um vetor unitário n que tenha a mesma direção que o vetor ∇f(1, 1, 1) e que a derivada direcional seja -√2. Para isso, podemos dividir o vetor ∇f(1, 1, 1) pelo seu módulo para obter um vetor unitário: n = (∇f(1, 1, 1)) / ||∇f(1, 1, 1)|| Calculando o módulo do vetor ∇f(1, 1, 1): ||∇f(1, 1, 1)|| = √((-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √3 Dividindo o vetor ∇f(1, 1, 1) pelo seu módulo: n = (-1/√3, -1/√3, -1/√3) Portanto, o vetor unitário n que satisfaz a condição dada é n = (-1/√3, -1/√3, -1/√3).