Dada la función f(x, y) = 3x2y/(x2 + y2), decide si es continua en el punto (0, 0) y encuentra su derivada direccional en (0, 0) en la dirección ...

Para determinar se a função f(x, y) = 3x^2y/(x^2 + y^2) é contínua no ponto (0, 0), podemos verificar se ela satisfaz as condições do Teorema de Continuidade. Primeiro, vamos analisar a continuidade em (0, 0). Para isso, podemos calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0, 0). Calculando o limite quando (x, y) se aproxima de (0, 0), obtemos: lim (x, y) -> (0, 0) [3x^2y/(x^2 + y^2)] Podemos usar coordenadas polares para simplificar a expressão. Substituindo x = rcosθ e y = rsenθ, temos: lim r -> 0 [3(r^2cos^2θ)(rsenθ)/(r^2cos^2θ + r^2sen^2θ)] Simplificando a expressão, temos: lim r -> 0 [3r^3cos^2θsenθ/(r^2(cos^2θ + sen^2θ))] lim r -> 0 [3r^3cos^2θsenθ/r^2] lim r -> 0 [3rcos^2θsenθ] Agora, podemos ver que o limite depende do ângulo θ. Se θ = 0 ou θ = π/2, o limite é igual a 0. No entanto, se escolhermos um ângulo diferente, o limite não existe. Portanto, a função não é contínua no ponto (0, 0). Quanto à derivada direcional em (0, 0) na direção de um vetor unitário (u, v), podemos usar a definição da derivada direcional: Df(0, 0)(u, v) = lim h -> 0 [f(0 + hu, 0 + hv) - f(0, 0)]/h Substituindo os valores na função, temos: Df(0, 0)(u, v) = lim h -> 0 [3(0 + hu)^2(0 + hv)/((0 + hu)^2 + (0 + hv)^2) - 0]/h Simplificando a expressão, temos: Df(0, 0)(u, v) = lim h -> 0 [3h^2uv/(h^2(u^2 + v^2))] Df(0, 0)(u, v) = lim h -> 0 [3uv/(u^2 + v^2)] Portanto, a derivada direcional em (0, 0) na direção de um vetor unitário (u, v) é igual a 3uv/(u^2 + v^2). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.