Calcular las siguientes integrales triples: 555 ∫ W x2 dV , W = [0, 1]3. 556 ∫ W xyz dV , W = [0, 1]× [1, 2]× [2, 3]. 557 ∫ W (x+ y + z) dV , W = [...

Para calcular as integrais triplas fornecidas, podemos usar a fórmula geral: ∫∫∫ f(x, y, z) dV Vamos calcular cada uma das integrais: 555: ∫∫∫ W x^2 dV, W = [0, 1]^3 Neste caso, temos que integrar a função f(x, y, z) = x^2 sobre o volume W = [0, 1]^3. A integral tripla resultante é: ∫∫∫ W x^2 dV = ∫[0, 1] ∫[0, 1] ∫[0, 1] x^2 dz dy dx Integrando em relação a z, temos: ∫∫∫ W x^2 dV = ∫[0, 1] ∫[0, 1] [x^2 * z] [0, 1] dy dx = ∫[0, 1] ∫[0, 1] x^2 dy dx = ∫[0, 1] [x^2 * y] [0, 1] dx = ∫[0, 1] x^2 dx = [x^3/3] [0, 1] = 1/3 Portanto, a integral tripla ∫∫∫ W x^2 dV, onde W = [0, 1]^3, é igual a 1/3. 556: ∫∫∫ W xyz dV, W = [0, 1] × [1, 2] × [2, 3] Neste caso, temos que integrar a função f(x, y, z) = xyz sobre o volume W = [0, 1] × [1, 2] × [2, 3]. A integral tripla resultante é: ∫∫∫ W xyz dV = ∫[0, 1] ∫[1, 2] ∫[2, 3] xyz dz dy dx Integrando em relação a z, temos: ∫∫∫ W xyz dV = ∫[0, 1] ∫[1, 2] [xy * z^2/2] [2, 3] dy dx = ∫[0, 1] ∫[1, 2] xy * (9 - 4)/2 dy dx = ∫[0, 1] ∫[1, 2] 5/2 * xy dy dx = ∫[0, 1] [5/2 * x * y^2/2] [1, 2] dx = ∫[0, 1] 5/4 * x * (4 - 1) dx = ∫[0, 1] 5/4 * x * 3 dx = 15/8 * [x^2/2] [0, 1] = 15/8 * 1/2 = 15/16 Portanto, a integral tripla ∫∫∫ W xyz dV, onde W = [0, 1] × [1, 2] × [2, 3], é igual a 15/16. 557: ∫∫∫ W (x + y + z) dV, W = [0, 2] × [0, 3] × [0, 1] Neste caso, temos que integrar a função f(x, y, z) = (x + y + z) sobre o volume W = [0, 2] × [0, 3] × [0, 1]. A integral tripla resultante é: ∫∫∫ W (x + y + z) dV = ∫[0, 2] ∫[0, 3] ∫[0, 1] (x + y + z) dz dy dx Integrando em relação a z, temos: ∫∫∫ W (x + y + z) dV = ∫[0, 2] ∫[0, 3] [(x + y + z) * z] [0, 1] dy dx = ∫[0, 2] ∫[0, 3] (x + y + z) * z dy dx = ∫[0, 2] ∫[0, 3] (xz + yz + z^2) dy dx = ∫[0, 2] [(xz * y + yz * y/2 + z^2 * y)] [0, 3] dx = ∫[0, 2] (3xz + 9z + 9z^2/2) dx = [3xz * x/2 + 9zx + 9z^2/2 * x] [0, 2] = 3xz + 9zx + 9z^2/2 * 2 - 0 = 6xz + 18zx + 18z^2 Agora, vamos integrar em relação a y: ∫∫∫ W (x + y + z) dV = ∫[0, 2] [(6xz + 18zx + 18z^2) * y] [0, 3] dx = ∫[0, 2] (18xz + 54zx + 54z^2) dx = [18xz * x/2 + 54zx * x/2 + 54z^2 * x] [0, 2] = 18xz + 54zx + 54z^2 * 2 - 0 = 36xz + 108zx + 108z^2 Por fim, vamos integrar em relação a x: ∫∫∫ W (x + y + z) dV = [(36xz + 108zx + 108z^2) * x] [0, 2] = (72xz + 216zx + 216z^2) - 0 = 72xz + 216zx + 216z^2 Portanto, a integral tripla ∫∫∫ W (x + y + z) dV, onde W = [0, 2] × [0, 3] × [0, 1], é igual a 72xz + 216zx + 216z^2.