13. Solución:√ (1 + √3i)60 (−1 + i)20 = √z1 · z2 con z1 = (1 + √3i)60 y z2 = 1 (−1 + i)20 = (−1− i)20 (−1 + i)20(−1− i)20 = (−1− i2)20 z1 = (r1(co...

13. Solución:√ (1 + √3i)60 (−1 + i)20 = √z1 · z2 con z1 = (1 + √3i)60 y z2 = 1 (−1 + i)20 = (−1− i)20 (−1 + i)20(−1− i)20 = (−1− i2)20 z1 = (r1(cosα1 + isenα1)) 60 = (2(cos π3 + isen π3))60 = 260(cos 60π3 + isen 60π3) = 260 z2 = (r2(cosα2 + isenα2)) 20 = (√2 2 (cos 5π4 + isen 5π4))20 = (√2 2)20(cos 205π4 + isen 205π4) = − 1 210 √z1z2 = √260(− 1 210) = √−250 = ±225i. — — — 5. Encontrar z ∈ C tales que z2 = (1 + i)2. Solución: z = √(1 + i)2 = ±(1 + i). — — — 6. Calcular las ráıces cúartas de z = −16i. Solución: r = √(−16)2 = 16 = 24 y α = 3π2. Por lo tanto las ráıces cúartas de dicho número son: 4 √z = 4 √24(cos 3π8 + isen 3π8), z3 = 2(cos 11π8 + isen 11π8), z2 = 2(cos 7π8 + isen 7π8), z4 = 2(cos 15π8 + isen 15π8). — — — 7. Si u es una de las tres ráıces cúbicas de −12 + √32 i, y w es una ráız cuadrada de 12 − √32 i, determinar 2iwu2. Solución: u =  cos 2π9 + isen 2π9 = e 2π9 i cos 8π9 + isen 8π9 = e 8π9 i cos 14π9 + isen 14π9 = e 14π9 i w =  cos 5π6 + isen 5π6 = e 5π6 i cos 11π6 + isen 11π6 = e 11π6 i Realizando el producto 2iwu2, tenemos: 2iwu2 ∈ {2ei 16π9 , 2ei 25π9 , 2ei 28π9 , 2ei 37π9 , 2ei 22π9 , 2ei 31π9 }. — — — 8. Probar que sólo existen dos números complejos tales que su suma es igual a 2 y su producto es igual a 34. Solución: Pongamos z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i. z1 + z2 = 2 z1z2 = 34 } ⇒ (a1 + a2) + (b1 + b2)i = 2 (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i = 34 } b1 + b2 = 0 a1 + a2 = 2 a1a2 − b1b2 = 34 a1b2 + a2b1 = 0  ⇒ b1 = b2 = 0, a1 = 12 , a2 = 32 Luego dichos números son reales y son: z1 = 12 , z2 = 32 . — — — 9. Determinar el valor de α ∈ R para el cual 3 + 2i 1− i + αi es un número real. Solución: 3 + 2i 1− i + αi = 3 + 2i 1− i + αi(1− i) 1− i = (3 + α) + (2 + α)i 1− i = ((3 + α) + (2 + α)i)(1 + i) 2 = 12 + 5 + 2α 2 i Para que este número sea real ha de ser 5 + 2α = 0. Por lo que α = −52 . — — — 10. ¿Para qué valores de la constante a ∈ R el polinomio p(t) = t5 +at4 +7t3−2t2 + 4t − 8, tiene 2 como ráız múltiple? Análogamente para q(t) = t5 − 6t4 + at3 − 8t2. ¿Cuál es su multiplicidad en cada caso? Solución: Apliquemos Ruffini con t = 2 1 a 7 -2 4 -8 2) 2 4+2a 22+4a 40+8a 88+16a 1 2+a 11+2a 20+4a 44+8a (80+16a