Discutir a partir de la definición, si las siguientes aplicaciones son, o no, lineales:

a) f : R3 −→ R4
(x1, x2, x3) 7−→ (3x1 + 5x2, x2 + x3, x2...

Question

Discutir a partir de la definición, si las siguientes aplicaciones son, o no, lineales:

a) f : R3 −→ R4
(x1, x2, x3) 7−→ (3x1 + 5x2, x2 + x3, x2 − 5x3, x1 + x2 + x3).
b) f : R3 −→ R2
(x1, x2, x3) 7−→ (x1 + a, bx2) con a, b ∈ R.
c) f : Rn[t] −→ Rn[t]
p(t) 7−→ p(t) + p′(0)p′(t) + p′′(0)p′′(t) + · · ·+ p(n)(0)p(n)(t).
d) f : M2(R) −→M2(R)(
a b
c d
)
7−→
(
a− b a+ b
c+ 2d a− b+ c− d
)
e) f : R3 −→M2(R)
(x1, x2, x3) 7−→
(
ax1 bx2
cx3 x1 + x2 + x3
)
con a, b, c ∈ R.

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das aplicações para determinar se são lineares ou não:

a) f : R³ → R⁴
(x₁, x₂, x₃) → (3x₁ + 5x₂, x₂ + x₃, x₂ - 5x₃, x₁ + x₂ + x₃)

Para verificar se essa aplicação é linear, precisamos verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por escalar. Vamos testar:

1) Preservação da soma:
f((x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃)) = f((x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃))
= (3(x₁ + y₁) + 5(x₂ + y₂), (x₂ + y₂) + (x₃ + y₃), (x₂ + y₂) - 5(x₃ + y₃), (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) + (x₃ + y₃))
= (3x₁ + 3y₁ + 5x₂ + 5y₂, x₂ + y₂ + x₃ + y₃, x₂ + y₂ - 5x₃ - 5y₃, x₁ + y₁ + x₂ + y₂ + x₃ + y₃)

f((x₁, x₂, x₃)) + f((y₁, y₂, y₃)) = (3x₁ + 5x₂, x₂ + x₃, x₂ - 5x₃, x₁ + x₂ + x₃) + (3y₁ + 5y₂, y₂ + y₃, y₂ - 5y₃, y₁ + y₂ + y₃)
= (3x₁ + 5x₂ + 3y₁ + 5y₂, x₂ + x₃ + y₂ + y₃, x₂ - 5x₃ + y₂ - 5y₃, x₁ + x₂ + x₃ + y₁ + y₂ + y₃)
= (3x₁ + 3y₁ + 5x₂ + 5y₂, x₂ + y₂ + x₃ + y₃, x₂ + y₂ - 5x₃ - 5y₃, x₁ + y₁ + x₂ + y₂ + x₃ + y₃)

Podemos ver que f((x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃)) = f((x₁, x₂, x₃)) + f((y₁, y₂, y₃)), portanto, a aplicação é linear em relação à soma.

2) Preservação da multiplicação por escalar:
Vamos testar com um escalar k:

f(k(x₁, x₂, x₃)) = f(kx₁, kx₂, kx₃)
= (3(kx₁) + 5(kx₂), (kx₂) + (kx₃), (kx₂) - 5(kx₃), (kx₁) + (kx₂) + (kx₃))
= (3kx₁ + 5kx₂, kx₂ + kx₃, kx₂ - 5kx₃, kx₁ + kx₂ + kx₃)

k * f((x₁, x₂, x₃)) = k * (3x₁ + 5x₂, x₂ + x₃, x₂ - 5x₃, x₁ + x₂ + x₃)
= (k(3x₁ + 5x₂), k(x₂ + x₃), k(x₂ - 5x₃), k(x₁ + x₂ + x₃))
= (3kx₁ + 5kx₂, kx₂ + kx₃, kx₂ - 5kx₃, kx₁ + kx₂ + kx₃)

Podemos ver que f(k(x₁, x₂, x₃)) = k * f((x₁, x₂, x₃)), portanto, a aplicação também é linear em relação à multiplicação por escalar.

Portanto, a aplicação a) f : R³ → R⁴ é linear.

Vou analisar as outras aplicações em respostas separadas para não exceder o limite de caracteres.

Discutir a partir de la definición, si las siguientes aplicaciones son, o no, lineales: a) f : R3 −→ R4 (x1, x2, x3) 7−→ (3x1 + 5x2, x2 + x3, x2...

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