Sea f : R4 −→ R4 definida por (x1, x2, x3, x4) 7−→ (x1 + 2x2, x2 + 2x3, x3 + 2x4, 2x1 + x4). Calcular f−1(1, 1, 1, 1) (conjunto de antiimágenes de...

Para calcular a pré-imagem do vetor (1, 1, 1, 1) pela função f, precisamos encontrar os valores de (x1, x2, x3, x4) que satisfazem a equação f(x1, x2, x3, x4) = (1, 1, 1, 1). Substituindo os valores na função f, temos: x1 + 2x2 = 1 x2 + 2x3 = 1 x3 + 2x4 = 1 2x1 + x4 = 1 Podemos resolver esse sistema de equações utilizando métodos como eliminação de variáveis ou matriz aumentada. Vou utilizar o método de eliminação de variáveis: A partir da primeira equação, podemos isolar x1: x1 = 1 - 2x2 Substituindo esse valor na quarta equação, temos: 2(1 - 2x2) + x4 = 1 2 - 4x2 + x4 = 1 x4 = 1 + 4x2 - 2 Agora, substituindo os valores de x1 e x4 na segunda e terceira equações, respectivamente, temos: (1 - 2x2) + 2x3 = 1 1 - 2x2 + 2x3 = 1 2x3 = 2x2 x3 = x2 Portanto, podemos escrever a pré-imagem como: f^(-1)(1, 1, 1, 1) = {(1 - 2x2, x2, x2, 1 + 4x2 - 2) | x2 ∈ R} Assim, o conjunto de antiimagens do vetor (1, 1, 1, 1) pela função f é dado por todos os pontos da forma (1 - 2x2, x2, x2, 1 + 4x2 - 2), onde x2 pertence aos números reais.