Determinar los subespacios vectoriales Ker f y Im f para la aplicación lineal f : R3 −→ R3 (x1, x2, x3) −→ (x1 + x2 − x3, x1 − x2 + x3,−x1 + x2 + ...

Para determinar os subespaços vetoriais Ker(f) e Im(f) para a aplicação linear f: R3 → R3, onde f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 - x3, x1 - x2 + x3, -x1 + x2 + x3), precisamos analisar as propriedades desses subespaços. O Ker(f), também conhecido como núcleo de f, é o conjunto de vetores de entrada que são mapeados para o vetor nulo no espaço de chegada. Para encontrar o Ker(f), precisamos resolver o sistema de equações homogêneo f(x1, x2, x3) = (0, 0, 0). Isso nos leva ao seguinte sistema: x1 + x2 - x3 = 0 x1 - x2 + x3 = 0 -x1 + x2 + x3 = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos que x1 = x2 = x3. Portanto, o Ker(f) é o conjunto de vetores da forma (x, x, x), onde x é um número real. Já o Im(f), também conhecido como imagem de f, é o conjunto de vetores no espaço de chegada que são obtidos a partir da aplicação de f em algum vetor de entrada. Para encontrar o Im(f), precisamos determinar quais vetores no espaço de chegada são alcançáveis por meio da aplicação de f. Observando a forma da função f, podemos ver que qualquer vetor no espaço de chegada pode ser obtido como imagem de algum vetor de entrada. Portanto, o Im(f) é o próprio espaço de chegada, que é R3. Em resumo: Ker(f) = {(x, x, x) | x ∈ R} Im(f) = R3