Por lo tanto la matriz buscada es A =  1 3 −1 −1 −1 2 1 1 2 1 −2 −2 3 0 −3 −3  . — — — 14. Sea f el endomorfismo de R3 tal que Ker f = [(2...

Por lo tanto la matriz buscada es A =

1 3 −1 −1
−1 2 1 1
2 1 −2 −2
3 0 −3 −3
 .
— — —
14. Sea f el endomorfismo de R3 tal que
Ker f = [(2,−1, 0), (2, 0, 1)], f(1, 0, 0) = (2, 0,−1).
Determinar la matriz de f en la base natural de R3.
Solución:
Puesto que (2,−1, 0), (2, 0, 1) ∈ Ker f , se tiene que
f(0, 1, 0) = 2f(1, 0, 0), f(0, 0, 1) = −2f(1, 0, 0),
por lo que la matriz de la aplicación es
A =
 2 4 −40 0 0
−1 −2 2
 .
— — —
15. Sea w = (w1, w2, w3) una base de R3, F = [w1] y G = [w3]. Sea g el endomorfismo
de R3 tal que
a) F y G son invariantes por g.
b) g(w1 + w2) = g(w2 − w3) = 2w1 + w2.
Determinar la dimensión de Ker g.
Solución:
Puesto que F y G subespacios de dimensión 1, son invariantes por g, tenemos que:
g(w1) = λ1w1, g(w3) = λ3w3. 104 CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
Por otra parte la condición b) nos dice
i) g(w1 +w2)−(w2−w3)) = g(w1 +w3) = 0, y puesto que g(w1 +w3) = λ1w1 +λ3w3,
se tiene: λ1 = λ3 = 0 (ya que w1 y w3 son linealmente independientes.
ii) g(w1 + w2) = g(w1) + g(w2) = λ1w1 + g(w2) = g(w2) = 2w1 + w2 6= 0.
Por lo que Ker g = {w1, w3} y dim Ker g = 2.
— — —
16. Sea f : R3 −→ R2 la aplicación lineal definida mediante f(x, y, z) = (2x −
y, 2y + z), y g : R2 −→ R3 definida mediante g(x, y) = (4x + 2y, y, x + y). Sea
u = (u1, u2, u3) una base de R3, con u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1), y
v = (v1, v2) una base de R2, con v1 = (1, 0) y v2 = (1, 1).
a) Dar la matriz de f y la matriz de g en las bases canónicas.
b) Dar una base de Ker f y una base de Im g.
c) Calcular las matrices de f y de g en las bases u y v.
Solución:
a) La matriz de f en la base canónica es
A =
(
2 −1 0
0 2 1
)
La matriz de g en la base canónica es
B =
4 20 1
1 1
 .
b) Ker f = {(x, y, z) | 2x− y = 0, 2y + z = 0} = [(1, 2,−4)].
Im g = [(4, 0, 1), (2, 1, 1)]. 105
c) Sea S la matriz cambio de base que pasa las coordenadas en la base u a la base
canónica
S =
1 1 10 1 1
0 0 1

y sea T la matriz cambio de base que pasa las coordenadas en la base v a la canónica
T =
(
1 1
0 1
)
Entonces las matrices pedidas son Ā = T−1AS y B̄ = S−1BT .
Ā =
(
1 1
0 1
)−1(
2 −1 0
0 2 1
)1 1 10 1 1
0 0 1
 = (2 −1 −2
0 2 3
)
B̄ =
1 1 10 1 1
0 0 1
−14 20 1
1 1
(1 1
0 1
)
=
 4 5−1 −1
1 2
 .
— — —
17. Sea f el endomorfismo de R4 tal que f(e1) = e1 − e2, f(e3) = e1 i Ker f =
[e1 + e2, e3 − e4]. Estudiar si se verifica R4 = Ker f ⊕ Im f .
Solución:
Observamos que dim Ker f = 2, por lo que Im f = [e1 − e2, e1] = [e1, e2] (ya que
dim Im f = n− dim Ker f).
Veamos si estos dos subespacios forman suma directa:
Sea v ∈ Ker f ∩ Im f , entonces v = λ1(e1 + e2) + λ2(e3 − e4) = µ1e1 + µ2e2. Equi-
valentemente: (µ1 − λ1)e1 + (µ2 − λ1)e2 − λ2e3 + λ2e4 = 0 y esto sólo es posible si
λ2 = 0 y λ1 = µ1 = µ2.
Es decir, los vectores de la forma λ(e1 + e2) pertenecen a la intersección y lo suma
no puede ser directa.