11.19. Endomorfismo con modelo matemático Sea f el endomorfismo en R2 cuya matriz respecto de la base canónica es A = [ 1/4 1/2 3/4 1/2 ] , y sea...

11.19. Endomorfismo con modelo matemático
Sea f el endomorfismo en R2 cuya matriz respecto de la base canónica es
A =
[
1/4 1/2
3/4 1/2
]
,
y sean C1 = {x ∈ R2 : x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0}, Rk = {x ∈ R2 : x1 + x2 = k}
con k ∈ R. Se pide:
1. Comprobar que C1 es f -invariante. Idem para cada Rk.
2. Comprobar que R0 es un subespacio propio de f . Determinar los valores
propios y los subespacios propio de f .
3. Determinar An para cada n natural y ĺımn→∞A
n.
4. La restricción de f a C1 ∩R1 sirve de modelo para el siguiente sistema:
En una autopista de dos carriles, la probabilidad de que un coche esté en el
carril i en el instante n habiendo estado en el carril j en el instante anterior
n−1 es aij . Si xin es la probabilidad de que un coche se encuentre en el carril
i en el instante n y sn = (x1n, x2n)
t representa el estado de la autopista en
el instante n, se cumple para todo n ∈ N que sn+1 = f(sn).
Determinar:
(a) Si existen estados estacionarios (es decir si existen se tales que ∀n ∈
N sn = se) y calcularlos en su caso.
(b) sn en función de n y s0.
(c) Si existe ĺımn→∞ sn para cada s0, y calcularlo en su caso.
(d) El carril que tenderá a estar más ocupado al crecer n.