19. Sea f el endomorfismo de Rn que a cada vector de Rn le hace corresponder la proyección ortogonal de este vector sobre un subespacio F 6= {0}, ...

19. Sea f el endomorfismo de Rn que a cada vector de Rn le hace corresponder la
proyección ortogonal de este vector sobre un subespacio F 6= {0}, Rn fijo. Probar
que det(f) = 0.
Solución: 134 CAPÍTULO 5. DETERMINANTES
Puesto que F 6= 0,Rn es 0 < dimF = r < n. Sea {v1, . . . , vr} una base de F .
Consideremos F⊥ cuya dimensión es n − r, también por tanto, distinta de 0 y n.
Sea {vr+1, . . . , vn} una base de F⊥.
Claramente {v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vn} es una base de E, y la matriz de la proyección
ortogonal sobre F en esta base es
1
r
. . .
1
0
n−r
. . .
0

Es obvio que el determinate de esta matriz es nulo por lo que det f = 0 .